第2章一元二次方程同步训练2025-2026学年湘教版数学九年级上册

第2章一元二次方程同步训练2025-2026学年 湘教版九年级上册 一、选择题 1.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　） A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4 3．方程的解是（　　） A． B．， C．， D．， 4．利用求根公式求的根时，a，b，c 的值分别是（    ） A．5， ，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣ 5.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（　　） A． B． C．2 D．3 8.矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ） A． B．12 C． D．或 9.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 10.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 二、填空题 11.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 12.若的其中一个根为2，则的值为__________． 13．关于x的一元二次方程2x2+kx+ =0有两个相等的实数根，则k 的值是　 　. 14．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ . 15．对于任意实数a，b，定义，已知，则实数a的值为 ． 16.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 三、解答题 17.解方程： （1）3y（y+1）＝y+1； （2）x2+4x﹣1＝0． 18.已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 19.2023年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2025年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？ 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2? 21．某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件．要想平均每天销售这种童装能盈利 1200 元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元? 【答案】 一、选择题 1.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2.方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　） A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4 【答案】C 3．方程的解是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】D 4．利用求根公式求的根时，a，b，c 的值分别是（    ） A．5， ，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣ 【答案】C 5.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 【答案】A 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 7．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 8.矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ） A． B．12 C． D．或 【答案】D 9.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 【答案】C 10.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 【答案】D 二、填空题 11.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 【答案】a≠1． 12.若的其中一个根为2，则的值为__________． 【答案】3 13．关于x的一元二次方程2x2+kx+ =0有两个相等的实数根，则k 的值是　 　. 【答案】±2 14．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ . 15．对于任意实数a，b，定义，已知，则实数a的值为 ． 【答案】1或/或1 16.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 【答案】12 三、解答题 17.解方程： （1）3y（y+1）＝y+1； （2）x2+4x﹣1＝0． 【解答】解：（1）3y（y+1）＝y+1， 3y（y+1）﹣（y+1）＝0， （y+1）（3y﹣1）＝0， y+1＝0或3y﹣1＝0， 所以y1＝﹣1，y2＝； （2）x2+4x﹣1＝0， x2+4x＝1， x2+4x+4＝5， （x+2）2＝5， x+2＝±， 所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 18.已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 解：（1） 由于方程有实数根，所以根的判别式，则 解得 （2）由一元二次方程根与系数关系得 而 解得 由于符合题意，所以k的值为4． 19.2023年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2025年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？ 解：设2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x， 由题意列方程可得：，解得：或（舍去）， 所以年平均增长率为：％， 答：2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率是25%. 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2? 解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm， 依题意得×2t(6－t)＝8， 整理得t2－6t＋8＝0， 解得t1＝2，t2＝4， ∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2． 21．某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件．要想平均每天销售这种童装能盈利 1200 元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元? 解：设每件童装应降价x元，则每件童装实际盈利(40﹣x)元．由题意可得： (40﹣x)(20+2x)=1200， 整理得：x2﹣30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵为扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存， ∴当x=20时更符合题意， ∴每件童装应降价20元． 学科网（北京）股份有限公司 $$