3.1.1 函数及其表示方法 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.1函数及其表示方法 一、知识梳理 函数的概念 (1)函数的定义 一般地，给定两个_________A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的_________，在集合B 中都有_________的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作_________. (2)函数的定义域与值域 在函数y=f(x)，xA中，_________称为自变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合_________称为这个函数的值域. (3)如果两个函数表达式表示的函数_________相同，_________也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. (4)省略函数的定义域问题 在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是_________. 知识梳理 1.函数的表示方法 （1）解析法：用_________ (或_________)来表示函数的方法称为解析法. (2)列表法：通过列出_________与_________的表来表示函数关系的方法称为列表法. (3)图像法：用函数图像表示函数的方法称为图像法. 2.分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的_________，有_________的对应方式，则称其为分段函数. 二、典型例题 例1求下列函数的定义域: (1) f(x)= (2)g(x)= + 例2设函数g(x)=的值域为S，分别判断-和3是否是S中的元素. 例3已知f(x)= (1) 求f(-1)，f(0)和f(2); (2)求函数f(x)的值域 例4北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价其中年用水量不超过180m³的部分，综合用水单价为5元/m3;超过180m3但不超过260m3的部分，综合用水单价为7元/m3 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f(x)元假设0x260，试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图像 例5设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数.如果是，作出这个函数的图像;如果不是，说明理由. 例6已知函数y=，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像 例7已知二次函数的图像过点(-1，4)，(0，1)，(1，2)，求这个二次函数的解析式 例8已知f(x)=x2，求f(x-1) 求出f(0)，f(1)，f(2)的值，再求出f(a)，f(a-1) 三、巩固练习 练习A 1. 已知集合A=[0，+∞)，B=[0，+∞)，对应关系f为“求倒数”，判断f是否为A上的一个函数。 2. 以下是中国人民银行2015年10月24日公布的部分人民币定期存款基准年利率表①，设银行定期存款的年利率为r，存期为t，判断r是否为t的函数。如果是，写出这个函数的定义域和值域;如果不是，说明理由. t 0.5 1 2 3 r 1.3 1.5 2.1 2.75 3. 已知f(x)=x²+x，x∈R，求f(-1)，f(-)，f(3). 4. 设函数g(x)=x2-2的值域为A，判断-5和7是否为A中的元素。 5.求下列各函数的定义域: (1)f(x)= ; (2)f(x)= (3)f(x)= 6.下列各图中，哪些可能是函数的图像?哪些一定不是函数的图像?为什么? 7.写出常数函数f(x)=-1的定义域、值域，并作出它的图像。 8.把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域，并作出函数图像: (1)当x<0时，f(x)=1;当x≥0时，f(x)=2. (2)当x<0时，f(x)=-1;当x=0时，f(x)=0;当工>0时，f(x)=1 练习B 1.分别判断f是否为A上的一个函数(函数值均为R中的元素)。 (1)A=R，f为“加1”; (2)A=[0，+)，f为“求非负平方根”; (3)A=R，f为“求倒数”; (4)A=[0，+)，f为“求平方根”， 2.已知下列表格表示的是函数w=g(u)，写出g(-1)，g(0)，g(2)，并判断2是否为这个函数值域中的元素。 u -2 -1 0 1 2 w 3 4 5 6 7 3.已知函数f(x)= ,求这个函数的定义域与值域。 4.判断下列各组函数是否为同一个函数: (1)f(x)= , g(x)=x; (2)f(x)=, g(x)=x2-1; (3)f(x)=，g(x)=x. 5.求下列函数的值域: (1)f(x)=，1≤x≤2; (2)f(x)= -，x[0，+∞) 5. 已知g(x)=x-[x]，x∈R，求g(-5.3)，g(-2.3),g(2.1)，g(). 6. 已知函数f(x)=-2x2+x，求f(-x)，f(x