第15章《轴对称》单元测试卷　2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第15章《轴对称》单元测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在∆ABC中，，则（　　） A． B． C． D． 3．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在∆ABC中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 5．如图，∆ABC与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图在∆ABC中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 8．如图①，已知长方形纸带ABCD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°，点E、F分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，等边∆ABC中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 10．如图，∆ABC是等腰直角三角形，将直角三角形的直角顶点放在的中点上，转动，设分别交，的延长线于点，连，有下列结论：①；②若，，则；③；④，其中正确的结论有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 12．如图，在∆ABC中，，边、的垂直平分线分别交于、，若，则∆ADE的周长为 ．    13．如图，，，则的度数为 ．    14．如图，∆ABC是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为，则的长为 ． 15．如图，在等边∆ABC中，点分别在边上，且，与交于点．则 度． 16．在等腰∆ABC中，，点E在边上（不与点B、点C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为 度． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在∆ABC中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 18．如图，在∆ABC中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 19．在∆ABC中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图①中过点E作的垂线，垂足为G，如图②，若，求∆ADE的面积． 20．如图，∆ABC的顶点都在格点上，其中，，． (1)画出∆ABC关于轴对称的图形并写出点，，的坐标； (2)画出∆ABC关于直线 对称的，若点是∆ABC内一点，请写出内对称点的坐标 21．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 22．如图，在等腰∆ABC中，，为外一点，连结、，在上取一点，连结、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 23．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若∆ABC的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 24．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知∆ABC，∆ADE均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知∆ABC，∆ADE均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边∆ABC的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 25．在∆ABC中，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，点是边上一点，且，求证：； (3)如图3，若平分，点是上一动点，点是上一动点，连接，若的面积为10，，请直接写出的最小值． 参考答案 一、选择题 1．B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项B、C、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，不符合题意； 选项A，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 4．B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由边的垂直平分线交于点D，得出，由平分得出，进一步求得即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段．根据轴对称的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵∆ABC与关于直线对称，交于点O， A．，则此项正确，不符合题意； B．，则此项正确，不符合题意； C．，则此项正确，不符合题意； D．不一定正确，则此项符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接，延长交于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，， ， 故选：A． 8．C 9．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．①连接，根据等腰直角三角形得，，先证得，进而得为等腰直角三角形，则，据此可求出的度数，进而可对结论①进行判断；②由得，再由得，然后根据可对结论②进行判断；③在中，不一定是，因此不一定成立，再根据可对结论③进行判断；④根据点D为的中点得，再根据得，然后由，得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： 是等腰直角三角形，点D为底边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， ，故结论②正确； 在中，不一定等于， 不一定成立， ， 不一定成立，故结论③不正确； 点D为的中点， ， ， ， 又， ， ， ，故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 二、填空题 11．一 【分析】本题考查了轴对称，判断点所在的象限，关于y轴对称对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴在第一象限， 故答案为：一． 12．4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线上的点到两端距离相等，即可进行解答． 【详解】解：∵分别为边、的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴∆ADE的周长， 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】延长、交于点F，利用角平分线性质和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明三角形全等，从而得到． 【详解】解：延长AD、BC交于点F， 平分，，， ，， ， （）， ，. 是等腰直角三角形，， ， 又∵， ， 又∵，， （）， . 故答案为：4. 15． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由等边三角形的性质可得，，即可得，得到，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵∆ABC是等边三角形， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵为的一个外角， ∴， 故答案为：． 16．36或72 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由，求出，分两种情况：当时，当时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当时，如图： ∴， ∴， 当时，如图： ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题 17．（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 18．（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 19．（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． 20．（1）解：由，，， 则∆ABC关于轴对称的图形对称点，，的坐标分别为：，，，画图如下： ． （2）解：根据题意，得直线，由，，， 得三点到直线的距离分别为3，1，5，故三点分别向下平移6，2，10单位长度得到对称点，，的坐标， 故，，，画图如下： 由点，得点P到直线的距离为，故点P向下平移得到点的坐标， 故，即． 21．（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 22．（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：，， ， ， ∴∠BEC=120°， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． 23．（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 24．解：（1），理由如下： 、∆ADE都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、∆ADE都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 25．（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长至点H，使得，交于点G，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； （3）解：过点C作于点M，CM交BD于点，过点作于点，如图， 则， ∵平分， ∴， 当点P位于点，，此时，的最小值， ∵∆ABC的面积为10，， ∴，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$