精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2021-2022学年上学期九年级10月模拟月考数学(五四制)试题

风华中学九年级十月模拟月考试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义及表达式是解题的关键． 根据二次函数的一般式进行判定即可求解． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、是反比例函数，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 2. 已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再把自变量的值代入求值即可． 【详解】解：设反比例函数为， 当时，， ∴， 解得：． ∴反比例函数为． 当时，． 故选：B． 3. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个角的正弦值，根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质即可进行解答． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点坐标是． 5. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可． 【详解】解：点，，都在函数的图象上， ，，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 6. 把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位，平移后抛物线的解析式为：， 再向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为， 故选B． 7. 如图，在中，交于点D，交于点E，下列式子不成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用定理，找准对应关系是解本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质列出比例式，判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，故A、B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 8. 如图，在菱形中，于点，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．由锐角三角函数定义得，设，则，推出，，然后由锐角三角函数定义求出，根据菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 故选：D． 9. 如图，在中，点E为中点，交于点G，交于点F，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，作，交于点，证明，得到，证明，求出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 作，交于点，则：， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10. 在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，令，求出y值，进而得出图象与轴的交点坐标． 【详解】解：由题意，令， ． 图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，点D是的中点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义和锐角三角函数值是解题的关键； 本题先利用，再由中点可知，从而求出的值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______． 【答案】4． 【解析】 【详解】试题分析：将抛物线y＝x2－4x＋c配方成y=(x-2) -4+c，顶点坐标为（2，c-4）,所以c-4=0,故c的值为4. 14. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴y＞0时，x的取值范围为：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 15. 一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，令，解方程即可求解． 【详解】解：依题意，令中，， 即， 整理得： 解得：（舍去）， ∴这名男生抛实心球的成绩是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确的计算是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，点在边上，，，则正方形边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质(四个角都是直角，四条边相等)以及相似三角形的判定(两角分别相等的两个三角形相似)和性质(相似三角形对应边成比例)．通过角度关系证明三角形相似，再利用相似三角形的性质和勾股定理来求解正方形的边长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形边长为， 故答案为：． 17. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形花坛，当花坛面积最大时，长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．设长为，花坛面积为，则，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设长为，花坛面积为，则，根据题意得： ， ∵， ∴当时，取得最大值， 即当花坛面积最大时，长为． 故答案为：3 18. 如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走到C地，此时小明离A地100米，则小明离B地______米． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、方向角等知识，解题的关键是理解题意，熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意，是直角三角形，， （米） 故答案为：200． 19. 已知，在正方形中，，点为直线上一点，，过点作垂足为，交直线于点，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、三角形的全等以及勾股定理等知识．首先根据正方形边长和点的位置求出相关线段长度，再利用三角形相似求出线段的长度．由于点为直线上一点，所以需要分情况讨论点在线段 上和在延长线上两种情况． 【详解】解：①当点在线段上时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ②当点在的延长线上时， 可得，， ∴． 故答案为：或． 20. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BCD=90°, ∠CAD=45°,CD=6,BC=8,则AC的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AC于点E．构建相似三角形：△BAC∽△CED，由相似三角形的对应边成比例来求AC的长度． 【详解】如图，过点D作DE⊥AC于点E． ∵∠CAD=45°， ∴∠ADE=45°， ∴AE=DE=AC-CE． 又∵∠BCD=90°，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ECD=90°-∠BCA， ∴△BAC∽△CED， ∴，则， 整理，得ED=3EC． 又由勾股定理得：DE2+CE2=36， 解得EC=， ∴AC=ED+EC=4EC=． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键是根据题意作出辅助线，构建相似三角形． 三、解答题（21，22题每题7分，23，24题每题8分，25—27题每题10分，满分60分） 21. 先化简，再求的值，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值以及特殊三角函数值的计算．先根据分式混合运算法则化简，然后求出的值，再将的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】原式 当时， ∴原式． 22. 如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段和线段，点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为斜边的直角三角形（），点在小正方形的顶点上，且的面积为； （2）在方格纸中画出以为一边的平行四边形，点在小正方形的顶点上，且与（）中所画线段平行且相等，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，网格与勾股定理，熟知平行四边形的判定及勾股定理是解题的关键． （）根据勾股定理及其逆定理，结合网格 作图可得； （）根据平行四边形的判定及勾股定理可得． 【小问1详解】 解：如图， 理由：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，平行四边形即为所求，， 理由：，， ∴四边形是平行四边形． 23. 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为． （1）求a的值； （2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的求法，正确的理解题意是解题的关键． （1）由题意得到，把代入即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 由题意知， 把代入，得， 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， ， 作于D，则， ． 24. 在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，将△ADC沿着AC折叠，得到△AEC． （1）如图1，求证：四边形ADCE是菱形； （2）如图2，若BC=AC，菱形ADCE的面积为24，求AB边的长． 【答案】（1）∵∠ACB=90°，D为中点， ∴CD=AD， ∵△ADC折叠得到△AEC， ∴AE=EC=CD=AD， ∴四边形ADCE是菱形； （2）AB=10． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线的性质以及折叠的性质证得AE=EC=CD=AD，从而证得结论； （2）设BC=3a，AC=4a，则AB=，证四边形BDEC是平行四边形得DE=BC=，利用菱形面积等于对角线乘积的一半列方程即可求得的值，从而求得AB边的长． 【详解】（1）略 （2）连接DE， ∵∠ACB=90°，且BC=AC， 设BC=3a，AC=4a， 则AB==5a， ∵四边形ADCE是菱形， ∴CE∥BD， ∵CE=CD=BD， ∴四边形BDEC是平行四边形， ∴DE=BC=3a， ∵四边形ADCE是菱形， ∴S菱形ADCE==24， ∴a=2， ∴AB=5a=10． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与菱形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的判定与性质及菱形的面积公式是解题的关键． 25. 某商场购进一批成本为100元的商品，若按每件130元的价格销售，每星期能卖出120件，根据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就少卖3件．设每件商品的售价上涨x元，每星期卖出这种商品的利润为y元． （1）当每件商品的售价上涨10元时，求每星期的销售利润； （2）试求y与x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）当这种商品售价定为多少时，才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？ 【答案】（1）3600元 （2） （3）商品售价定为135元时，每星期的利润最大，最大为3675元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用： （1）根据“每件商品的售价每上涨1元销售，则每星期就少卖3件”，即可求解； （2）根据销售利润销售量（售价进价)，列出y与x的函数关系式，即可； （3）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：（元） 答：每件商品的售价上涨10元时，每星期的销售利润为3600元． 【小问2详解】 解：由题知； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y有最大值，最大值为（元） ∴（元） 答：商品售价定为135元时，每星期的利润最大，最大为3675元． 26. 如图，在中，，边的垂直平分线与的平分线交于点，过点作，垂足为，交于．连接、． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，在（）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）利用作辅助线，交的延长线于点，利用直角三角形全等证明条件，即可得出证明； （）求解关键是利用相似三角形判定条件，证明得出； （）求解主要结合了勾股定理和相似三角形判定，关键是得出． 【小问1详解】 解：（1）如图，作，交的延长线于点， 在四边形中，， 四边形为矩形， 平分，， 为等腰直角三角形，， 四边形为正方形，． 为边的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 （2）依据题意，如图所示可知， 由（）可知，且， 为等腰直角三角形，， ， 为等腰直角三角形，，． ，平分，， 为等腰直角三角形，，． ， ， ． 在和中， ， ， ∴． 【小问3详解】 如图，由（）知 ， ， ，， 在中，， ， 中，利用勾股定理可知， ， ， ， 在中， ， 在中，利用勾股定理可知， ， ． 在和中， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形和相似三角形的应用，掌握勾股定理、全等三角形判定条件（直角三角形全等判定条件“”）和相似三角形判定条件是解题的关键． 27. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，．过点C的直线与抛物线交于另一点D，且点D的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是上方的抛物线上一点，过点P作，交线段于点E，设点P的横坐标为t，的长为d（），求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，二次函数与角度综合，解直角三角形， （1）先确定点和的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）作轴交于F，设，利用解直角三角形求解即可； （3）过点P作轴，交y轴于点N，过点作做轴，交于点M ，根据建立方程，求解即可． 【小问1详解】 在中， 当时，， ∴，， 在中， ， ∴ 把代入中，得， ∴， 当时，， ∴， 把、代入中，得， ∴； 【小问2详解】 如图2，作轴交于F，则， 作轴于G，则，， ， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 自变量t的取值范围： ； 【小问3详解】 如图3，过点P作轴，交y轴于点N，过点D作轴，交于点M， 则，，，， 易证， ∴， ∴， ∴， 解得， （舍）， ∴P 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华中学九年级十月模拟月考试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 3. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，交于点D，交于点E，下列式子不成立的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，于点，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 如图，在中，点E为中点，交于点G，交于点F，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为______． 12. 如图，在中，，，点D是的中点，则的值是______． 13. 若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______． 14. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 15. 一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____． 16. 如图，在正方形中，点在边上，，，则正方形边长为______． 17. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形花坛，当花坛面积最大时，长为______． 18. 如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走到C地，此时小明离A地100米，则小明离B地______米． 19. 已知，在正方形中，，点为直线上一点，，过点作垂足为，交直线于点，则线段的长为______． 20. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BCD=90°, ∠CAD=45°,CD=6,BC=8,则AC的长为_______． 三、解答题（21，22题每题7分，23，24题每题8分，25—27题每题10分，满分60分） 21. 先化简，再求的值，其中． 22. 如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段和线段，点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为斜边的直角三角形（），点在小正方形的顶点上，且的面积为； （2）在方格纸中画出以为一边的平行四边形，点在小正方形的顶点上，且与（）中所画线段平行且相等，连接，请直接写出线段的长． 23. 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为． （1）求a的值； （2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 24. 在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，将△ADC沿着AC折叠，得到△AEC． （1）如图1，求证：四边形ADCE是菱形； （2）如图2，若BC=AC，菱形ADCE的面积为24，求AB边的长． 25. 某商场购进一批成本为100元的商品，若按每件130元的价格销售，每星期能卖出120件，根据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就少卖3件．设每件商品的售价上涨x元，每星期卖出这种商品的利润为y元． （1）当每件商品的售价上涨10元时，求每星期的销售利润； （2）试求y与x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）当这种商品售价定为多少时，才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？ 26. 如图，在中，，边的垂直平分线与的平分线交于点，过点作，垂足为，交于．连接、． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，在（）的条件下，若，，求的长． 27. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，．过点C的直线与抛物线交于另一点D，且点D的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是上方的抛物线上一点，过点P作，交线段于点E，设点P的横坐标为t，的长为d（），求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $