1.1.2课时2 空间向量基本定理 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.2 课时2 空间向量基本定理 第一章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.理解并掌握空间向量基本定理及其意义. 2.会用一组基表示空间向量. 学习目标 作者编号：32200 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb. 平面向量基本定理 猜想：为了表示空间中的向量，至少需要几个向量来表示？两个还够吗？ 复习导入 … … … 作者编号：32200 思考1：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？ 情况一：共面 情况二：不共面 ？ 新知探究 … … … 作者编号：32200 设，，是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量，能否用这三个向量来表示，如何表示？ 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 三个两两垂直的向量： P Q α O 新知探究 … … … 作者编号：32200 y z x P x P y z 三个两两垂直的向量： 我们称，， 分别为向量在 上的分向量. 新知探究 … … … 作者编号：32200 讨论：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ α O P B C A Q 作者编号：32200 x O Q y B C A 新知探究 … … … 作者编号：32200 空间向量基本定理：如果空间中的a，b，c三个向量不共面，那么对于空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p= xa+ yb+zc． ②{a，b，c}称为空间向量的一组基底. a，b，c为基向量. ③xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. ①表达式xa+yb+zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式. yb b zc xa p c a 追问1: 零向量可以作为基向量吗？ 追问2:你认为空间中基底唯一吗？你认为空间中有哪些特殊的基底？ 知识梳理 作者编号：32200 例1 若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个 基底的是( ) A. ， ， B.， ， C. ， ， D. ，， 对于任意一组向量，如何判断是否共面呢？ 解析： A、 , , 均与、 共面； B、 , 均不与共面； C、 , , 均与共面； D、 + ，所以共面 新知探究 … … … 作者编号：32200 方法： ①判断是否存在零向量； ②判断是否可以用另外的向量线性表示另一个向量． 三个空间向量是否能构成一个基底 是否共面 如果向量中存在零向量，则不能作为基底 可以，则不能作为基底 假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组， 若有解，则共面，不能作为基底； 若无解，则不共面，能作为基底． 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知=，=，=，M，N分别是BC1，B1C1的中点，试用基底表示向量. 解: 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知=，=，=，M，N分别是BC1，B1C1的中点，试用基底表示向量. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 用基表示向量的步骤： (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 作者编号：32200 例3 如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点, ，AB=2，BC==1，求 . 解：由题意可知， , =++ =+= +() 又因为= + = + 所以 ==1， ==0 新知探究 … … … 作者编号：32200 所以 =( + ) = - + + - =- ×4+×1+1=- 新知探究 … … … 作者编号：32200 根据本节课所学，回答下列问题： 1.空间向量基本定理的概念是什么？ 2.用基底表示向量分为那几步？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.判断正误. 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.（ ） (2)若是空间三个向量，则对空间任意向量，总存在唯一的有序数组 ，使.（ ） (3)若为空间一个基底，则也可以构成空间的一个基底.（ ） (4)对于三个不共面向量，，，不存在实数组使 .（ ） 当堂检测 … … … 作者编号：32200 2.若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量为( ) A.a B.b C.c D.2a C D 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于( ) A.(b＋c－a) B.(a＋b－c) C.(a－b＋c) D.(c－a－b) $$