第二章 等式与不等式高频考点复习-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

第二章 等式与不等式高频考点复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：10大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 作差作商比较不等式的大小】 1．已知，求证：． 2．若，试比较与的大小． 3．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 4．（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【题型2 判断不等式是否正确】 5．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 7．设，，则下列条件可断定的是（  ） A．且 B．或 C．且 D．或 8．已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 9．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 二次、分式不等式的求解】 10．不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 11．不等式的解集为 . 12．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 13．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 14．（1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）不等式的解集为 ． 15．求下列方程组的解集和不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【题型4 由一元二次不等式的解求参数】 16．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 17．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 19．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【题型5 基本不等式求最值（配凑法）】 21．函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．函数，当时取最大值1，则的值为 ． 【题型6 基本不等式求最值（“1”的代换）】 25．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 26．已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 27．已知，则的最小值为 ． 28．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 29．已知，，，则的最小值为 . 【题型7基本不等式求最值（有和有积型）】 30．若，则的取值范围是 ． 31．（多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 32．（多选）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 33．（多选）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型8 不等式的实际问题】 34．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 35．某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 36．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 37．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 38．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 39．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【题型9 恒成立问题】 40．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 41．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 42．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 44．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 45．不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 46．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【题型10 解含参一元二次不等式】 47．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．解关于的不等式：． 49．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 50．设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 51．设. (1)若当时，求实数x的取值范围； (2)若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围. (3)解关于x的不等式. 一、单选题 1．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 4．已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．矩形中，，，过的一条直线与直线，直线分别相交于点，，其中，，则的面积的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 6．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．3 二、多选题 9．在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 三、填空题 12．如果，那么与的大小关系是 ． 13．已知x，y是实数，，，且，则的最小值为 . 14．定义：表示不等式的整数解，已知，，若与有唯一公共解，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 16．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 17．如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． (1)若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； (2)若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 18．已知二次函数（）． (1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 19．对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)二次函数有且仅有一个不动点，求a的值； (3)若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式高频考点复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：10大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 作差作商比较不等式的大小】 1．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，则，，， 所以，故. 2．若，试比较与的大小． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以， 故. 3．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 4．（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 【题型2 判断不等式是否正确】 5．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A选项：如果，，，则，但是，故A错误； 对于选项B：如果，则，根据不等式的性质：不等式两边同时加上 或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，故B正确； 对于选项C：如果，，，，则， 但是，故C错误； 对于选项D：，当时，那么，故D错误. 故选：B 6．若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当满足且、 都不为0，但，故A错误； 对于B，当满足且、 都不为0， 但，故B错误； 对于C，当满足且、 都不为0， 但，故C错误； 对于D，当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故恒成立. 故选：D 7．设，，则下列条件可断定的是（  ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【详解】由可知，则，等价于“且”. 故选：A. 8．已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 【答案】A 【详解】当时，成立，但不成立， 所以是不必要条件； 若，则，所以是充分条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 9．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，则，A错误； 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确. 因为，所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 【题型3 二次、分式不等式的求解】 10．不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】不等式化为，解得， 所以所求解集为. 故选：A 11．不等式的解集为 . 【答案】{或}. 【详解】原不等式等价于不等式组， 解第一个不等式得或， 解第二个不等式得. 故原不等式的解集为{或}. 故答案为：{或}. 12．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】可化为， 即， 可得或， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 13．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为， 故选：A. 14．（1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）不等式的解集为 ． 【答案】 或 或 【详解】（1）不等式化为，分解因式得，解得或， 所以原不等式的解集为或； （2）不等式化为，即，解得或， 所以原不等式的解集为或； （3）因为，所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：或；或；. 15．求下列方程组的解集和不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，方程组，可化为， 两式相加，可得，解得， 将代入，可得， 即该方程组的解集为. （2），故. 所以不等式的解集为. （3），故. 所以不等式的解集为. 【题型4 由一元二次不等式的解求参数】 16．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件， 故选：A 17．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 18．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 19．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式的解集为， 则需满足，解得， 故选：B 20．关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 【题型5 基本不等式求最值（配凑法）】 21．函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 22．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 23．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 24．函数，当时取最大值1，则的值为 ． 【答案】3 【详解】函数．因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，则，解得，所以． 【题型6 基本不等式求最值（“1”的代换）】 25．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 26．已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 27．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 28．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 29．已知，，，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】因为，，， 则，解得， 可得， 又因为，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 【题型7基本不等式求最值（有和有积型）】 30．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由基本不等式可知，， 所以，即，解得，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 31．（多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：当时，得或，显然不满足，故A错误； 选项B：当， 时，成立，此时，故B错误 因为， 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以有 得，所以有，当或时等号成立. CD正确； 故选：CD 32．（多选）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以， 当且仅当或时等号成立，A正确，B错误； 因为，又， 所以，故， 所以，当且仅当或时等号成立，C正确，D错误. 故选：AC. 33．（多选）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由得，所以，当且仅当时取得等号，A正确； 由得， 又，所以，当且仅当时取得等号，B错误； 由得，又，， 所以，则，当且仅当时取得等号，C正确； 由得， 所以， 当且仅当时取得等号，D正确. 故选：ACD. 【题型8 不等式的实际问题】 34．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 35．某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知，提价后每年可销售万件，所以， ， 整理得，，解得， 故答案为：． 36．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 【答案】4 【详解】因为， 所以总费用为 当且仅当时等号成立，解得或（舍） 故答案为：4. 37．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 38．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 39．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 【题型9 恒成立问题】 40．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 41．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 42．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 43．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 44．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 45．不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 46．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 【题型10 解含参一元二次不等式】 47．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 48．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 49．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 50．设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）为假命题， ，为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数a的取值范围． （2）不等式等价于． 当时，不等式可化为，解得； 当时，，由不等式解得； 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 51．设. (1)若当时，求实数x的取值范围； (2)若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围. (3)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）当时，， 由，可得，所以，所以， 解得，实数x的取值范围为； （2）因为对于任意实数x，恒成立，所以对恒成立， 即的解集为， 当时，不等式为对恒成立，符合题意， 当时，由的解集为， 则，解得， 综上所述：实数m的取值范围为. （3）由不等式， 化简得，即， 若时，不等式可化为，解得，不等式的解集为； 当时，对于不等式，解得，不等式的解集为； 当时，对于不等式，解得或，解集为； 当时，对于不等式，解得或，此时不等式的解集为； 当时，对于不等式，解得或，解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 一、单选题 1．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则，A选项错误； 若，则，B选项错误； 若，则，C选项错误； 若，则，则，D选项正确. 故选：D. 2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，，则，解得，即充分性成立； 若，不妨取，则不等于2，即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：B 3．不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，又， 故，即. 故选：D 5．矩形中，，，过的一条直线与直线，直线分别相交于点，，其中，，则的面积的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【详解】如图，设，则， 因为，所以，解得， 所以的面积为， 因为，当且仅当，即时取等， 所以的面积的最小值为. 故选：B. 6．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 7．已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 8．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取“）， ，此时. ， ，当且仅当时取得，满足题意. 的最大值为1. 故选：B. 二、多选题 9．在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】BCD 【详解】由不等式的解集为或，得且是方程 的两个根， 则，即， 对于A，，A错误； 对于B，不等式为，而，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式为，即，解得 D正确. 故选：BCD 11．已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【详解】由，则至少有一个元素属于， 由，则至少有一个元素不属于， 又，故， 由有两个不相等的实数解， 对于二次函数，开口向上且对称轴为， 所以，可得. 故选：BC 三、填空题 12．如果，那么与的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13．已知x，y是实数，，，且，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】由，，得，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 14．定义：表示不等式的整数解，已知，，若与有唯一公共解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】得，所以或，即或， 即的整数解为或内的整数， 得， 所以，由题意满足，所以， 所以的解为， 即的整数解为内的整数， 因为与有唯一公共解，所以，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 16．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 17．如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． (1)若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； (2)若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 【答案】(1)600平方米 (2)60米 【详解】（1）设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为米，与墙体平行的围墙的边长为米． 因为栅栏的总长为120米，所以， 其中，，则. 每间花室的面积. 因为， 当且仅当，时，等号成立， 所以每间花室面积的最大值为600平方米． （2）因为每间花室的面积为150平方米，所以，则． 栅栏的总长， 当且仅当，时，等号成立， 故栅栏总长的最小值为60米． 18．已知二次函数（）． (1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）令，则有，得两点的横坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. （2）不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 19．对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)二次函数有且仅有一个不动点，求a的值； (3)若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 【答案】(1)不动点为和1； (2)，不动点为2；，不动点为4 (3)6 【详解】（1）令，可得，可得， 解得，，所以二次函数的不动点为和1. （2）， ， 当时，. 当时，，，. ，不动点为2；，不动点为4. （3）二次函数有两个不相等的不动点，，且，， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且，， 因为，，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$