精品解析：重庆市渝北中学校2024-2025学年九年级上学期数学第二次月考（期中）试卷

渝北中学教育集团2024-2025学年上期九年级第二学月质量监测 数学试题 （全卷共三大题26小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用毫米黑色墨水签字笔书写． 5．作图（包括作辅助线）请一律用铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，是无理数的（　　） A. B. 3.1415 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是无理数，立方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：，3.1415，是有理数，是无理数． 故选：C． 2. 中国代表队在第33届巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上取得了突破，以下奥运比赛项目图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义可得答案． 【详解】解：A．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，由得，根据平行线的性质得，通过邻补角互补即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选：． 4. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ， 又∵， ∴． 故选：B． 5. 下列计算中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的乘除法则对A、C选项进行判断；根据二次根式的减法法则对B选项进行判断；运用完全平方公式结合二次根式的运算法则对D选项进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项错误，符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 6. 下列命题中：①直径是弦；②经过三个点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中真命题有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理等．利用弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理判断即可． 【详解】解：①直径是弦，说法正确，是真命题； ②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原说法错误，不是真命题； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，不是真命题； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原说法错误，不是真命题； ⑤弦的垂直平分线经过圆心，说法正确，是真命题； ⑥在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不是真命题； 综上所述，真命题有①⑤，共2个， 故选：A． 7. 如图，一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．设所围的羊舍与墙平行的边长为，列出长方形的宽，根据长方形的面积公式可得方程． 【详解】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为，则长方形的宽为， 根据题意可得方程为：， 故选：D． 8. 如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质和折叠的性质，直径所对的圆周角是90度，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质得到垂直平分，所以，再判断为等边三角形得到，得出，再证明，最后利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理得到的长． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， 将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， 垂直平分， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：C． 9. 直线与抛物线的部分图象如图所示，下列说法：①；②与是抛物线上的两个点，则；③方程的两根为；④当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据对称轴为，得出，将点代入，结合得出由此判断①，由开口方向，与与对称轴的距离来比较的大小，由此判断②，根据图象与轴的交点和对称性判断③，将化成顶点式，得出当时，函数有最大值，再由，，和得出当时，函数有最大值，由此判断④即可． 【详解】解：对称轴为直线，抛物线开口向下， ，， ∴ 抛物线过点， ， ， ， ，故①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线，与是抛物线上的两个点， 而，，， ∴，故②正确； 与关于对称轴对称， 当时，， ，故③正确； ， ， 当时，函数有最大值， 直线过点， ， 由①可知，， ， ， 当时，函数有最大值，故④正确． 正确的有①②③④共4个． 故选：D． 10. 已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或或或时，为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故选：A． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. _______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂的公式解答即可． 本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：3． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知是一元二次方程，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在的内接四边形中，，，则的度数为__________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为： 15. 对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 16. 若数a使关于x的不等式组至少有5个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等组的解，分式方程的解，以及解一元一次不等式组和分式方程，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验． 解不等式组，根据整数解的个数判断的取值范围，解分式方程，用含的式子表示，利用分式方程有解，且有非负整数解，确定符合条件的整数，相加即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组至少有五个整数解， ， 分式方程， 去分母，得， 得， 化简得， ∵分式方程有非负整数解， ∴，且为整数，且， ∴，且为奇数，且， ∴，且为奇数，且， 综上，，且为奇数，且， 可以取，3，5， 所有整数之和为：， 故答案为：7． 17. 如图，在中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理、中位线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，△是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，作于． 在中，，，， ， ∵点D是的中点， ， ， ，即：， ， ，， 垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 18. 若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”．若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________． 【答案】 ①. 10 ②. 6554 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，正确理解“方和数”是解答本题的关键． 由题意可得：，整理可得，由为整数可得；设，，由除以13余7可得是整数，进而可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ，∵为整数，； ， ∴，； 设，，， ， 故，， ，，，． 故答案为：10；6554． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题每题10分，共78分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可； （2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，再把除法转为乘法，最后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，，过点A作交于点D，点E是线段上的点，连接，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在的右边作，射线交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形是菱形． 证明：，， ∴ ① ，， 在和中，， （ ③ ）， ， ， ∴ ④ ， ∴四边形是平行四边形． ∵ ⑤ ，∴四边形是菱形． 【答案】（1） 图形如图所示； （2），，，， 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求利用尺规作出图形即可； （2）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，对角线垂直的平行四边形是菱形进行推理即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为了解A，B两款品质相近的智能玩具在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具各10个，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行了整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，69，72，72，72，73，82 B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，74，72，72，73 两款智能玩具运行最长时间统计表： 类别 A B 平均数 70 70 中位数 70.5 b 众数 a 67 方差 31.2 26.6 （1）上述图表中a＝__________，b＝__________，m＝__________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具200个、B款智能玩具120个，估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的共有多少个？ 【答案】（1）72，71，10； （2）款智能玩具运行性能更好． 理由：虽然两款智能玩具运行最长时间的平均数相同，但款智能玩具运行最长时间的中位数高于款智能玩具，而方差小于款智能玩具，所以款智能玩具运行性能更好（答案不唯一）． （3）172个 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的计算，根据样本估计总体的方法，熟练掌握相关知识点是解题的估计． （1）根据中位数和众数的定义求解即可 （2）根据中位数和方差作决策即可． （3）根据样本根据总体的方法，计算即可得到答案 【小问1详解】 解：A款智能玩具10个一次充满电后运行时间出现次数最多的是72， 故， B款智能玩具出现在合格中的数量为：个， 则， ， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（个）． 答：估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的大约共有172个． 22. 春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部停出，水果店获利1800元． （1）求水蜜桃的进价是每千克多少元? （2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，商家见第一批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克17元的价格出售，售出了8a千克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克16元的基础上还降低了0.1a元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求a的值． 【答案】（1）5元 （2）25 【解析】 【分析】（１）根据题意和当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，可以列出相应的方程，从而可以求得水蜜桃的进价是每千克多少元； （２）根据题意可知本次最终利润为2980元，第一天卖出价格为17元，数量为8a千克，可知第一天的利润为17×8a，同理第二天的利润为，据此可列出关于a的方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设水蜜桃的进价为每千克x元，则苹果的进价为每千克1.2x元， 由题意列方程为：， 解得：x=5， ∴水蜜桃的进价为每千克5元． 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：a=25或a=0（不符合题意，舍去） ∴a的值为25． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 23. 如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱与地面垂直，即，且，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆于点D，该支架的边与的夹角，又测得． （1）求出该支架的边的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：，） 【答案】（1） （2）安装雨棚的高度是合格的 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用， （1）解求出，解，即可求得的长，即可求解． （2）过点E作，垂足为H，可得四边形是矩形，，再解直角三角形分别求出、即可解答. 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即, ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 【小问2详解】 过点E作，垂足为H， 由题意可知：，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴安装雨棚的高度是合格的. 24. 如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 【答案】（1） （2）图象如图； 性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一） （3）或或 【解析】 【分析】本题是动点函数图象题，考查了三角形的面积公式，二次函数与一次函数的图象与性质，画出函数图象是解题的关键． （1）先判断两点的运动状态，再分段利用三角形的面积公式求解； （2）根据题意画出图象，根据图象写出性质即可； （3）分两种情况讨论，列出等式可求解，再结合图象即可得出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 可知P、Q两点同时停止运动， ∵，， ∴， 可知P、Q两点分别同时到达、， 当时，如图，，， ， ， 当时，， ， 综上所述：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 当，时，则， 或3， 当，时，则， ， 综上所述：△的面积小于3时，的取值范围为或或． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）; （2）当时，有最大值，最大值为，； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 26. 在等边中，点是上一点，点是上一点，与交于点，且． （1）如图1，若，,求的长度； （2）如图2，延长至点，使得，连接，点为中点，连接，，求证：； （3）如图3，，点为中点，将沿折叠得到四边形，动点在线段上运动（包括端点），连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示， 延长至，使得，连接， ， 是等边三角形， ， 设， 由（1）可得， ， 又， ， ， 在，中， ， ， ， 又， ， , 是等边三角形， ，， 延长至，使得， ， ， 在，中， ， ， ， ，， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据已知条件证明，得出，在，中，勾股定理即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，得出，证明是等边三角形，延长至，使得，证明，得出，根据中位线的性质得出，等量代换，即可得证； （3）连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则是等边三角形，根据中位线的性质，旋转的性质得出的轨迹为平行于的一条线段，且，进而找到FM最大值和最小值的位置，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 等边中， ，， ， 又， ， 在，中， ， ， ， 在中，，， ， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则是等边三角形， 将沿折叠得到四边形， 四边形是菱形， 依题意，，，三点共线，且， 又，， ， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 的轨迹为平行于的一条线段，且， ，点为中点，则， 由（1）可得，则为的中点，则， 在中，， ， ， ， ，， 如图所示，当，重合时，取得最大值，此时如图所示， ，，， 则，，共线， ， 在中，， 如图所示，当，重合时，最小， 在中，，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团2024-2025学年上期九年级第二学月质量监测 数学试题 （全卷共三大题26小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用毫米黑色墨水签字笔书写． 5．作图（包括作辅助线）请一律用铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，是无理数的（　　） A. B. 3.1415 C. D. 2. 中国代表队在第33届巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上取得了突破，以下奥运比赛项目图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题中：①直径是弦；②经过三个点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中真命题有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 直线与抛物线的部分图象如图所示，下列说法：①；②与是抛物线上的两个点，则；③方程的两根为；④当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. _______． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 已知是一元二次方程，则______________． 14. 如图，在的内接四边形中，，，则的度数为__________． 15. 对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 16. 若数a使关于x的不等式组至少有5个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是___________． 17. 如图，在中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为___________． 18. 若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”．若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题每题10分，共78分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算或化简： （1） （2） 20. 如图，在中，，过点A作交于点D，点E是线段上的点，连接，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在的右边作，射线交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形是菱形． 证明：，， ∴ ① ，， 在和中，， （ ③ ）， ， ， ∴ ④ ， ∴四边形是平行四边形． ∵ ⑤ ，∴四边形是菱形． 21. 为了解A，B两款品质相近的智能玩具在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具各10个，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行了整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，69，72，72，72，73，82 B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，74，72，72，73 两款智能玩具运行最长时间统计表： 类别 A B 平均数 70 70 中位数 70.5 b 众数 a 67 方差 31.2 26.6 （1）上述图表中a＝__________，b＝__________，m＝__________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具200个、B款智能玩具120个，估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的共有多少个？ 22. 春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部停出，水果店获利1800元． （1）求水蜜桃的进价是每千克多少元? （2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，商家见第一批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克17元的价格出售，售出了8a千克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克16元的基础上还降低了0.1a元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求a的值． 23. 如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱与地面垂直，即，且，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆于点D，该支架的边与的夹角，又测得． （1）求出该支架的边的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：，） 24. 如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在等边中，点是上一点，点是上一点，与交于点，且． （1）如图1，若，,求的长度； （2）如图2，延长至点，使得，连接，点为中点，连接，，求证：； （3）如图3，，点为中点，将沿折叠得到四边形，动点在线段上运动（包括端点），连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $