云南省大理市第二中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

绝密 启同前 高三数学考试 注意事项: 1,答题韩,考生务必将自已的姓名、考生号、考扬号、座位号填写在答题卡上, 2回答造择愿时,违出何小题答常后,用督笔把答题卡上对应题日的答案标号涂 属。如需攻动,用漆皮藤干净后,再选涂其他答案标号。回答率遗择题时,将答墨写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和容题卡一并交闻。 4,本试卷主要考试内容:高考全部内客, 一、溢挥题:本题共8小题,每小题5分,共和分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题日要米的 1.已知会集U=0,2,3,5},集合A=2,5},则CA- A.2,5 R(2.3 C0,31 D.f0,51 2.6i(2-D A.6+12i B6-12 C-6+125 D.-6-12 a.在平面直角坐标系中,抛物线y=6:的焦点到坐标原点的距离为 A.3 B号 c号 4.若等比数列{a,满足2a 4a:,则{a}的公比为 A2 B. c短 唱 5已知函数fx)的导函数为f(红),若函数f(工)的图象如图所 示,则(x)的授小值友为 AI 统 Bo C或 D.r 6已知数据a188n的平均数为工,数据,b:,m,b,的平均数为y,若数据16生,…, 与数据a1 ,…,@。混合后的平均数为a,则数紫1,b,",6.与数据c1,心4,G,混合后 的平均数为 A.a十起十8y- R0十ny十一想 龙十0 十 C@十如十 n如十y十t-腿 n十是 高三数￥第1页(共4页】 +YN+ ?,已知圆柱与图锥的底国半径相等,高相等,且图锥的触橡面为正三角彩,记圆性外接球的表面 积为5,图维外接珠的表面职为5,测爱 A器 B 4 n 在数列a,中a-2,且a,-a=a-a,+n中1,则数列a}的前20临项 和为 A德 器 c溫 D 二,选椰题:本更共3小驱,每小愿6分,共]8分.在每小题给出的造项中,有多项符合题日要 求,全部选对的得6分,部分选对的得却分分,有选蜡的得0分, 已知两数f红)=(2x+)测 Af(2)的最小正周期为2m 且f化红)的图象关于直线x=对称 Cfe)在(-没0)上单调递增 Df红一)的-个零点为x-一晋 1a者(x+)广+(x+)广G∈N)的照开式中存在含士的项,则:的值可能是 A5 B11 C.15 D.20 11.已知函数f)=-2红十红*-D,f4c)-.x≠-3,且x-2,∈N),则 Af(x)的图象是中心对称图形 且f(x)的值城为(一e,-3)U(-3,+o) cmo-号 D.当函数g(x)=f(x》+f(x)+f(x)时,存在x1<x<x1,使得g(x:) gx:)= g()=-5 三,填空瑶:本屬共3小题,每小题5分,共15分. 12由线y=x十e在工一0处的彻战方程为 1这中偶象棋中规定:马走“日”字,中国象桃的棋盘如图所示,若马在点 A处,则走一步可到点A:或A,处,得到向量AA:或AA:,记黛 盘的每一格为一个单位长度,当马在点B处时,它走一步所得到的 所有向量之和的模为 【高三数学第1页(共4页)】 +w+ 14已知0为坐标原点,P(m,m品精圆C:号+y-1上异于顶点的骑点,图0:+y=1与 直腹,十w=r交于A,B两点l与￥轴J轴分交于M,N两点,且OT十ON证 =4,则 OAB面积的数值范里为 四、解答题:本共5小愿,共77分,解答应写出文字跳期,征明过程或演其步骤 15,(13分) 已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a一3动ae8C=c, (1)求o8B, (2)若 ABC的置积为3克,求b的量最小慎 16(15分) 一个不透明的口袋中装有多个红球,2个黄球和2个绿球,这些这除颜色外其生完全相同。 现从这个口袋中一次性地慎出3个球 (1求慎出的红球个数比赏球个数多的根率 (2记漠由的球的顾色种类为X,求X的分布列与期型 17.(15分) 已知双线C后一-子-1>0,6>0》游右焦点为F,右顶点为A.0为坐标原点,1OA AF-1 (1)求C的方程: (2)过点F的直线!与C的右支交于M,N两点,记C的左题点为B,证明:M⊥BN 【高三数学第3页共4页】 ,N 18(17分) 如目,在正回棱幢PABD中,PA=3,AB=2,M为 PAB的重心. (1)E明PM⊥平面PCD. (2)求三棱锥M-PCD的体积 (3)将 PCD绕着CD在平四ABCD的同侧能转,使得点P开达点Q的位置.当点M到平 面QCD的距离最大时,记PQ与平面PCD所成的角为,求i香的值. 19.(17分》 已知函数f(x)-anx一x一ar (1)当4-0时,正到:Yx∈(0,》,fx)>0 (2)若fx)在(0,签)上单到递埔求:的最大值 (3》E明:n∈N”, In(n+1) 231 【离三数学第4页(共4贺)】 ,高三数学考试参考答案 题序 10 11 12 13 14 答案 B B ABD AD y=2x+1 /29 评分细则： 【1第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2第9,11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分：第10题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分 【3第12题的结果还可以写为2x一y+1=0. 【4】第13,14题，凡与答案不符的均不得分. 1.C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养。 因为U={0,2,3,5},A={2,5},所以0A={0,3}. 2.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养。 6i(2-i)=6+12i. 3.B【解析】本题考查抛物线的概念，考查逻辑推理的核心素养 在平面直角坐标系中范物线)”=6x的焦点到坠标原点的距离为-》 4.B【解析】本题考查等比数列的概念，考查数学运算的核心素养」 设{an}的公比为q.由V2a5=4a2,可得V2a2q3=4a2,解得q=√2. 5.D【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养！ 由图可知，当x∈（一∞，x1)U(x4,十o∞）时，f'(x)>0,当x∈(x1,x4)时，f'(x)≤0，则f(x)在 (一∞，x1)和(x4,十∞)上单调递增，在(x1,x4)上单调递减，从而f(x)的极小值点为x4· 6.A【解析】本题考查统计，考查数据处理能力： 数据c1,c2,…,c的平均数为之，则十=a,整理得2=ma十k0一m.x,故数据b b…,b,与数据c1,c2,,c:混合后的平均数为y十-ma十a十y一mx n十k n+k 7.A【解析】本题考查立体几何的外接球，考查直观想象的核心素养 不妨设圆柱与圆锥的底面半径为1，则由圆锥的轴截面为正三角形，可得圆柱与圆锥的高均 为万，设圆柱外接球的半径为R,圆锥外接球的半径为R,则R=1+(受)°-子，R 5R+1得R-25则之器 S24πR号16 8.B【解析】本题考查数列的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·YN 由a+1一a=2am+1-2am十n十1，可得(aw+1-1)2=(a,-1)2十n+1,则由累加法可得 a,-1)2=(a1-1)2+2+3++m=n1+n), 2 。的前项和为3则5=21-士+片号++日)名以西 1 2025 S2025 1013 9.BC【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养， 由题可知，fx)的最小正周期为经=元，A不正确，因为2×登十子-受，所以fx)的图象关 于直线x=对称，B正确由-登<x<0,可得一否<2x+晋<行则fx)在(-登0)上 单调递增，C正确.f(x-不)=sim(2x-),sim[2×(-）-石]=-1≠0，D不正确. 10.ABD【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 (x十)）”展开式的通项T+1=Cx”,(x十）”展开式的通项T+1=Cx必.因为 (x+)”+(x+)》”的展开式中存在含x2的项，所以n-3r=2或n-2次=2，即n=3r +2或n=2k+2,其中r,k∈N.故选ABD. 11.AD【解析】本题考查抽象函数的性质，考查逻辑推理的核心素养. 因为f1(x)= 2名2（红≠-3.所以(x)+f-x-6)=4,x)的 x+3 图象关于点(-3，-2)对称，A正确.f2(x)=∫(f(x)=一2-()+3 1 =-2 1 =-3一 1 1 1 -2 x+3+3 2因为r≠-3，且x≠-2，所以-3-z十2∈(-0，-3U (-3,-2U(-2,+∞)，B不正确.f(x)-1(f2(x)=-2-1 -=x(x≠ 3,且x≠2，则/4(x)=//)2十3=(x)(x≠一3，且x≠一2D,则 f225(x)=f3(x),从而f225(0)=f3(0)=0,C不正确.g(x)=f1(x)十f2(x)+f3(x)= 中3中2+r大-3，且x≠-2以.令)=2易知x)在 11 1 -5- 1 （0一3》（一3.》和（一2十）止单调递地.因为A(一4)=-号0h(-9》- 0A(-)=-号<0a(-）=最>0，A0)=-音<0，A1)=是>0，所以存在 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·YN· x1∈(-4，-9)x:∈(-号，-号）x∈(0,1D,使得h(x1)=h(x,)=h(x)=0,则存在 x1<x2<x3,使得g(x1)=g(x2)=g(x3)=-5,D正确. 12.y=2x十1【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养 由y=x十e,可得y'=1十e2.当x=0时，y=1,y'=2,则曲线y=x十e”在x=0处的切线 方程为y=2.x+1. 13.√29【解析】本题考查平面向量的应用，考查数学建模与直观想 象的核心素养。 如图，由题可知当马在点B处时，它走一步可以到点B,或B2或 製只谢略 B处，得到的所有向量为BB,BB2,BB.以B为坐标原点，建 立平面直角坐标系，则BB1=(-2,-1),BB2=(-2,1),BB? B (-1,2),则|BB1+BB2+BB3|=√29」 14.(o.2] 【解析】本题考查椭圆的性质，考查逻辑推理的核心素养 由题可知.M分0No入.由o+O=4.可得号+ 4 +京=4因为P(m,n)是 C上的点，所以T+n=1,则-1.又>0，所以1-1.设0到1的距离为d,则d 1 1 Vm2+n2 m+m21+ -.由0<m<4,可得<d<1,AB1=21-d,则 SAOAB-- 1AB1·d=aa-a5-√(d2》+7所以sau∈(o, 15.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 解：(1)因为3a-3 cos C=c,所以3sinA-3 sin Bcos C=sinC. …1分 又sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,…3分 所以3sinA-3 sin Bcos C=3 cos Bsin C=sinC.…4分 因为smC≠0，所以3csB=1,则wsB=子 …5分 (2)由(1)可知，sinB-√1-cosB=2 3 6分 则△ABC的面积S-号ars如B- 3ac=32, …8分 则ac=9. …9分 2 由余弦定理得b2-a2+c2-2 aceos B-a+c2-号ac≥2ac- 3ac=12,…11分 当且仅当a=c=3时，等号成立，…12分 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·YN· 从而b≥2√/5，即b的最小值为2/5.…13分 评分细则： 【1】第(1)问只要写了sinA=sin(B+C),就给1分： 【2】第(1)问若没强调sinC≠0，不扣分. 【3】第(2)问面积公式写对，得1分；余弦定理写对，得1分；基本不等式未写取等条件，扣 1分 16.【解析】本题考查随机变量的分布列与期望，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 解：(1)由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和 1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球，…1分 C81 其中摸出3个红球的概率为。一3 …2分 号C412 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为 C-35 …4分 gC号 3 摸出1个红球和2个绿球的概率为 C 35 ,…5分 散摸出的红球个数比黄球个数多的概率为++316 1 353535 …7分 (2)由题可知，X的所有可能取值为1,2,3，…8分 P(X=1) C935P(X=2)= 8C+2CC_ 35,P(X=3)= CCC 12 35 …11分 C C 则X的分布列为 X 1 2 3 P 2 12 35 5 12分 EX)=1×高+2×号+3×光-器 15分 评分细则： 【1】第(1)问直接写“所求概率为 8+CC+CC+CC_6,不扣分. C 35 【2】第(2)问中，P(X=1),P(X=2),P(X=3)每算对1个，得1分 17.【解析】本题考查直线与双曲线的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， (1)解：由|OA|=|AF|,可得a=c一a=1,即c=2a=2,…2分 则b2=2a2=3,…3分 所以C的方程为x?一义 (2)证明：由题可知，1的斜率不为0，…5分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 .YN· 可设1的方程为x=y十2，M(x1y1),N(x2y2).…6分 x=y+2, 由 72y2可得(312-1)y2十12y+9=0,7 3 12t 9 则3t2-1≠0，y1+y2= 372=1y1y,=32- …9分 由题可知B(-1,0),则BM=(x1十1，y1),BN=(x2十1，y2),…10分 BM.B=(x1十1)(x2十1)+y1y2=(ty1+3)(y2+3)+y1y2…11分 =(12+1)y1y+3(0y1+y2)+9=9+1D 36t2 3t2-13t2-1 十9=0，…14分 所以BM⊥BN.…15分 评分细则： 【1】第(1)问求出a=1,得1分；求出c=2,得1分 【2】第(2)问也可按如下方法作答： 若1的斜率不存在，则可得M(2,3),N(2,一3).由题可知B(一1,0)，…5分 则BM=(3,3),BN=(3,-3),BM.BV=9-9=0,则BM⊥BN.…7分 若L的斜率存在，则可设l的方程为y=k(x-2),M(x1y1),N(x2,y2). [y=k(x-2), x2、y2, 由 可得(3-k2)x2十4k2x-4k2一3=0，…8分 31, 4k2 则3-b≠0，x1十x2= 3-k21x2= 4k2+3 3-k2· ……10分 BM=(x1+1,y1),BN=(x2十1，y2),则BM·BN=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)· (x2十1)十k2(x1-2)(x2-2)…11分 =(1十k2)x1x2十(1-2k2)(x1十x2)十1十4k2…12分 =1+2)(-4k-3)-4h(1-2k)+(3-2)1+4h2)=0,…14分 3-k 所以BM⊥BN.…15分 18.【解析】本题考查立体几何，考查直观想象与逻辑推理的核心素养 (1)证明：如图，延长PM,与AB交于点N,则N为AB 的中点.…1分 取CD的中点S,连接NS,PS.在正四棱锥P-ABCD 中，由PA=3,AB=2,N为AB的中点，S为CD的中 点，可得PN=PS=√2，NS=2,…2分 则PN2十PS2=NS2,从而PN⊥PS.…3分 由PN⊥AB,AB/CD,可得PN⊥CD.…4分B 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·YN· 因为PS∩CD=S,所以PN⊥平面PCD,即PM⊥平面PCD.…5分 (2)解：取NS的中点O,连接OP,则OP⊥平面ABCD.…6分 OP=/PN2-O八N2=1,…7分 连接NC.ND.则mm=5m·0p=号×号×2×2X1 3 …8分 因为M为△PAB的重心，所以Y4D名VD一P 4 ，…9分 (3)解：连接MS,易得MS⊥CD,则旋转过程中，当MS⊥平面QCD时，点M到平面QCD 的距离最大。… 10分 以S为坐标原点，DC所在直线为x轴，VS所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐 标系.连接QS.设∠QSy=a,则S(0,0,0),C(1,0,0),Q(0,√2cosa,√2sina),P(0,一1， 1.M(o-号 …11分 则sd-1.00).50-(0Ecse反sma).5d-(0.-号3），P0-0.1+反osa -1+√2sina). ………*……………………]2 由MS⊥平面QCD,可得 s元.s7=0则-52 …13分 SQ SM-0, 3cosa士2sina=o. 5√26 √26 解得sina= ,coS a= …14分 26 26 由(1)可知平面PCD的一个法向量为P成=(0，号，一号 15分 22 3√26 PQ PM 3 (cosa+sina） 13 则sin0 …16分 PQPM 22 .√4+2J2(cos&-sina） 8/13 3 13 18 13 13+2/13 所以sin0= 26 17分 8/13 4- 13 评分细则： 【1】第(1)问也可以通过证明PN⊥PC,PN⊥PD证得. 【第2)问还可以这样解答：m=吉PM·Sam=号×号PNxzCDXPS-号× PNXAB- 【3第(3)问中，C,Q,P,M四点坐标每写对一个得0.5分. 【4】第(3)问若在其他位置建系或用其他方法解答，按步骤酌情给分. 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·YN· 19.【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养. (1)证明：由a=0,得f(x)=tanx-x,则f'(x)=1 cos2x -1=tan'x>0在(0，)上恒成 立，…2分 则f(x)在(0，)上单调递增， …3分 故x∈(0，罗)，f(x)>f(0)=0. …4分 (2)解：由f(x)=tanx-x-ax3,得f'(x)=tamx-3ax.因为f(x)在(0，）上单调递 增，所以f'(x)≥0在(0，罗)上恒成立. …5分 当a≤3时，f'(x)=tanx-3ax2≥anx-x,由(1)可知，tanx>x在(0，罗)上恒成立， 则tanx>x在(0，)上恒成立，即f'(x)>0在(0，)上恒成立，从而f(x)在(0，)上 单调递增，符合题意。…6分 当a>3时，f'(x)=tanx-3ax2=(tanx+√3ax)(tanx√3ax),显然tanx+√3ax> 0在(0，罗)上恒成立.… …7分 令g(x)=tanx-√3ax,则g'(x)=tanx+1-√/3a,显然g'(.x)在(0，)上单调递增. …8分 由a>3,得1-√3a<0,则存在x∈(0,5)，使得g'()=0,则当x∈(0，o)时，g'(x) <0,g(x)单调递减，当x∈(x,受)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，从而当x∈(0，x)时， g(x)<g(0)=0,则f'(x)<0,从而∫(x)在(0，xo)上单调递减，不符合题意.…9分 综上所述，。的最大值为行 ………0…………10分 (3)证明：由(2)可知，当a=3时，f(x)在(0，罗)上单调递增，且f(0)=0,…11分 anxx>0在0，上恒成立。2 由∈N,可得∈0,1C(0,) 13分 14分 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 YN. 令h)=x-n1+z)0).则A)=1-千>0,6)在(0,1上单周递 增，从而h(x)>h(0)=0,即x>ln(1+x)在(0,1]上恒成立，故>ln(1+)对任意的为 ∈N*恒成立.…15分 31工、9.1、9. √tan一>3·> 号a(1+2)-n 31n …16分 11 酒n+出 之yak3 k In(n+1) In(n+1) 9Lx+1)1aa+tina lnin+-+la2la山9x+1ybU酒 、3 In(n+1) In(n+1) 31 …17分 评分细则： 【】第(1)问对f(x)求导正确，得1分；判断出∫'(x)>0在(0，罗)上恒成立，得1分. 【2】第(2)问还可以用分离变量的方法求解，过程如下： 由题可知f(x)=1amx-3ax2≥0在(0，号)上恒成立，则3a≤(an）)'在(0，受)上恒成 立。…5分 令g(r)=tanx,则g'(ar）=一sin cos …6分 x (xcos x)2 因为x>sinx>-sin acos x在(0，)上恒成立，所以g'(x)>0在(0，)上恒成立， 所以g(x)在(0，罗)上单调递增。 …7分 当x→0时，tanx→0， 由洛必达法则，得lim tan z=lim (tan x)' =lim cos'x =1. …8分 20 x 1 则1im[g(x)]2=1,从而3a≤1，即a≤3， 1 9分 故a的最大值为子 10分 ▣ 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】 ·YN