第4章 §2 2.2 换底公式(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)下列各式不正确的是(　　) A.＝loga2(a>1) B．(loga3)2＝2loga3 C.＝lg 5 D.＝log 解析　由对数的运算性质和换底公式知，A、B、C均不正确．而log＝＝，故D正确． 答案　ABC 2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　) A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 解析　利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb. 答案　B 3．已知ab＝M(a＞0，b＞0，M≠1)，logMb＝x，则logMa的值为(　　) A.　　　　　　　　 B．1＋x C．1－x D．x－1 解析　logMa＝logM＝logMM－logMb＝1－x， 故选C. 答案　C 4．计算(log34＋log278)·(log89＋log23)＝________. 解析　(log34＋log278)·(log89＋log23) ＝(log322＋log3323)·(log2332＋log23) ＝· ＝3·log32·log23 ＝3×·log32·log23 ＝3×＝5. 答案　5 5．已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log2的值为________． 解析　∵lg x＋lg y＝2lg (x－2y)， ∴lg (xy)＝lg (x－2y)2， ∴xy＝(x－2y)2， ∴x2－5xy＋4y2＝0， ∴2－5＋4＝0， ∴＝1或＝4， ∵x>0，y>0，x－2y>0， ∴＝1舍去， ∴＝4，∴log2＝2. 答案　2 6．(1)若2a＝5b＝10，求＋的值； (2)求(log32＋log92)·(log43＋log83)的值； (3)求的值． 解析　(1)∵2a＝5b＝10， ∴a＝log210，b＝log510， ∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)原式＝· ＝· ＝·＝. (3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2 ＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3； 分母＝lg 6＋2－lg ＝lg 6＋2－lg ＝lg 6＋2－(lg 6－2)＝4， ∴原式＝. [关键能力·综合提升] 7．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C.＝＋ D．＝－ 解析　由a，b，c都是正数，可设4a＝6b＝9c＝M， ∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， 则＝logM4，＝logM6，＝logM9， ∵logM4＋logM9＝2logM6， ∴＋＝， 即＝－， 去分母整理得ab＋bc＝2ac，故选AD. 答案　AD 8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作接收信号的信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　) A．20% B．23% C．28% D．50% 解析　将信噪比从1000提升至5000，C大约增加了 ＝＝ ≈＝＝≈0.233， 所以C大约增加了23%.故选B. 答案　B 9．已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________. 解析　∵logab＋logba＝logab＋＝， ∴logab＝2或logab＝. ∵a＞b＞1，∴logab＜logaa＝1. ∴logab＝，∴a＝b2. ∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2. ∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4. 答案　4　2 10．(1)已知5x＝2y＝()z，且x，y，z均不为0，求证：＋＝2； (2)设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy. 证明　(1)令5x＝2y＝()z＝k，则 x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k， 所以＋＝＋ ＝2lg k(logk5＋logk2)＝2lg k·logk10＝2. 所以＋＝2. (2)当x＝y＝z＝1时，满足z＝xy； 当x≠1，y≠1，z≠1时， 令xa＝yb＝zc＝t(t>0，且t≠1)， 则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt. 因为＋＝， 所以logtx＋logty＝logtz. 所以logt(xy)＝logtz， 所以z＝xy. [核心价值·探索创新] 11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 解析　由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$