第1章 函数 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[时间：120分钟　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足{1}⊆X{1,2,3,4}的集合X有(　　) A．4个　　　　　　　 B．5个 C．6个 D．7个 解析　集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个． 答案　D 2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N＋，x≤5}，则A∩B等于(　　) A．{1,2,3} B．{1,2} C．{4,5} D．{1,2,3,4,5} 解析　由(2x＋1)(x－3)<0得，－<x<3， ∴A＝. 又B＝{1,2,3,4,5}，∴A∩B＝{1,2}． 答案　B 3．已知m＝8－n，m＞0，n＞0，则mn的最大值为(　　) A．4　　　 B．8 C．16　　　 D．32 解析　∵m＝8－n，m＞0，n＞0，∴8＝m＋n≥2，解得mn≤16，当且仅当m＝n＝4时取等号．则mn的最大值为16.故选C. 答案　C 4．(2025·河南商丘市一中期中)若a是实数，则使得不等式>5成立的一个充分不必要条件是(　　) A．a>5 B．a<－1 C．0<a< D．0<a< 解析　由>5得0<a<，要求不等式>5成立的一个充分不必要条件，只需找的一个真子集，只有选项C符合． 答案　C 5．(2025·上海市格致中学月考)已知关于x的不等式a(x－x1)(x－x2)>0的解集为A，关于x的不等式b(x－x1)(x－x2)≥0的解集为B，其中a，b都是非零常数，x1<x2，则“ab<0”是“A∪B＝R”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为a，b都是非零常数，且x1<x2，若a>0，b>0，则A＝{x|x<x1，或x>x2}，B＝{x|x≤x1或x≥x2}，可知A⊆B，可得A∪B＝B≠R；若a<0，b<0，则A＝{x|x1<x<x2}，B＝{x|x1≤x≤x2}，可知A⊆B，可得A∪B＝B≠R；若a>0，b<0，则A＝{x|x<x1，或x>x2}，B＝{x|x1≤x≤x2}，此时A∪B＝R；若a<0，b>0，则A＝{x|x1<x<x2}，B＝{x|x≤x1，或x≥x2}，此时A∪B＝R.综上，“ab<0”是“A∪B＝R”的充要条件． 答案　C 6．(2025·福建三明统考)已知长为a，宽为b的长方形，如果该长方形的面积与边长为k1的正方形的面积相等；该长方形的周长与边长为k2的正方形的周长相等；该长方形的对角线长与边长为k3的正方形的对角线长相等；该长方形的面积和周长的比与边长为k4的正方形的面积和周长的比相等，那么k1，k2，k3，k4的大小关系为(　　) A．k1≤k4≤k2≤k3 B．k3≤k1≤k2≤k4 C．k4≤k1≤k3≤k2 D．k4≤k1≤k2≤k3 解析　由题意得ab＝k，则k1＝；a＋b＝2k2，则k2＝；＝k3， 则k3＝；＝， 则k4＝，且a，b>0. 利用基本不等式链≤≤≤ ，当且仅当a＝b时等号成立， 可得k4≤k1≤k2≤k3. 答案　D 7．(2025·山西晋城检测)定义min{p，q，r}表示p，q，r中的最小值．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc＝－1，则(　　) A．min{a，b，c}的最大值是－1 B．min{a，b，c}的最大值是－ C．min{a，b，c}的最小值是－1 D．min{a，b，c}的最小值是－ 解析　因为abc＝－1，所以在实数a，b，c中，负数的个数为1或3. 又a＋b＋c＝0，所以在a，b，c中，有1个负数，2个正数，不妨设c<0，则min{a，b，c}＝c. 因为2≤a＋b＝－c，当且仅当a＝b＝－时等号成立，所以ab≤. 又c<0，abc＝－1，所以≤－1，则c≤－，故min{a，b，c}的最大值是－，无最小值． 答案　B 8．定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为(　　) A．1　　　 B． C．2　　　 D．4 解析　由新定义运算知，x⊗y＝， (2y)⊗x＝. 因为x＞0，y＞0， 所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时等号成立，所以x⊗y＋(2y)⊗x的最小值是. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列结论不正确的是(　　) A.＜ B．ac2＜bc2 C.＞ D．a2＞ab＞b2 解析　对于A，令a＝－2，b＝－1， 则＝－，＝－1，故A错误； 对于B，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故B错误； 对于C，令b＝－1，a＝－2，则＜，故C错误； 对于D，∵a＜b＜0，∴a2＞ab且ab＞b2， 即a2＞ab＞b2，故D正确． 答案　ABC 10．(2025·辽宁大连检测)下列说法中正确的是(　　) A．命题“∃x∈R，x2＋2x＋2<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋2≥0” B．“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件 C．若命题“∀x∈{x|2<x<3},3x－a<0”是真命题，则a的取值范围为{a|a≥9} D．命题“∃a，b∈R，|a－2|＋(b＋1)2≤0”是假命题 解析　A正确，先转换量词，再否定结论，原命题的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋2≥0”； B错误，|x|>|y|不能推出x>y， 例如|－2|>|1|， 但－2<1，x>y也不能推出|x|>|y|， 例如2>－3，而|2|<|－3|，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件； C正确，∀x∈{x|2<x<3},3x－a<0，即a>3x，则a≥9，故a的取值范围为{a|a≥9}； D错误，令解得 此时|a－2|＋(b＋1)2≤0成立，为真命题． 答案　AC 11．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.＋的最小值为4 B.的最大值为 C.＋的最小值为 D．a2＋b2的最小值为 解析　对于A，＋＝(a＋b) ＝＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 对于B,0＜≤(a＋b)＝×1＝， 当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确； 对于C，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2， ∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C错误； 对于D，∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确，故选ABD. 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.则将a，b，c，d按从小到大的顺序排列起来是____________． 解析　由a－d＝c－b，a＋d<b＋c相加得a<c； 又b－d＝c－a>0，得b>d， 又d>c，故a<c<d<b. 答案　a<c<d<b 13．已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是________． 解析　由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc⇒ab＋c＝abc⇒c＝＝>1， 又a＋b＝ab≥2⇒ab≥4， 得≤⇒1－≥， 所以c≤，故c的取值范围为. 答案　 14．已知x＞0，y＞0，求z＝(x＋2y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲：z＝(x＋2y)＝2＋＋＋8≥18； 乙：z＝(x＋2y)≥2·2＝16. ①你认为甲、乙两人解法正确的是________． ②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确：________. 答案　①甲 ②答案不唯一． 如：已知x＞0，y＞0，求z＝(a＋b)的最小值． 甲：z＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4， 乙：z＝(a＋b)≥2·2＝4. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)中． 已知集合A＝{x|x2－4x－12≤0}， B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}． (1)求集合A，B； (2)若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析　(1)由x2－4x－12≤0得－2≤x≤6， 故集合A＝{x|－2≤x≤6}， 由x2－2x＋1－m2＝0得x1＝1－m，x2＝1＋m， 因为m＞0，故集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}； (2)若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集， 则有解得m≥5， 所以，实数m的取值范围是[5，＋∞)． 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有解得0＜m≤3， 所以实数m的取值范围是(0,3]． 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B， 则有方程组无解， 所以不存在满足条件的实数m. 16．(15分)已知函数y＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，试求函数(x＞0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0,2]，不等式y≤a成立，试求a的取值范围． 解析　(1)依题意得＝＝x＋－4. 因为x＞0，所以x＋≥2. 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， 所以≥－2. 故当x＝1时，的最小值为－2. (2)因为y－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对于任意的x∈[0,2]，不等式y≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨设z＝x2－2ax－1， 则只要z≤0在[0,2]上恒成立． 所以解得a≥. 所以a的取值范围是. 17．(15分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)>0，其中k∈R. (1)当k变化时，试求不等式的解集A； (2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 解析　(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}； 当k>0且k≠2时，A＝； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}； 当k<0时，A＝. (2)由(1)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为k＋＝－≤－4，当且仅当k＝－2时等号成立，所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，此时A＝{x|－4<x<4}， 故集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}． 18．(17分)某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n(n∈N＋)年内的总维修保养费用为(4n2＋20n)万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润(纯利润＝累计投入－总维修保养费用－投资成本)为y万元． (1)写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； (2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目． 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由． 解析　(1)由题意可知y＝100n－(4n2＋20n)－144＝－4n2＋80n－144(n∈N＋)． 令y>0，得－4n2＋80n－144>0，解得2<n<18， 所以从第3年起开始盈利． (2)若选择方案①，设第n年年底，该项目的年平均利润为y1万元， 则y1＝＝80－4≤80－4×2＝32，当且仅当n＝，即n＝6时等号成立，所以当n＝6时，y1取得最大值32，此时该项目共获利32×6＋72＝264(万元)． 若选择方案②，由(1)知y＝－4n2＋80n－144＝－4(n－10)2＋256，所以当n＝10时，y取得最大值256，此时该项目共获利256＋8＝264(万元)． 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需要10年，所以仅考虑该项目的获利情况的话，选择方案①更有利于该公司发展． 19．(17分)(2025·浙江杭州高一统考)定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族． 定义2：集合X的一个拓扑是以X的子集为元素的一个族Γ.它满足以下条件：①∅和X都在Γ中，②Γ的任意子集的并集在Γ中；③Γ的任意有限子集的交集在Γ中． (1)族P＝{∅，X}，族Q＝{Y|Y⊆X}，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑； (2)设有限集X为全集， (ⅰ)证明：∁X(A1∩A2∩…∩An)＝(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)(n∈N*)； (ⅱ)族Γ为集合X的一个拓扑，证明：由族Γ所有元素的补集构成的族Γf为集合X的一个拓扑． (1)解析　经检验，族P和族Q满足定义2中的三个条件，则族P＝{∅，X}，Q＝{Y|Y⊆X}都是集合X的拓扑． (2)证明　(ⅰ)设x∈∁X(A1∩A2∩…∩An)，则x∉A1∩A2∩…∩An， 故存在整数i(1≤i≤n)使x∉Ai， 因此x∈∁XAi， 得x∈(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)． 设x∈(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)，则存在整数j(1≤j≤n)使x∈∁XAj，故x∉Aj， 因此x∉A1∩A2∩…∩An， 得x∈∁X(A1∩A2∩…∩An)，即证． (ⅱ)因为∅，X∈Γ，∁XX＝∅，∁X∅＝X， 所以∅，X∈Γf，符合条件①； 设M＝{A1，A2，…，An}为Γf的任意子集， 则N＝{∁XA1，∁XA2，…，∁XAn}⊆Γ， 由(ⅰ)知A1∩A2∩…∩An＝∁X((∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn))， 因为(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)∈Γ， 所以A1∩A2∩…∩An∈Γf，符合条件③； A1∪A2∪…∪An＝∁X((∁XA1)∩(∁XA2)∩…∩(∁XAn))， 因为(∁XA1)∩(∁XA2)∩…∩(∁XAn)∈Γ， 所以A1∪A2∪…∪An∈Γf，符合条件②.即证． 学科网（北京）股份有限公司 $$