2.2.1 不等式及其性质（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

2.2.1 不等式及其性质 题型一 判断不等式是否正确 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．【多选】（23-24高一上·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（24-25高一上·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型二 作差法比较大小 7．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三下·全国·专题练习）已知，则的大小关系是 ． 9．（2024高三·全国·专题练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，大小不确定 10．（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 题型三 作商法比较大小 12．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 13．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 14．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 题型一 利用不等式性质求范围 15．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知，则代数式的取值范围为 ． 16．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·全国·周测）若，，则的取值范围为 ． 18．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 19．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 20．【多选】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 题型二 利用不等式的性质证明不等式 21．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 22．（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 23．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 24．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．【多选】（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．【多选】（24-25高三下·山西·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（2026届东北三省一区八校联合体高三第一次模拟考试数学试卷）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 6．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 7．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 不等式及其性质 题型一 判断不等式是否正确 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 3．【多选】（23-24高一上·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 5．【多选】（24-25高一上·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】对于AD，举例判断，对于BC，利用不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，当时，满足，此时，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以，即， 因为，所以，所以C正确， 对于D，当，时，满足，，此时，， 则，所以D错误. 故选：BC 6．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断AC，举例说明判断BD. 【详解】A：若，则，故A错误； B：举例，不成立，故B错误； C：由题意知，则，故C正确； D：举例，不成立，故D错误. 故选：C 题型二 作差法比较大小 7．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 8．（2025高三下·全国·专题练习）已知，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据分母有理化计算判断大小关系. 【详解】， ，． 故答案为：. 9．（2024高三·全国·专题练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，大小不确定 【答案】B 【分析】利用作差法分析判断即可 【详解】因为， 所以. 故选：B 10．（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）两式平方比较大小； 【详解】（1） 理由：， 估算是，估算是，所以， 因此. （2） 理由：将两式平方， ，显然， 所以. 题型三 作商法比较大小 12．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 13．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 14．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 题型一 利用不等式性质求范围 15．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 16．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 17．（24-25高一上·全国·周测）若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式式性质计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 18．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 19．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 20．【多选】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 题型二 利用不等式的性质证明不等式 21．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 22．（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 23．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 24．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）实数，则，证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质推理得证. （2）（i）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得.（ii）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）由，得，而，则， 于是，又，所以. （2）（i）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （ii）由（i）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断. 【详解】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 2．【多选】（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 3．【多选】（24-25高三下·山西·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可. 【详解】因为，，故，所以，故A正确； 不妨取，，则，故B错误； 因为，，所以，即，即，故C正确； 不妨取，，则，故D错误． 故选：AC. 4．【多选】（2026届东北三省一区八校联合体高三第一次模拟考试数学试卷）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围； （2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； 因为所以，又因为，所以; （2）令， 则，解得， 又因为，,所以， 所以. 7．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$