第03讲 导数与函数的极值、最值（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第3讲 导数与函数的极值、最值 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 2 03 探究核心考点 3 考点一：求函数的极值与极值点 3 考点二：根据极值、极值点求参数 4 考点三：求函数的最值（不含参） 5 考点四：求函数的最值（含参） 5 考点五：根据最值求参数 6 考点六：函数单调性、极值、最值的综合应用 7 考点七：不等式恒成立与存在性问题 7 三阶突破训练 基础训练· 8 能力提升 9 真题感知 11 一、5年真题考点分布 考点要求 考题统计 考情分析 （1）函数的极值 （2）函数的最值 2025年II卷第18题，17分 2025年II卷第10题，6分 2025年I卷第19题，17分 2024年I卷第10题，6分 2024年II卷第16题，15分 2024年II卷第11题，6分 2024年甲卷第21题，12分 2023年乙卷第21题，12分 2023年II卷第22题，12分 2022年乙卷第16题，5分 2022年I卷第10题，5分 2022年甲卷第6题，5分 高考对极值、最值的考查较为稳定，是重点考查的部分。在本节内容中，无论高考题目如何变化，只要我们抓住导数作为研究函数的重要工具这一关键，借助图像把函数的单调性、极值、最值等核心问题直观清晰地呈现出来，剩下的便是具体问题的转化了。最终的焦点必然是函数的单调性与最值，因为它们始终是导数的核心。 二、课标要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 三、知识导图 1．函数的极值 条件 附近的左侧,右侧 附近的左侧,右侧 图象 形如山峰 形如山谷 极值 为极①  值 为极②  值 极值点 为极③  值点 为极④  值点 提醒（1）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点. （2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2．函数的最值 （1）一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. （2）若函数在上单调递增,则⑤_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最小值,⑥_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最大值;若函数在上单调递减,则⑦_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最大值,⑧_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最小值. 提醒 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值. 考点一 求函数的极值与极值点 典例1．（2025·辽宁·模拟）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 典例2．（2025·云南曲靖·模拟）函数的极值点为（    ） A．0 B．1 C． D． 【方法技巧】 1.求函数的极值或极值点的步骤 （1）求导数，不要忘记函数的定义域； （2）求方程的根； （3）检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点或函数的极值. 2.因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． 3.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在处得到极大值 B．在处得到极大值 C．在处得到极小值 D．在处得到极小值 跟踪训练2．（2025·浙江·模拟）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 考点二 根据极值、极值点求参数 典例1．（2025·黑龙江·模拟）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 典例2．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧】 1.根据函数的极值（点）求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 2.注意 （1）导数为零的点不一定是极值点. （2）对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程的根的情况进行讨论，分两个层次讨论，第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小. 跟踪训练1．（2025·宁夏·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 考点三 求函数的最值（不含参） 典例1．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 典例2.（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 跟踪训练1．（2025·河南驻马店·模拟）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·北京·模拟）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 考点四 求函数的最值（含参） 典例1．（2025·福建·模拟）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B．设，为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 典例2．（2025·江西·模拟）已知函数. (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：） 【方法技巧】 若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 跟踪训练1．（2025·四川成都·三模）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 跟踪训练2．（2025·湖南岳阳·模拟）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 考点五 根据最值求参数 典例1．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 典例2．（2025·上海·模拟）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【方法技巧】 1.求函数 在 上最值的方法 （1）若函数在区间上单调递增（或单调递减）,则为最小值（或最大值），为最大值（或最小值）. （2）若函数在闭区间内有极值,要先求出上的极值,再与,比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. （3）若函数在区间上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大（或最小）值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 2.已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围． 跟踪训练1．（2025·湖北十堰·模拟）若函数在定义域上的最大值为，则当ab取得最小值时，实数 . 跟踪训练2．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 考点六 函数单调性、极值、最值的综合应用 典例1．（2025·江苏连云港·模拟）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·江西·模拟）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且，求的取值范围． 【方法技巧】 1.求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论. 3.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值. 4.函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法. 跟踪训练1．（2025·云南玉溪·模拟）（多选题）函数有两个零点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟）已知函数（，且）. (1)当时，证明：. (2)若不等式恒成立，求a的值. 考点七：不等式恒成立与存在性问题 典例1．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·湖北武汉·模拟）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 1.分离变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题. 恒成立转化为; 恒成立转化为; 能成立转化为； 能成立转化为. 跟踪训练1．（2025·重庆沙坪坝·模拟）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数，为的导函数，，则（    ） A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值 C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值 2．（2025·广西·模拟）函数在处取得极小值，则极小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·浙江·模拟）已知函数，则（    ） A．函数的极大值点为 B．函数的极小值为2 C．过点作曲线的切线有两条 D．直线是曲线的一条切线 4．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南驻马店·模拟）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数的最小值是，则 . 10．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 1．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·模拟）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·三模）（多选题）已知，则（    ） A．，使得是增函数 B．，函数均存在极值点 C．，函数只有一个零点 D．，且，有 4．（2025·江苏·一模）（多选题）已知函数，其导函数为，则（    ） A．直线是曲线的切线 B．有三个零点 C． D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 5．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 6．(2025· 八省联考)已知函数. （1） 设，，求曲线的斜率为2的切线方程; （2） 若是的极小值点，求的取值范围. 7．（2025·广东广州·模拟）已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)求的最小值； (3)设，若对恒成立，求b的最大值． 8．（2025·湖北黄冈·模拟）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 9．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：． 10．（2025·甘肃白银·二模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 1.（2025年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　 A． B．当时， C．，当且仅当 D．是的极大值点 2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 6．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 7.（2025年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（1）设函数．求在，的最大值； （2）给定，为给定实数，证明：存在，，使得； （3）若存在，使得对任意，都有，求的最小值． 8．（2025年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，其中． （1）证明：在存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设，为在的极值点和零点， 设，证明：在单调递减； 比较与的大小，并证明你的结论． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 导数与函数的极值、最值 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 2 03 探究核心考点 3 考点一：求函数的极值与极值点 3 考点二：根据极值、极值点求参数 5 考点三：求函数的最值（不含参） 7 考点四：求函数的最值（含参） 9 考点五：根据最值求参数 13 考点六：函数单调性、极值、最值的综合应用 15 考点七：不等式恒成立与存在性问题 19 三阶突破训练 基础训练· 22 能力提升 27 真题感知 38 一、5年真题考点分布 考点要求 考题统计 考情分析 （1）函数的极值 （2）函数的最值 2025年II卷第18题，17分 2025年II卷第10题，6分 2025年I卷第19题，17分 2024年I卷第10题，6分 2024年II卷第16题，15分 2024年II卷第11题，6分 2024年甲卷第21题，12分 2023年乙卷第21题，12分 2023年II卷第22题，12分 2022年乙卷第16题，5分 2022年I卷第10题，5分 2022年甲卷第6题，5分 高考对极值、最值的考查较为稳定，是重点考查的部分。在本节内容中，无论高考题目如何变化，只要我们抓住导数作为研究函数的重要工具这一关键，借助图像把函数的单调性、极值、最值等核心问题直观清晰地呈现出来，剩下的便是具体问题的转化了。最终的焦点必然是函数的单调性与最值，因为它们始终是导数的核心。 二、课标要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 三、知识导图 1．函数的极值 条件 附近的左侧,右侧 附近的左侧,右侧 图象 形如山峰 形如山谷 极值 为极①  值 为极②  值 极值点 为极③  值点 为极④  值点 提醒（1）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点. （2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系. 【答案】大； 小； 大； 小 2．函数的最值 （1）一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. （2）若函数在上单调递增,则⑤_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最小值,⑥_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最大值;若函数在上单调递减,则⑦_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最大值,⑧_  _  _  _  _  _  _  _  为函数的最小值. 提醒 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值. 【答案】； ； ； 考点一 求函数的极值与极值点 典例1．（2025·辽宁·模拟）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【答案】C 【解析】因为，所以， 令，则，所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即，所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以． 故选：C 典例2．（2025·云南曲靖·模拟）函数的极值点为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】， 由，即，解得：．由，得，由，得 函数在处取得极大值， 故选：A． 【方法技巧】 1.求函数的极值或极值点的步骤 （1）求导数，不要忘记函数的定义域； （2）求方程的根； （3）检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点或函数的极值. 2.因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． 3.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在处得到极大值 B．在处得到极大值 C．在处得到极小值 D．在处得到极小值 【答案】C 【解析】由，且，所以时，递减，时，递增，所以在处得到极小值. 故选：C 跟踪训练2．（2025·浙江·模拟）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，记，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以，当时，， 因为，且当时，， 所以，当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增. 所以，当时，取得极小值. 故选：B 考点二 根据极值、极值点求参数 典例1．（2025·黑龙江·模拟）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，，所以函数的极小值. 故选：A 典例2．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时，时，，单调递增，时，，单调递增， 时，，单调递减，得在处取得极小值，即， 解得；当即时，时，，单调递增，时，，单调递增，时，，单调递减，得在处取得极小值，即，不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 【方法技巧】 1.根据函数的极值（点）求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 2.注意 （1）导数为零的点不一定是极值点. （2）对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程的根的情况进行讨论，分两个层次讨论，第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小. 跟踪训练1．（2025·宁夏·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 故选：C. 跟踪训练2．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 考点三 求函数的最值（不含参） 典例1．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 典例2.（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B 【方法技巧】 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 跟踪训练1．（2025·河南驻马店·模拟）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 跟踪训练2．（2025·北京·模拟）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 【答案】B 【解析】因为函数，，所以函数至少有一个零点，A错误； 所以， 令，可得， 时，在上递减； 时，在上递增； 故在R上不单调递增，C错误； 所以时，有最小值，B正确； 因为的增长速度大于的增长速度，所以时，， 故不存在，对任意，有，D错误. 故选：B. 考点四 求函数的最值（含参） 典例1．（2025·福建·模拟）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B．设，为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】因函数的定义域为，求导得. 对于A，由，知函数恒有两个变号零点，故函数恒有两个极值点，故A正确； 对于B，由A分析，，， 则，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 则，1分别是的极大值点和极小值点，因在上有最大值， 且，故有，故C错误； 对于D， ，则有，解得，故D正确. 故选：AD. 典例2．（2025·江西·模拟）已知函数. (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：） 【答案】(1)（或）(2)证明见解析 【解析】（1）由，得，令，则， 设，，则，因为，所以. 所以在单调递增，所以. 所以时，，可知，所以在上单调递减， 所以，故（或）. （2）由可知，的定义域为，设， ，所以在上单调递减， ， 存在，使得，即， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，也是最大值，. 所以， 令，则在区间上单调递增， 故， 所以. 【方法技巧】 若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 跟踪训练1．（2025·四川成都·三模）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上的值域为的子集， 当时，，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，即函数在上的值域为， 由题意可得，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 跟踪训练2．（2025·湖南岳阳·模拟）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【解析】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（），即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 考点五 根据最值求参数 典例1．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【答案】1 【解析】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 典例2．（2025·上海·模拟）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值，所以. 故答案为：. 【方法技巧】 1.求函数 在 上最值的方法 （1）若函数在区间上单调递增（或单调递减）,则为最小值（或最大值），为最大值（或最小值）. （2）若函数在闭区间内有极值,要先求出上的极值,再与,比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. （3）若函数在区间上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大（或最小）值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 2.已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围． 跟踪训练1．（2025·湖北十堰·模拟）若函数在定义域上的最大值为，则当ab取得最小值时，实数 . 【答案】 【解析】因为且定义域为，则， 当时，恒成立，则在定义域上单调递增，不存在最大值，故舍去； 当时，有，有， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得最大值，即， 所以，， 令，则， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，． 故答案为： 跟踪训练2．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符； 当时，令，则， 若，时，，则在上单调递增，故，不符； 若，时， 在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增， 所以，则， 可得，又，可得； 综上，. 故选：A 考点六 函数单调性、极值、最值的综合应用 典例1．（2025·江苏连云港·模拟）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 典例2．（2025·江西·模拟）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以，求导得，所以， 又因为，故曲线在点处的切线方程为． （2）由函数可知，.求导得：， 当时，因为，所以，此时为单调递增函数，没有极小值，与题意不符； 当时，， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数有极小值为． 又，所以，即， 因为，所以． 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以的解集为，即的取值范围是． 【方法技巧】 1.求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论. 3.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值. 4.函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法. 跟踪训练1．（2025·云南玉溪·模拟）（多选题）函数有两个零点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为函数有两个零点， 所以有两个根，即有两个根， 即与的图象有两个交点，设，所以， 当时，解得，所以函数在单调递增； 当时，解得，所以函数在单调递减， 所以，当时，，当时，， 函数的图象如图所示， 结合图象可得当时，与的图象有两个交点， 即函数有两个零点，故A正确； 对于D，又，结合图象可知， 因为，要证明， 即证明，整理得， 令，即证明， 即证明， 设，所以恒成立， 所以在（0,1）单调递增，所以， 即，故D正确； 对于C，， 又，，则，即，故C不正确； 对于B，因为，，可得， 可得，故B正确. 故选：ABD. 跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟）已知函数（，且）. (1)当时，证明：. (2)若不等式恒成立，求a的值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）证明：因为，所以， 令，则， 令，解得，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，所以，即，所以； （2）解：令，则， 又因为，所以在处的值为， 又因为，所以，由，解得； 当时，令，下面证明恒成立， 当时，令， 则， 由（1）可知，当时等号成立， 所以，即，当时等号成立， 又因为，所以，所以在上单调递增，所以， 所以，所以； 当时，令，则，即为， 令，则， 令，则 因为，所以，单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 综上，当时，恒有成立. 故. 考点七：不等式恒成立与存在性问题 典例1．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，则， 令，，则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 典例2．（2025·湖北武汉·模拟）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为是函数的极小值点，所以恒成立， 令，则， ， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近， 当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意． 综上所述：的取值范围为． 故选：D 【方法技巧】 1.分离变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题. 恒成立转化为; 恒成立转化为; 能成立转化为； 能成立转化为. 跟踪训练1．（2025·重庆沙坪坝·模拟）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点，如图，， 解得． 故选：A. 1．已知函数，为的导函数，，则（    ） A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值 C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值 【答案】C 【解析】的定义域为，， 所以，求导得，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值． 故选：C． 2．（2025·广西·模拟）函数在处取得极小值，则极小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，因为函数在处取得极小值，则，解得， 此时，当或时，，当，时， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值. 故选：C 3．（2025·浙江·模拟）已知函数，则（    ） A．函数的极大值点为 B．函数的极小值为2 C．过点作曲线的切线有两条 D．直线是曲线的一条切线 【答案】D 【解析】，令，解得或， 因为，；，；，； 所以在递增，递减，递增， 故的极大值点为，故A错误； 极小值为，故B错误； 设过的切线为，切点为， 所以， 则， 从而， 解得或，有三条切线，故C错误； 令，即，解得， 从而，即切线方程为，故D正确． 故选：D. 4．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，即，令，即存在使得， 构造，，由，可得，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以，即存在，使得，参变分离得到， 令， 易得当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为，当时，，所以的值域为：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 5．（2025·河南驻马店·模拟）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， 令，则，， 作出的图象， 要使函数在区间上有三个极值点，则， 解得，则的取值范围为. 故选：B. 7．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根，显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因时，，函数图象的对称轴为， 当时，函数在时取得极大值， 又因时，，且， 由函数的性质，可知要使还有一个极值，那就是， 所以必须使， 则由，可得. 故选：A. 9．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数的最小值是，则 . 【答案】 【解析】由题意可得. 设，则，所以是偶函数. 当时，. 设，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以， 由. 故答案为： 10．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 1．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或，令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或，令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（2025·江苏连云港·模拟）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点，则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 3．（2025·重庆·三模）（多选题）已知，则（    ） A．，使得是增函数 B．，函数均存在极值点 C．，函数只有一个零点 D．，且，有 【答案】ACD 【解析】对于AB，，当时，，所以为增函数，此时无极值，所以A正确，B错误； 对于C，当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 又，当时，， 所以观察图象可知，函数只有一个零点，所以C正确； 对于D，当时，由选项C可知在上递增，上递减，上递增， 所以的极大值为，极小值为， 因为，所以， 当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 因为，，所以，综上，所以D正确. 故选：ACD 4．（2025·江苏·一模）（多选题）已知函数，其导函数为，则（    ） A．直线是曲线的切线 B．有三个零点 C． D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】因为，则，，所以，C正确； 因为，令，得，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且， 图象如图所示： 故有两个极值点，三个零点，故B正确； 设切点的坐标为，则切线斜率为， 则，所以不存在斜率为的切线， 直线不是曲线的切线，故A错误； 因为，所以若在区间上有最大值， 则，所以，故D错误． 故选：BC． 5．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】的定义域为R， ， 令， 若，则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，， 若，则，此时， 其中，， 当且时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，即时，恒成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，则或， 当时，设的两根为， 开口向上，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 即为的最小值，故满足要求； 当时，设的两根为 开口向下，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当趋向于时，趋向于，不存在最小值， 综上， 故答案为： 6．(2025· 八省联考)已知函数. （1） 设，，求曲线的斜率为2的切线方程; （2） 若是的极小值点，求的取值范围. 【答案】（1）5; （2）的取值范围为 【解析】（1） 由题意，,函数 的定义域为,令，得,所以,故切点为,又斜率为2,则切线方程为. （2） 函数 的定义域为,因为 是 的极小值点，所以,得. 所以. ①若，则,令 得,此时当 时，,单调递增；当 时，,单调递减，在 处取得极大值，不符合题意，舍去. ②若，当 时，,单调递减；当 时，,单调递增；当 时，,单调递减,此时，在 处取得极大值，不符合题意，舍去. ③若，则,在 上单调递减，不存在极值，舍去. ④若，当 时，,单调递减； 当 时，,单调递增；当 时，,单调递减, 此时 在 处取得极小值，符合题意. 综上，的取值范围为. 7．（2025·广东广州·模拟）已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)求的最小值； (3)设，若对恒成立，求b的最大值． 【答案】(1)1;(2)0;(3)2 【解析】（1）由得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得． （2）由（1）知， 所以， 令，则． 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在单调递减， 又，所以存在唯一零点，使得． 所以在单调递增，在单调递减． 又， 所以在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，即的最小值为0. （3）因为对恒成立， 令，则，由（2）知，所以， 因为，所以．假设当时，对恒成立． 由（2）知，则，所以． 设，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即满足题意． 综上所述，整数的最大值为2． 8．（2025·湖北黄冈·模拟）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）当时，，则， 要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立，令， 因为，令，解得， 由，得，此时函数单调递增， 由，得，此时函数单调递减， 所以当时，取得最小值， 因为，所以恒成立，即在上单调递增； （2）方法一：令，等价于，设， 当时，没有零点；当时，， 当时，，函数单调递增， 因为，所以函数在上有一个零点； 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，的最小值为， 若．即在上没有零点； 若，即在上有一个零点； 若，即， 因为，当时，， 所以在上有两个零点； 综上，当时，有3个零点. 方法二：当时，恒成立，没有零点，故， 当时，单调递增，单调递减， 故在上单调递增， 且当时，， 故在上有唯一零点， 所以在上有三个零点等价于在上有两个零点， 当时，由， 即，得， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，， 且当时，，当时，， 故要使在上有两个零点， 则只要即可，解得； 综上，当时，有3个零点. 9．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）由题意得，定义域为， ， 可得曲线在点处的切线的斜率为0． ， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）， 易知，且． 令，则． 当，即时，在上恒成立，且等号不恒成立， 即在上恒成立，且等号不恒成立，因此在上单调递增． 当，即时， 由解得或， ， 当时，；当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，. （3）由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减． ． 令， 则在上恒成立， 在上单调递增，则当时，， 在上恒成立． ，且． 由于在上单调递减，． 令， 则在上恒成立， 在上单调递增，则当时，， 在上恒成立． 且． 在上单调递增，． 由和可得． 10．（2025·甘肃白银·二模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，设直线的方程为， 曲线与直线相切于点， 因为，所以①， 又点既在曲线上，又在直线上， 所以②，由①②得，所以， 所以，故的方程为. （2）由得：， 恰有2个正实数根恰有两个正实数根， 令，则与有两个不同交点， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则的图象如图所示， 当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为. 1.（2025年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　 A． B．当时， C．，当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解析】是定义在上的奇函数，所以，所以正确； 当时，，函数是奇函数，所以，所以正确． ，，，函数是减函数，，．函数是增函数， 所以是的极小值，（1）， 因为函数是奇函数，所以是极大值点，正确； 极大值为，又因为，函数图象如下： 由图像可得不正确． 故选：． 2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 6．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 7.（2025年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（1）设函数．求在，的最大值； （2）给定，为给定实数，证明：存在，，使得； （3）若存在，使得对任意，都有，求的最小值． 【解答】 （1）解法一：由已知得： ， 因为，所以，， 所以，故只需判断的符号即可，由，解得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以； 解法二： . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. 解法三：令.注意到，故或，即或. 于是，时，，所以，即，此时单调递增； 时，，所以，即，此时单调递减. 所以. （2）证明：解法一：若，则， 若，不妨，， ①若，则； ②若，此时，所以， 令，可知存在，，使得； ③若，此时，所以， 令，可知存在，，使得； 综上，存在，，使得，证毕． 解法二：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 解法三：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）解法一：令，， 由于周期为，不妨设，，， 因为连续且处处可导，所以最大值在根值点处取得， 令，，所以或， 所以或， 当时，， 当，， 所以，， 显然， 取值情况最多有6种，相当于图象上以为起点，横坐标以为跨度，往后总共取6个点， 由图象可知，时，取最小值， 所以，所以， 此时恒成立，且时取等号，所以的最小值为． 解法二：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 解法三：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得 . 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 8．（2025年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，其中． （1）证明：在存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设，为在的极值点和零点， 设，证明：在单调递减； 比较与的大小，并证明你的结论． 【解析】：解法一：（1）因为，， 所以， 当时，令，解得，又在单调递减， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是在上唯一的极值点，且是极大值点． 当时，令，则，所以在上单调递减，所以，即. 因为，，所以，使得， 即是在上唯一的零点； （2）证明：因为， 所以 （注意到，代入） ， 其中，为正数，为正数，显然成立，因此， 所以，即在上单调递减； ，证明如下： 由得，在上单调递减，所以， 即，， 因为是的零点，所以， 所以， 又因为，，且在，上单调递减，所以． 解法二：（1）因为，， 所以； ； 所以，使得，且在上为单调递减函数，如图所示. 所以当时，；当时，， 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，又当时， 所以,使得，且当时，；当时，， 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，又当时， 所以,使得，且当时，；当时，， 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，又当时， 所以有唯一极值点，且为的极大值，也有唯一零点 （2）因为分别为在上的极值点和零点，所以即，即，且 (i)因为，设，则 则 ①当时， 由(1)知，即 ②当时，，即 故，从而在上单调递减， 所以，从而在上单调递减. (ii)因为， 所以， 由(i)知在上单调递减.，所以，即. 由(1)知：当时，；当时，. 所以，故. 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$