第2章 §3 第2课时 函数的最值(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固]

1．函数y＝x2＋2x－1在[0,3]上的最小值为(　　)

A．0　　　 B．－4　　　

C．－1　　 D．－2

解析　因为y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，其图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数y＝x2＋2x－1在[0,3]上单调递增，所以当x＝0时，此函数取得最小值，最小值为－1.

答案　C

2．函数y＝x＋的最值的情况为(　　)

A．最小值为，无最大值

B．最大值为，无最小值

C．最小值为，最大值为2

D．最大值为2，无最小值

解析　∵y＝x＋在定义域上是增函数，∴函数最小值为，无最大值，故选A.

答案　A

3．函数f(x)＝的最大值为(　　)

A．1　　　 B．2 

C.　　 D．

解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.

答案　B

4．(2024·四川眉山仁寿一中期中)已知函数y＝，x∈(1，m]的最小值为8，则实数m的值是(　　)

A．－1  B．1

C．2  D．3

解析　y＝＝＝3＋，函数y＝在(1，＋∞)上单调递减，所以函数y＝3＋在(1，＋∞)上单调递减．又其在(1，m]上的最小值为8，所以ymin＝3＋＝8，解得m＝2.

答案　C

5．函数y＝的最小值为________，最大值为________．

解析　由题意可知，当x∈[－3，－1]时，函数y＝x＋1单调递增，

∴当x＝－3时，ymin＝－2；

当x∈(－1,4]时，

函数y＝－x－1单调递减，当x＝4时，ymin＝－5，故最小值为－5，

同理可得，最大值为0.

答案　－5　0

6．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．

解析　∵函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上是减函数，

∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4.

答案　－4

7．对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为________．

解析　设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.

而f(a)＝(a－2)2＋2，∴f(a)min＝f(2)＝2.∴M≤2.∴Mmax＝2.

答案　2

8．已知函数f(x)＝，x∈[2，＋∞)．

(1)求f(x)的最小值；

(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．

解析　(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，

f(x)＝x＋＋2.

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)，

∵x1<x2，∴x1－x2<0，

又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，

∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝.

(2)∵f(x)的最小值为f(2)＝，

∴f(x)>a恒成立，只需f(x)min>a，即a<.

所以a的取值范围为.

[关键能力·综合提升]

9．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B．[0,2]

C．(－∞，－2]  D．[1,2]

解析　f(x)＝(x－1)2＋2，故f(x)在[0,1]上单调递减，在上单调递增；又f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，且f(x)在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，故m∈[1,2]．

答案　D

10．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析　当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，

令f(x)＝2－＝2－，

∵1≤x≤3，∴∈，

∴当＝∈，即当x＝2时，

f(x)取得最小值为f(x)min＝f(2)＝－，