安徽省合肥市庐江中学2025-2026学年高三上学期调研考试（一）数学试卷

庐江中学高三年级调研考试（一） 数学试卷 命题人： 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 定义在上的奇函数满足，.当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若，，，则正数大小关系是（    ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图，在正方体中，E、F分别是的中点.下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 与平面 C. 平面 D. EF与所成的角为 10. 设O为坐标原点，直线l过抛物线C：的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），，l为C的准线，，垂足为M，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则 D. x轴上存在一点N，使为定值 11. 在中，，，D为边BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 最大时， 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 13. 已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________． 14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________. 四、解答题（分） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求不等式的解集． 16. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 17. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． （1）求证：平面⊥平面； （2）若，点P满足，求直线与所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，. （1）求椭圆的方程； （2）若为圆上任意一点，求的最小值； （3）已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程. 19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. （1）设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 庐江中学高三年级调研考试（一） 数学试卷 命题人： 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】25 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（分） 【15题答案】 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 【16题答案】 【答案】（1） 数列中，，， 则， 又，所以是首项，公差为3的等差数列， 故，所以. （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：如图所示，取的中点，连接，，， 因为为中点，为中点，所以． 在三棱柱中，，则四边形是菱形， 可得，则， 又因为，，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是等边三角形，为中点，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 如图，设， 因为直线，所以点， 联立消去得. 所以， 因为， 且直线斜率的倒数成等差数列，所以， 所以，即， 将代入上述等式可得， 若，则点在直线上，与已知矛盾； 故， 整理可得， 可得， 即， 即对任意的恒成立， 得到，解得或， 由于的斜率不为0，得到，故， 故点在定直线上. 【19题答案】 【答案】（1）的分布列为： . （2）（i）；；； （ii）证明：利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有：， 即为不超过的最大整数，则对任意常数，当时， ，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $