1.1.1课时2 空间向量的数量积 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.1 课时2 空间向量的数量积 第一章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的概念、性质、运算率及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 学习目标 作者编号：32200 1.空间中任意两个向量都共面吗？ 共面.因为向量可以平移，而且平移后的向量与原向量相等. 2.空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？ 可以，可以. 问题导入 … … … 作者编号：32200 问题1：类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，他们的夹角又该如何定义呢？ 两个空间向量的夹角 给定两个非零向量a，b，任意在空间内选定一点O，作=a，=b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉. 新知探究 … … … 作者编号：32200 (1)当 时，称向量 ， 互相_______，记作________. 垂直 <m></m> (2)约定零向量与任意向量都垂直. 新知探究 … … … 作者编号：32200 问题2：类比两个平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 空间向量的数量积 空间向量的数量积运算律： (λa)·b=λ(a·b); a·b=b·a(交换律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 新知探究 … … … 作者编号：32200 (1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数. (2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0； 但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0. (3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0； 但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π. (4)找两个向量夹角时，起点必须相同. 提醒 作者编号：32200 操作：类比平面向量中投影向量及投影数量的知识，尝试作出下列两个非零向量a，b的投影向量. 新知探究 … … … 作者编号：32200 一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面a)上的投影. 向量的投影 A B α l a 新知探究 … … … 作者编号：32200 数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积. 特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量. a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 新知探究 … … … 作者编号：32200 同平面的情形，空间向量的数量积具有以下性质： (1)a⊥b⇔a·b=0； (2)a·a=|a|2=a2; (3)|a·b|≤|a||b|; (4)(λa)·b=λ(a·b); (5)a·b=b·a(交换律); (6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 新知探究 … … … 作者编号：32200 思考：对于向量a，b，c，(a·b)·c=a·(b·c)成立吗？为什么？ 不成立， 如任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量作c数乘，a·(b·c)是一个数与向量作a数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不相等. 新知探究 … … … 作者编号：32200 (1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量. (2)投影的数量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角). (3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立. 提醒 作者编号：32200 例1 如图所示是一个正方形，求下列各对向量的夹角： 解：(1)由于 的方向相同，所以 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心，E是AB的中点.求： 解：(1) 新知探究 … … … 作者编号：32200 (2)如图所示，||=a，在上的投影为， ∵||=a，∴·=||·||=a×a=a2. (3)由题可知O1E⊥AB， ∴在上的投影为， 又||=a，||=a，∴·=||·||=a×a=a2. 例2 已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心，E是AB的中点.求： 新知探究 … … … 作者编号：32200 空间向量及其运算 两个空间向量的数量积 向量的夹角 数量积运算 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 2.(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是( ) A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D.若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 AD ACD 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有( ) C 当堂检测 … … … 作者编号：32200 (1)·；(2)·；(3)·. 〈，〉＝〈，〉＝60°， 又||＝||＝a， ∴·＝||||cos〈，〉 ＝a×a×cos 60°＝a2. (1)·；(2)·；(3)·. A.eq \o(AB,\s\up14(→))·eq \o(A1C1,\s\up14(→))＝2a2 B.eq \o(AB,\s\up14(→))·eq \o(AC1,\s\up14(→))＝eq \r(2)a2 C.eq \o(AB,\s\up14(→))·eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)a2 D.eq \o(BC,\s\up14(→))·eq \o(DA1,\s\up14(→))＝a2 $$