1.2 空间向量基本定理-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖共线向量、共面向量定理及基底表示等核心内容。新课导入引用《道德经》语句，关联平面向量基本定理，搭建从二维到三维的认知支架，衔接旧知。 其亮点在于结合正方体等几何体实例，通过例题、跟踪训练培养数学眼光（空间观念）和数学思维（逻辑推理），“感悟提升”环节系统总结方法，规范数学语言表达。助力学生提升空间向量应用能力，为教师提供结构化教学资源。

1．1.2　空间向量基本定理 新课导入 “道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程，联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量．这节课我们来探究空间向量基本定理有哪些应用． 返回导航 学习目标 1.理解共线向量、共面向量的定义并会应用． 2.掌握空间向量基本定理及其意义，并会简单应用． 3.会用基底表示空间向量． 4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 5 [提示]　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 返回导航 [知识梳理] 共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在______的实数λ，使得b＝λa. 唯一 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 －3 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 [知识梳理] 共面向量定理 (1)如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝________． xa＋yb 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 思考1　e1，e2，e3共面吗？ [提示]　不共面． 返回导航 [知识梳理] 如果空间中的三个向量a，b，c_________，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 当a，b，c不共面时，可知 (1)xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. (2)表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的_________或_____________． 不共面 线性组合 线性表达式 返回导航 (3)如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合____________能生成所有的空间向量．因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组______，记为{a，b，c}．此时，a，b，c都称为______；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． xa＋yb＋zc 基底 基向量 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)0也可以作为基向量．(　　) (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．(　　) (3) 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基底，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底．(　　) × × √ × 返回导航 2．若{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2－e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一组基底，则t＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 B 返回导航 返回导航 3．已知{a，b，c}是空间的一组基底，p＝a－2b＋3c，若p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则x＋y＋z＝________． 4 返回导航 (1)判断一组向量能否作为空间的一组基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一组基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 用基底表示空间向量的步骤 感悟提升 返回导航 D 返回导航 返回导航 －2 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧：根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度、夹角等已知)作为基底，用基底表示要求的向量，可证平行、垂直，可求两向量的数量积、夹角，及向量的长度． 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 50 B 返回导航 返回导航 返回导航 0 返回导航 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. (1)利用空间向量证明PA⊥BD； 返回导航 返回导航 (2)求AP的长． 返回导航 课堂小结 1．已学习：空间向量基本定理及其应用． 2．须贯通：空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用空间的一组基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：向量的夹角和线线角的范围不同，不要混淆． 返回导航 eq \a\vs4\al(知识点一　共线向量) 思考　两个平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ [例1] 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且 eq \o(A1O,\s\up17(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up17(→)) ，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 【证明】　连接AO，AC1，A1C1(图略)，因为 eq \o(A1O,\s\up17(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up17(→)) ， 所以 eq \o(AO,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \o(A1O,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up17(→)) ) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(→)) . 因为 eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝2 eq \o(AM,\s\up17(→)) ，所以 eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up17(→)) 1＋ eq \o(C1A1,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up17(→)) 1－ eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up17(→)) 1－2 eq \o(AM,\s\up17(→)) ， 所以 eq \o(AO,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,3) ( eq \o(AC,\s\up17(→)) 1－2 eq \o(AM,\s\up17(→)) )＋ eq \f(4,3) eq \o(AM,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up17(→)) 1＋ eq \f(2,3) eq \o(AM,\s\up17(→)) ， 所以 eq \f(1,3) ( eq \o(AO,\s\up17(→)) － eq \o(AC,\s\up17(→)) 1)＝ eq \f(2,3) ( eq \o(AM,\s\up17(→)) － eq \o(AO,\s\up17(→)) )， 所以 eq \o(C1O,\s\up17(→)) ＝2 eq \o(OM,\s\up17(→)) ，所以， eq \o(C1O,\s\up17(→)) 与 eq \o(OM,\s\up17(→)) 共线，又因为 eq \o(C1O,\s\up17(→)) 的终点与 eq \o(OM,\s\up17(→)) 的起点重合，所以C1，O，M三点共线． (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (2)若已知A，B，C三点共线，则 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝λ eq \o(AC,\s\up17(→)) (λ∈R)，然后利用指定向量表示出 eq \o(AB,\s\up17(→)) 与 eq \o(AC,\s\up17(→)) ，根据对应的指定向量的系数相等列出方程组，从而求出参数． [跟踪训练1] (1)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝9a＋mb， eq \o(BC,\s\up17(→)) ＝－2a－b， eq \o(CD,\s\up17(→)) ＝－a＋2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________． 解析：因为 eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CD,\s\up17(→)) ，已知 eq \o(BC,\s\up17(→)) ＝－2a－b， eq \o(CD,\s\up17(→)) ＝－a＋2b，所以 eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝(－2a－b)＋(－a＋2b)＝－3a＋b. 因为A，B，D三点共线，所以 eq \o(AB,\s\up17(→)) 与 eq \o(BD,\s\up17(→)) 共线，即存在实数λ，使得 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝λ eq \o(BD,\s\up17(→)) .已知 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝9a＋mb， eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝－3a＋b，则9a＋mb＝λ(－3a＋b).根据向量相等的性质，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＝－3λ，,m＝λ，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,m＝－3.)) (2)如图，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，点M，N分别是AC，BF的中点，判断 eq \o(CE,\s\up17(→)) 与 eq \o(MN,\s\up17(→)) 是否共线？ 解：方法一：由题意得， eq \o(MN,\s\up17(→)) ＝ eq \o(MA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AF,\s\up17(→)) ＋ eq \o(FN,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AF,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(FB,\s\up17(→)) . 又 eq \o(MN,\s\up17(→)) ＝ eq \o(MC,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CE,\s\up17(→)) ＋ eq \o(EB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(BN,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CE,\s\up17(→)) － eq \o(AF,\s\up17(→)) － eq \f(1,2) eq \o(FB,\s\up17(→)) ， 所以 eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AF,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(FB,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CE,\s\up17(→)) － eq \o(AF,\s\up17(→)) － eq \f(1,2) eq \o(FB,\s\up17(→)) ， 所以 eq \o(CE,\s\up17(→)) ＝ eq \o(CA,\s\up17(→)) ＋2 eq \o(AF,\s\up17(→)) ＋ eq \o(FB,\s\up17(→)) ＝2( eq \o(MA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AF,\s\up17(→)) ＋ eq \o(FN,\s\up17(→)) )＝2 eq \o(MN,\s\up17(→)) ， 所以 eq \o(CE,\s\up17(→)) 与 eq \o(MN,\s\up17(→)) 共线． 方法二：连接AE(图略)，由题知N为AE的中点，所以 eq \o(CE,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AE,\s\up17(→)) － eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝2 eq \o(AN,\s\up17(→)) －2 eq \o(AM,\s\up17(→)) ＝2( eq \o(AN,\s\up17(→)) － eq \o(AM,\s\up17(→)) )＝2 eq \o(MN,\s\up17(→)) ，所以 eq \o(CE,\s\up17(→)) 与 eq \o(MN,\s\up17(→)) 共线． eq \a\vs4\al(知识点二　共面向量) 思考　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ [提示]　不一定，如图所示，在三棱锥O-ABC中，空间中的三个向量 eq \o(OA,\s\up17(→)) ， eq \o(OB,\s\up17(→)) ， eq \o(OC,\s\up17(→)) 不共面． (2)由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使 eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝_____________． x eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋y eq \o(AC,\s\up17(→)) [例2] (对接教材例1)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝ eq \f(1,3) BD，AN＝ eq \f(1,3) AE.求证：向量 eq \o(MN,\s\up17(→)) ， eq \o(CD,\s\up17(→)) ， eq \o(DE,\s\up17(→)) 共面． 【证明】　因为点M在BD上， 且BM＝ eq \f(1,3) BD， 所以 eq \o(MB,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up17(→)) . 同理 eq \o(AN,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up17(→)) . 所以 eq \o(MN,\s\up17(→)) ＝ eq \o(MB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(BA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AN,\s\up17(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up17(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up17(→)))) ＋ eq \o(BA,\s\up17(→)) ＋( eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up17(→)) )＝ eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up17(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up17(→)) . 又 eq \o(CD,\s\up17(→)) 与 eq \o(DE,\s\up17(→)) 不共线，根据共面向量定理可知向量 eq \o(MN,\s\up17(→)) ， eq \o(CD,\s\up17(→)) ， eq \o(DE,\s\up17(→)) 共面． (1)证明空间三向量共面或四点共面的方法 ①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb(a，b不共线)，则向量p，a，b共面． ②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有 eq \o(OP,\s\up17(→)) ＝x eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋y eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋z eq \o(OC,\s\up17(→)) ，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． (2)若已知点P在平面ABC内，则有 eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝x eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋y eq \o(AC,\s\up17(→)) 或 eq \o(OP,\s\up17(→)) ＝x eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋y eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋z eq \o(OC,\s\up17(→)) (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． [跟踪训练2] (1)已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若 eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋t eq \o(OC,\s\up17(→)) ，且A，B，C，P四点共面，则t＝________． eq \f(1,12) 解析：因为A，B，C，P四点共面，则 eq \o(OP,\s\up17(→)) ＝x eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋y eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋z eq \o(OC,\s\up17(→)) ，且x＋y＋z＝1，又 eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋t eq \o(OC,\s\up17(→)) ，即 eq \o(OP,\s\up17(→)) － eq \o(OA,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋t eq \o(OC,\s\up17(→)) ，即 eq \o(OP,\s\up17(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋t eq \o(OC,\s\up17(→)) ，所以 eq \f(3,4) ＋ eq \f(1,6) ＋t＝1，解得t＝ eq \f(1,12) . (2)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， eq \o(D1E,\s\up17(→)) ＝k eq \o(D1A,\s\up17(→)) ， eq \o(D1F,\s\up17(→)) ＝k eq \o(D1B,\s\up17(→)) ， eq \o(D1G,\s\up17(→)) ＝k eq \o(D1C,\s\up17(→)) ， eq \o(D1H,\s\up17(→)) ＝k eq \o(D1D,\s\up17(→)) ． ①当k＝ eq \f(3,4) 时，试用 eq \o(AB,\s\up17(→)) ， eq \o(AD,\s\up17(→)) ， eq \o(AA1,\s\up17(→)) 表示 eq \o(AF,\s\up17(→)) ； ②证明：E，F，G，H四点共面． 解：①在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， eq \o(AD1,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up17(→)) ，因为k＝ eq \f(3,4) ，所以 eq \o(AF,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AE,\s\up17(→)) ＋ eq \o(EF,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \o(AD1,\s\up17(→)) ＋ eq \o(D1F,\s\up17(→)) － eq \o(D1E,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \o(AD1,\s\up17(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \o(D1B,\s\up17(→)) － eq \f(3,4) eq \o(D1A,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \o(AD1,\s\up17(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4) ( eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up17(→)) )＋ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up17(→)) . ②证明：设 eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝λ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋μ eq \o(AD,\s\up17(→)) (λ，μ≠0)， 连接EG(图略)， eq \o(EG,\s\up17(→)) ＝ eq \o(D1G,\s\up17(→)) － eq \o(D1E,\s\up17(→)) ＝k eq \o(D1C,\s\up17(→)) －k eq \o(D1A,\s\up17(→)) ＝k eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝k(λ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋μ eq \o(AD,\s\up17(→)) )＝kλ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋kμ eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝λk( eq \o(D1B,\s\up17(→)) － eq \o(D1A,\s\up17(→)) )＋μk( eq \o(D1D,\s\up17(→)) － eq \o(D1A,\s\up17(→)) )＝λ( eq \o(D1F,\s\up17(→)) － eq \o(D1E,\s\up17(→)) )＋μ( eq \o(D1H,\s\up17(→)) － eq \o(D1E,\s\up17(→)) )＝λ eq \o(EF,\s\up17(→)) ＋μ eq \o(EH,\s\up17(→)) ，则 eq \o(EF,\s\up17(→)) ， eq \o(EG,\s\up17(→)) ， eq \o(EH,\s\up17(→)) 共面且有公共点E，则E，F，G，H四点共面． eq \a\vs4\al(知识点三　空间向量基本定理) 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3. 思考2　能否用e1，e2，e3表示向量 eq \o(AC1,\s\up17(→)) ？若能，如何表示？ [提示]　能， eq \o(AC1,\s\up17(→)) ＝ae1＋ae2＋ae3. 解析：由于a＝e1＋e2，b＝e2－e3，所以a，b不共线，由于a，b，c不能构成空间的一组基底，所以存在x，y∈R，使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2－e3)＝xe1＋(x＋y)e2－ye3，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝x，,0＝x＋y，,t＝－y，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，,t＝1.)) 故选B. 解析：p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝a－2b＋3c， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－2，,z＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，,z＝3，)) 故x＋y＋z＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(3,2) ＋3＝4. eq \a\vs4\al(应用点一　用基底表示空间向量) [例3] (对接教材例2)如图，在空间四边形OABC中，3 eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up17(→)) ，点E为AD的中点，设 eq \o(OA,\s\up17(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up17(→)) ＝b， eq \o(OC,\s\up17(→)) ＝c.试用向量a，b，c表示向量 eq \o(OE,\s\up17(→)) . 【解】　因为3 eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up17(→)) ，所以 eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up17(→))－\o(OB,\s\up17(→)))) ， 所以 eq \o(OD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,4) ( eq \o(OC,\s\up17(→)) － eq \o(OB,\s\up17(→)) )＝ eq \f(3,4) eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up17(→)) ， 因为点E为AD的中点，所以 eq \o(OE,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(OD,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(OB,\s\up17(→))＋\f(1,4)\o(OC,\s\up17(→)))) ＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \o(OC,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(3,8) b＋ eq \f(1,8) c. 母题探究　本例中，若 eq \o(AO,\s\up17(→)) ＝a， eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝b， eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝c，其他条件不变，再用向量a，b，c表示向量 eq \o(OE,\s\up17(→)) . 解： eq \o(OE,\s\up17(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AE,\s\up17(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up17(→))＋\f(1,4)\o(BC,\s\up17(→)))) ＝ eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up17(→))－\o(AB,\s\up17(→)))) ＝－ eq \o(AO,\s\up17(→)) ＋ eq \f(3,8) eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝－a＋ eq \f(3,8) b＋ eq \f(1,8) c. [跟踪训练3] (1)(2026·德州月考)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1上靠近A1的三等分点，设 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝b， eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＝c，则用a，b，c表示 eq \o(MN,\s\up17(→)) 为(　　) A． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,6) b－c B．－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,6) b＋c C． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b－c D．－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b＋c 解析： eq \o(MN,\s\up17(→)) ＝ eq \o(MC,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CC1,\s\up17(→)) ＋ eq \o(C1N,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CC1,\s\up17(→)) － eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up17(→))－\o(AB,\s\up17(→)))) ＋ eq \o(CC1,\s\up17(→)) － eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) (b－a)＋c－ eq \f(2,3) b＝－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b＋c. (2)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心．若 eq \o(OP,\s\up17(→)) ＝x eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋y eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋z eq \o(AP,\s\up17(→)) ，则x＋y－z＝________． 解析：如图，由题意可得 eq \o(OP,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AP,\s\up17(→)) － eq \o(AO,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AP,\s\up17(→)) － eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up17(→)) )＝－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→)) － eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝x eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋y eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋z eq \o(AP,\s\up17(→)) ，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝1，)) 故x＋y－z＝－2. eq \a\vs4\al(应用点二　空间向量基本定理的应用) [例4] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.记向量 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝b， eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＝c，取CC1的中点M. (1)用向量a，b，c表示向量 eq \o(AM,\s\up17(→)) ，并求| eq \o(AM,\s\up17(→)) |； 【解】　 eq \o(AM,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＝a＋b＋ eq \f(1,2) c，因为AB＝AD＝2，AA1＝4，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 所以| eq \o(AM,\s\up17(→)) |＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,2)c))\s\up12(2)) ＝ eq \r(4＋4＋\f(1,4)×16＋2×4×\f(1,2)×2＋0) ＝2 eq \r(5) . (2)求向量 eq \o(AM,\s\up17(→)) 和向量 eq \o(BA1,\s\up17(→)) 的夹角的余弦值． 【解】　 eq \o(BA1,\s\up17(→)) ＝ eq \o(BA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＝－ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AA1,\s\up17(→)) ＝－a＋c，所以| eq \o(BA,\s\up17(→)) 1|＝ eq \r(（－a＋c）2) ＝ eq \r(4＋16－2×2×4×\f(1,2)) ＝2 eq \r(3) ， eq \o(AM,\s\up17(→)) · eq \o(BA1,\s\up17(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,2)c)) ·(－a＋c)＝－a2＋a·c－a·b＋b·c－ eq \f(1,2) a·c＋ eq \f(1,2) c2 ＝－4＋4－0＋4－2＋8＝10， 所以cos 〈 eq \o(AM,\s\up17(→)) ， eq \o(BA1,\s\up17(→)) 〉＝ \o(BA1,\s\up17(→)) eq \f(\o(AM,\s\up17(→))·,|\o(AM,\s\up17(→))|·| eq \o(BA1,\s\up17(→)) |) ＝ eq \f(10,2\r(5)×2\r(3)) ＝ eq \f(\r(15),6) . [跟踪训练4] 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点，则 eq \o(MN,\s\up17(→)) 与 eq \o(BC1,\s\up17(→)) 的夹角的余弦值为________． eq \f(\r(10),10) 解析： eq \o(MN,\s\up17(→)) ＝ eq \o(DN,\s\up17(→)) － eq \o(DM,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up17(→)) － eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up17(→)) ， eq \o(BC1,\s\up17(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CC1,\s\up17(→)) ＝－ eq \o(DA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(DD1,\s\up17(→)) ，所以 eq \o(MN,\s\up17(→)) · eq \o(BC1,\s\up17(→)) ＝( eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up17(→)) － eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up17(→)) )·(－ eq \o(DA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(DD1,\s\up17(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up17(→)) 2＝ eq \f(1,2) ，又| eq \o(MN,\s\up17(→)) |＝ eq \f(1,2) | eq \o(AC,\s\up17(→)) |＝ eq \f(\r(5),2) ，| eq \o(BC1,\s\up17(→)) |＝ eq \r(2) ，所以cos 〈 eq \o(MN,\s\up17(→)) ， eq \o(BC1,\s\up17(→)) 〉＝ \o(BC1,\s\up17(→)) eq \f(\o(MN,\s\up17(→))·,|\o(MN,\s\up17(→))|| eq \o(BC1,\s\up17(→)) |) ＝ eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(2)) ＝ eq \f(\r(10),10) . 1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BB′上靠近B′的四等分点，若 eq \o(AA′,\s\up17(→)) ＝a， eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝b， eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝c，以{a，b，c}作为空间的一组基底，则向量 eq \o(D′M,\s\up17(→)) 可表示为(　　) A．－ eq \f(1,4) a－b－c B．－ eq \f(1,4) a＋b－c C． eq \f(1,4) a－b＋c D．－ eq \f(1,4) a－b＋c 解析：由题意得， eq \o(D′M,\s\up17(→)) ＝ eq \o(D′A′,\s\up17(→)) ＋ eq \o(A′A,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(BM,\s\up17(→)) ＝－ eq \o(AD,\s\up17(→)) － eq \o(AA′,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \o(AA′,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,4) eq \o(AA′,\s\up17(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up17(→)) － eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,4) a＋b－c. 2．(教材P17练习BT5改编)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为CC1中点，AB＝ eq \f(1,2) AA1＝1，则 eq \o(BE,\s\up17(→)) · eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝________． 解析：设 eq \o(BA,\s\up17(→)) ＝a， eq \o(BC,\s\up17(→)) ＝b， eq \o(BB1,\s\up17(→)) ＝c，则 eq \o(BE,\s\up17(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up17(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(BB1,\s\up17(→)) ＝b＋ eq \f(1,2) c， eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up17(→)) － eq \o(BA,\s\up17(→)) ＝b－a，则 eq \o(BE,\s\up17(→)) · eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c)) ·(b－a)＝b2－b·a＋ eq \f(1,2) c·b－ eq \f(1,2) c·a＝1－ eq \f(1,2) ＋0－0＝ eq \f(1,2) . eq \f(1,2) 3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋m eq \o(OB,\s\up17(→)) ＋n eq \o(OC,\s\up17(→)) ＝0，那么λ＋m＋n的值为________． 解析：因为A，B，C三点共线，则存在唯一实数k使 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝k eq \o(AC,\s\up17(→)) ，显然k≠0且k≠1，否则点A，B重合或点B，C重合，则 eq \o(OB,\s\up17(→)) － eq \o(OA,\s\up17(→)) ＝k( eq \o(OC,\s\up17(→)) － eq \o(OA,\s\up17(→)) )，整理得(k－1)· eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up17(→)) －k eq \o(OC,\s\up17(→)) ＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，显然实数λ，m，n不为0，此时λ＋m＋n＝ k－1＋1＋(－k)＝0. 证明：设 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝b， eq \o(CP,\s\up17(→)) ＝c，则{a，b，c}构成空间的一组基底， eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up17(→)) － eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝b－a， eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up17(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up17(→)) ＋ eq \o(CP,\s\up17(→)) ＝a＋b＋c， 所以 eq \o(BD,\s\up17(→)) · eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝(b－a)·(a＋b＋c)＝b2－a2＋b·c－a·c ＝32－32＋3×4cos 60°－3×4cos 60°＝0， 所以 eq \o(BD,\s\up17(→)) ⊥ eq \o(AP,\s\up17(→)) ，所以PA⊥BD. 解：由(1)知 eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝a＋b＋c， 所以 eq \o(AP,\s\up17(→)) 2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3cos 60°＋2×3×4cos 60°＋2×3×4cos 60° ＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝| eq \o(AP,\s\up17(→)) |＝ eq \r(67) . $