第1章 周末练4 章末检测试卷一(第1章)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合运算、命题逻辑、不等式解法及均值定理应用等核心知识，通过选择、填空、解答题的梯度设计，将集合交并补、充分必要条件判断、一元二次不等式分类讨论等知识点串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，如第17题用均值定理求最值体现逻辑推理，第19题结合净化剂浓度问题培养数学建模能力。资料包含开放题（如第13题答案不唯一）和分层练习，能满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用与问题解决能力。

第一章　预备知识 <<< 周末练4 章末检测试卷一(第一章) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A B A C B C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ACD ACD ABD {x|x≤－2或x＝1} 1，－3(答案不唯一) 1 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当a＝时，B＝， 又A＝{x|1<x<2}，∴A∩B＝. (2)当a≤1时，集合B＝∅满足B⊆A； 当a>1时，要使得B⊆A，则需满足a≤2， 即满足此种情况的a的取值范围为1<a≤2. 综上可知，当B⊆A时，实数a的取值范围为{a|a≤2}. 18 19 17 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. (1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， ∁RP＝{x|x<4，或x>7}， Q＝{x|－2≤x≤5}， 所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件， 则P Q， 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得， 解得0≤a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}. 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)xy＝2x＋y＋6≥2＋6， 令＝t，可得t2－2t－6≥0， 又∵t>0，解得t≥3， 故xy的最小值为18. 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)， ∴题中式子变为＝t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当t＝，即t＝2，x＝1时，取等号， ∴的最小值为9. 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当a＝0时，原不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}. (2)当a≠0时，原不等式可化为(ax＋1)(x－2)>0，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0 的两根分别为2和－. ①当a<0时，则 (ⅰ)当－<2，即a<－时， 解不等式得－<x<2， 即原不等式的解集为； 18 19 17 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (ⅱ)当－＝2，即a＝－时，不等式无解， 即原不等式的解集为∅； (ⅲ)当－>2，即－<a<0时， 解不等式得2<x<－， 即原不等式的解集为. 18 19 17 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当a>0时，－<2， 解不等式得x<－或x>2， 即原不等式的解集为. 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>2}； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 18 19 17 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a<－； 当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a>0时，原不等式的解集为. 18 19 17 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度y1可表示为：当0≤x≤4时，y1＝－4； 当4<x≤10时，y1＝20－2x. 则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x<8， 所以此时0≤x≤4； 当4<x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8， 所以此时4<x≤8. 综上得0≤x≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天. 18 19 17 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天， 浓度y2＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4. 因为4≤14－x≤8，而1≤a≤4，则1≤≤2， 所以4≤4≤8，故y2≥8－a－4. 当且仅当14－x＝4时，y2有最小值为8－a－4. 18 19 17 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令8－a－4≥4，即a－8＋8≤0， 解得4－2≤≤2，所以24－16≤a≤4， 所以a的最小值为24－16≈1.6. 18 19 17 一、单项选择题 1.已知集合A＝{x|x－2≤0}，B＝N，则集合A∩B等于 A.{0，1，2} B.{x|x≤2} C.{1，2} D.{x|0≤x≤2} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由题意得A＝{x|x≤2}， ∴A∩B＝{0，1，2}. 解析 2.命题“∀x∈R，2x2＝3x”的否定是 A.∀x∉R，2x2≠3x B.∀x∈R，2x2≠3x C.∃x∉R，2x2≠3x D.∃x∈R，2x2≠3x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 3.已知p：－1<x<1，q：x≥－2，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 若－1<x<1，则必有x≥－2成立， 而当x≥－2时，－1<x<1不一定成立，即p⇒q成立，反之不成立，所以p是q的充分不必要条件. 解析 4.若p：(x＋1)(x－2)≤0，q：≤0，则p为q的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由(x＋1)(x－2)≤0得－1≤x≤2，由≤0得－2<x≤2，所以p⇒q，但q⇏p，所以p为q的充分不必要条件. 解析 5.已知实数a，b满足a>0，b>1，且a＋b＝5，则的最小值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为a>0，b>1，且a＋b＝5，所以b－1>0， 则[a＋(b－1)]× ＝≥＝ ，即a＝8－4，b＝4－3时，等号成立. 解析 6.已知命题p：“∀x∈R，ax2＋2x＋3>0”为假命题，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 若命题p为真命题， ①若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0对∀x∈R不成立； ②若a≠0，则解得a>， ∴使命题p为真命题的a的取值范围为， ∴使命题p为假命题的a的取值范围是. 解析 7.已知当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝在同一点取得相同的最小值，那么当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c的最大值是 A. B.4 C.8 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 y2＝＝x＋1＋≤x≤2. 当x＝1时，y2取得最小值3， 所以y1＝(x－1)2＋3. 所以当x＝2时，(y1)max＝4. 解析 8.已知a>0，b>1，且a＋b＝2，则的最小值为 A.13 B.14 C.15 D.16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 ∵a>0，b>1且a＋b＝2， ∴a＋b－1＝1，故＝a＋＋(b－1)＋2＋＝3＋＝3＋[a＋(b－1)]＝3＋3＋＋3≥9＋2 ＝9＋6＝15，当且仅当且a＋b＝2， 即a＝，b＝时取“＝”. 故的最小值为15. 解析 二、多项选择题 9.已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有 A.3∈A B.{－3}∈A C.∅⊆A D.{3，－3}⊆A 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}， 对于A，3∈A，故A正确； 对于B，{－3}⊆A，集合与集合之间的关系符号错误，故B不正确； 对于C，∅⊆A，故C正确； 对于D，{3，－3}⊆A，故D正确. 解析 10.若“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是 A.－8 B.－5 C.1 D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 由x2＋3x－4<0，解得－4<x<1， 令A＝{x|－4<x<1}， x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0，即(x－k)[x－(k＋3)]>0，解得x<k或x>k＋3， 令B＝{x|x<k或x>k＋3}. 由题意知A B，所以k≥1或k＋3≤－4， 即k∈(－∞，－7]∪[1，＋∞). 解析 11.当一个非空数集G满足“若任意a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法正确的有 A.0是任何数域的元素 B.若数域G有非零元素，则2 024∈G C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域 D.有理数集是一个数域 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当a＝b时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有a－b∈G，即0∈G，故A正确； 当a＝b≠0时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有∈G，即1∈G，若1∈G，则1＋1＝2∈G，则2＋1＝3∈G，…，1＋2 023＝2 024∈G，故B正确； 当a＝2∈P，b＝4∈P时，∉P，故C错误； 对任意a，b∈Q，则a＋b，a－b，ab∈Q，且b≠0时，∈Q，所以有理数集是一个数域，故D正确. 解析 三、填空题 12.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}，则(∁RS)∪T＝__________ _______. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 {x|x≤－2或 x＝1} ∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0} ＝{－4，1}.所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2或x＝1}. 解析 13.能说明“若a>b，则a2>b2”为假命题的一组a，b的值依次为_________ _____________. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 1，－3 (答案不唯一) 由不等式的性质，若a>b>0，则a2>b2， 可通过构造a，b一正一负或两个同负的反例即可. 比如，a＝1，b＝－3或者a＝－1，b＝－3. 解析 14.若关于x的不等式x＋≥5在x>a时恒成立，则实数a的最小值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 1 关于x的不等式x＋≥5在x>a时恒成立，即x－a＋≥5－a在x>a时恒成立，由x>a，可得x－a>0，则x－a＋≥2＝4，当且仅当x－a＝2，即x＝a＋2时，x－a＋取得最小值4， 所以5－a≤4，解得a≥1，故a的最小值为1. 解析 四、解答题 15.已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|1<x<a}，其中a为实常数. (1)若a＝，求A∩B； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当a＝时，B＝， 又A＝{x|1<x<2}，∴A∩B＝. 解 (2)若B⊆A，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 当a≤1时，集合B＝∅满足B⊆A； 当a>1时，要使得B⊆A，则需满足a≤2， 即满足此种情况的a的取值范围为1<a≤2. 综上可知，当B⊆A时，实数a的取值范围为{a|a≤2}. 解 16.已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}. (1)若a＝3，求(∁RP)∩Q； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. 当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， ∁RP＝{x|x<4，或x>7}， Q＝{x|－2≤x≤5}， 所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}. 解 (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件， 则P Q， 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得， 解得0≤a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}. 解 17.(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 xy＝2x＋y＋6≥2＋6， 令＝t，可得t2－2t－6≥0， 又∵t>0，解得t≥3， 故xy的最小值为18. 解 (2)当x>－1时，求的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)， ∴题中式子变为＝t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当t＝，即t＝2，x＝1时，取等号， ∴的最小值为9. 解 18.设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (1)当a＝0时，原不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}. (2)当a≠0时，原不等式可化为(ax＋1)(x－2)>0，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－. ①当a<0时，则 (ⅰ)当－<2，即a<－时， 解不等式得－<x<2， 即原不等式的解集为； 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 (ⅱ)当－＝2，即a＝－时，不等式无解， 即原不等式的解集为∅； (ⅲ)当－>2，即－<a<0时， 解不等式得2<x<－， 即原不等式的解集为. ②当a>0时，－<2，解不等式得x<－或x>2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 即原不等式的解集为. 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>2}； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当a<－； 当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a>0时，原不等式的解集为. 解 19.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4<x≤10时，y＝5－x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几天？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度y1可表示为：当0≤x≤4时，y1＝－4； 当4<x≤10时，y1＝20－2x. 则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x<8， 所以此时0≤x≤4； 当4<x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8， 所以此时4<x≤8. 综上得0≤x≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂， 则有效净化时间可达8天. 解 (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据：≈1.4) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 17 设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天， 浓度y2＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4. 因为4≤14－x≤8，而1≤a≤4，则1≤≤2， 所以4≤4≤8，故y2≥8－a－4. 当且仅当14－x＝4时，y2有最小值为8－a－4. 令8－a－4≥4，即a－8＋8≤0， 解得4－2≤≤2，所以24－16≤a≤4， 所以a的最小值为24－16≈1.6. 解 第一章　预备知识 <<< $