精品解析：福建省三明市尤溪第五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

尤溪五中2024-2025学年下学期第一次月考 高二数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的二项展开式中，常数项是（ ） A. 132 B. 160 C. 180 D. 196 2. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（ ） A. B. C. D. 3. 将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 16种 4. 若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中项的系数为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 160 5. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 15种 D. 30种 7. 某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文､数学､物理､英语､地理､体育､艺术7堂课的课程表，要求艺术课排在上午第5节，体育课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数是（ ） A. 128 B. 148 C. 168 D. 188 8. 如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（ ） A. 甲从到达处的方法有种 B. 甲从必须经过到达处的方法有种 C. 甲､乙两人在处相遇的概率为 D. 甲､乙两人相遇的概率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法 B. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法 11. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 被8整除的余数为1 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在展开式中，的系数为__________. 13. 设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则_____. 14. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 16. 已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为. （1）求的值； （2）现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． （1）求的值； （2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 18. 小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响. （1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率； （2）求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望. 19. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.3 0.5 0.2 球队胜率 0.8 0.6 0.7 （1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率； （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率； （3）如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尤溪五中2024-2025学年下学期第一次月考 高二数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的二项展开式中，常数项是（ ） A. 132 B. 160 C. 180 D. 196 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，再令，求出代入计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为， 其中且， 令，解得， 所以展开式中常数项为. 故选：C 2. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A发生的概率与事件AB发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P ( B|A)的值. 【详解】根据题意，记小骰子的点数为，大骰子的点数为， 事件A包含的基本事件有“”，“”，“”共3个, 事件A发生的概率， 而事件A B包含的基本事件有“”一个， 可得事件AB发生的概率， . 故选：D 3. 将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】把4个人按分成3组，再分配到三个不同地区即可. 【详解】依题意，三个地区中必有一个地区有2人， 先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素， 与其他2个人一起分配到三个地区，共有种. 故选：A 4. 若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中项的系数为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，令可得，再由二项式展开式的通项，即可得到结果. 【详解】令，可得，则， 所以的展开式的通项为， 令，可得. 所以展开式中项的系数为40. 故选：A 5. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得． 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 6. 甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 15种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】采用插空法即可得答案. 【详解】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座. 要求每人左右均有空座， 在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法. 故选：B. 7. 某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文､数学､物理､英语､地理､体育､艺术7堂课的课程表，要求艺术课排在上午第5节，体育课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数是（ ） A. 128 B. 148 C. 168 D. 188 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊元素优先法，不相邻元素插空法，再结合分类加法计数原理、分步乘法计数原理可得结果. 【详解】艺术课一定在上午第5节只一种排法，体育课在下午共种排法； 因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午，与其他科排列共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文､英语､地理中选一科排在下午有， 再把剩下2科排在上午种排法，在它们中间及两端共3个空位安排数学与物理，共种排法， 由分步乘法计数原理共种， 所以共有, 故选：C. 8. 如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（ ） A. 甲从到达处的方法有种 B. 甲从必须经过到达处的方法有种 C. 甲､乙两人在处相遇的概率为 D. 甲､乙两人相遇的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】分析甲从到达处以及甲从必须经过到达处的走法，结合组合知识，可判断A，B；计算出甲､乙两人在处相遇的走法种数，根据古典概型的概率公式即可判断C；分类考虑甲､乙两人相遇的地点，计算出相应的走法数，根据古典概型的概率公式即可判断D. 【详解】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走， 则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误； B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步， 其中1步向右走，2步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种， 故甲经过到达N的方法数为种，B选项错误； C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， ∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种， 故甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确； D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走， 乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种； 若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种； 若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走， 乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走， ∴两人在处相遇的走法种数为种； 若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处， 则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种； 故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误， 故选：C． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 10. 现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法 B. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分步乘法原理以及分组分配问题的解法，一一求解各选项中的球的放法，即可判断出答案. 【详解】对于A，五个球全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒， 每个球都有4种投法，故共有种放法，A正确； 对于B，五个球全部投入4个不同的盒子里，没有空盒， 则有2个球投入一个盒中，此时共有种不同的放法，B正确； 对于C，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入）， 先选出4个球，再选出一个盒子，共有种放法，C正确； 对于D，全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个， 先选出2个盒子，由种选法，再将5个球分成2组，若2组球个数比为， 则有种分法，若2组球个数比为，则有种分法，再将2组球放入2个盒子， 故此时共有种放法，D错误， 故选：ABC 11. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 被8整除的余数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用二项式系数和结论得到，然后取特殊值即可验证A，取得，与联立求解即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，求出每一项系数的符号并取特殊值即可验证D． 【详解】由已知有，故，． 所以． 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，取得，又， 所以，B正确； 对于C，， 则后一项即为余数1，C正确； 对于D， 由 有． 在中 取得， 所以，D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在展开式中，的系数为__________. 【答案】80 【解析】 【分析】由二项展开式的通项求解即可； 【详解】， 二项式的展开式的第项为， 令，则，令，则， 则展开式中，的系数为. 故答案为：80. 13. 设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据X的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出即可. 【详解】依题意有，解得， 则. 故答案为：. 14. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式求解. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”， 则，，，， 所以 ， 所以取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为： . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】（1）300 （2）240 （3）2160 【解析】 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【小问1详解】 因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. 【小问2详解】 完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. 【小问3详解】 完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 16. 已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为. （1）求的值； （2）现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）结合组合知识利用古典概型概率公式列方程求解即可； （2）由题意得到随机变量的取值为0，1，2，3，分别求出概率，写出分布列，求出的数学期望. 【小问1详解】 已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个， 因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以， 所以，解得或（舍去）； 【小问2详解】 由题意可能的取值为0，1，2，3， 则，，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． （1）求的值； （2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 【答案】（1）7； （2）702. 【解析】 【分析】（1）求出第三、第四项的系数，再列式计算即得. （2）由（1）的结论，求出展开式的有理项的系数即可计算得解. 【小问1详解】 依题意，展开式的通项公式， 显然第三项系数为，第四项系数为， 因此，解得， 所以的值为7. 【小问2详解】 由（1）知，当时，对应的项是有理项， 当时，展开式中对应的有理项为； 当时，展开式中对应的有理项为 当时，展开式中对应的有理项为 所以展开式中有理项的系数之和为． 18. 小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响. （1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率； （2）求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 6 【解析】 【分析】（1）题意可知小强和小基两位同学两轮猜谜都猜对，根据独立重复事件计算方式计算即可； （2）“联盟队”两轮得分之和，根据独立重复事件计算方式计算这6种情况概率即可. 【小问1详解】 解：记事：两轮猜谜中，小强猜中第个；事件：两轮猜谜中，小基猜中第个. 【小问2详解】 “联盟队”两轮得分之和 所以“联盟队”两轮得分之和的分布列为 0 1 2 3 4 6 所求数学期望. 19. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.3 0.5 0.2 球队胜率 0.8 0.6 0.7 （1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率； （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率； （3）如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）前卫，理由如下： 因为，. 因为. 所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在前卫. 【解析】 【分析】(1)根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可． (2)根据条件概率的计算公式即可求解. (3)由贝叶斯公式，即可做出判断. 【小问1详解】 用表示“甲出任边锋”，表示“甲出任前卫”，表示“甲出任中场”，用表示“球队赢球”. 则甲出场时，球队赢球的概率为： 所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：. 【小问2详解】 因为. 所以. 即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $