学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（湘教版2024八年级上册1.1-2.2）

11 2025-2026学年八年级上学期第一次月考 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11._________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年八年级上学期第一次月考 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11._________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册1.1-2.2 5．难度系数：0.75 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列分式中属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 7．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 9．已知多项式有一个因式为，则的值为（    ） A． B．10 C．5 D．20 10．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： 12．若分解因式：，则的值为 ． 13．若分式的值为，那么的值是 ． 14．分式与的最简公分母是 ． 15．若分式有意义，则应该满足的条件是 ． 16．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例如：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：192021，根据上述方法.当时，多项式分解因式后形成的加密数据是 . 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 20．（8分）先分解因式，再求值：，其中． 21．（8分）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 22．（10分）［阅读材料] 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 设 原式=（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 23．（10分）【阅读学习】 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由 知x≠0，所以，即 所以 故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 24．（12分）我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的正方体进行以下探索： (1)在其一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为，，，所以长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简） (3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (4)已知，，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册1.1-2.2 5．难度系数：0.75 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列分式中属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 7．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 9．已知多项式有一个因式为，则的值为（    ） A． B．10 C．5 D．20 10．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： 12．若分解因式：，则的值为 ． 13．若分式的值为，那么的值是 ． 14．分式与的最简公分母是 ． 15．若分式有意义，则应该满足的条件是 ． 16．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例如：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：192021，根据上述方法.当时，多项式分解因式后形成的加密数据是 . 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 20．（8分）先分解因式，再求值：，其中． 21．（8分）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 22．（10分）［阅读材料] 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 设 原式=（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 23．（10分）【阅读学习】 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由 知x≠0，所以，即 所以 故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 24．（12分）我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的正方体进行以下探索： (1)在其一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为，，，所以长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简） (3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (4)已知，，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2024）八年级上册1.1-2.2 5．难度系数：0.75 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义：把一个多项式分成几个因式的积的形式．据此进行解答即可． 【详解】解：A．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； B．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； C．，把一个多项式写成几个因式的积的形式，它属于因式分解，故此项符合题意； D．计算错误，故此项不符合题意． 故选：C． 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 3．下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断． 【详解】解：分式的定义为：形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 选项，分母是常数，不是字母，属于整式． 选项，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 故选：C． 4．下列分式中属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式的概念是解题关键．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，据此判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、是最简分式，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式相减，根据同分母分式相减法则：分母不变，分子相减，即可作答． 【详解】解： ， 故选：A 6．若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【答案】B 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 7．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键． 根据题意得到，，然后将因式分解整体代入求解即可． 【详解】长方形的长为，宽为 ∴长方形的面积为，周长为， ， ． 故选：C． 9．已知多项式有一个因式为，则的值为（    ） A． B．10 C．5 D．20 【答案】A 【分析】根据多项式的次数为2以及最高次项的系数为2，设多项式另一个因式为，则，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：根据题意，设多项式另一个因式为，则 ， 等式右边展开，得， ， ，， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题关键． 10．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： 【答案】 【分析】此题考查了分解因式．先提取公因式再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．若分解因式：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解与整式的乘法，由可得结论． 【详解】解：， 而， ， 故答案为：． 13．若分式的值为，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 14．分式与的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 根据求最简公分母的方法求解即可． 【详解】解：分式与的最简公分母． 故答案为：． 15．若分式有意义，则应该满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义，分母不等于0，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 16．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例如：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：192021，根据上述方法.当时，多项式分解因式后形成的加密数据是 . 【答案】155763 【分析】先将多项式分解因式，再计算当时各个因式的值，然后将得到的各因式的数字按照从小到大的顺序排列即得答案． 【详解】解：，当时，，． ∴多项式分解因式后形成的加密数据是：155763． 故答案为：155763． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是解答的关键． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分，再利用平方差公式约分，化简后代入求值即可． 【详解】解：原式， 当时，． 19．（8分）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)20260 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 20．（8分）先分解因式，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，求代数式的值，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解，最后把m、n的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 21．（8分）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 22．（10分）［阅读材料] 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 设 原式=（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：， 该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为：； （2）设， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是要注意完全平方公式的应用和换元法的应用． 23．（10分）【阅读学习】 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由 知x≠0，所以，即 所以 故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）已知等式变形求出，原式变形后，将代入计算即可； （2）已知三等式变形后相加求出，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵ ∴x≠0， ∴，即 ∴ ∴=-； （2）∵，，， ∴=， ∴ ∵， ∴ 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（12分）我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的正方体进行以下探索： (1)在其一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为，，，所以长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简） (3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (4)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键． （1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为从而可得答案； （2）由，，，利用长方体的体积公式直接可得答案； （3）由（1）（2）的结论结合等体积的方法可得答案； （4）利用先求解再利用，再整体代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：由大的正方体的体积为，截去的小正方体的体积为， 所以截去后得到的几何体的体积为： 故答案为： （2）∵，， 由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为， ∵，，所以长方体③的体积为 故答案为：， （3）由题意得： 由（1）（2）的结论，可以得到的等式为： 故答案为： （4）∵，， ∴ ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C B A B B C A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．/ 15． 16．155763 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （1） ；（4分） （2） ．（8分） 18．解：原式， 当时，．（8分） 19．（1）解： ；（4分） （2） ．（8分） 20．解： ．（4分） 当时， 原式 ．（8分） 21．（1）解：如图① 由答图①知．（4分） （2）解：如图②． 由答图②可知．（8分） 22．（1）解：， 该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为：；（4分） （2）设， ．（10分） 23．解：（1）∵ ∴x≠0， ∴，即 ∴ ∴=-；（5分） （2）∵，，， ∴=， ∴ ∵， ∴（5分） 24．（1）解：由大的正方体的体积为，截去的小正方体的体积为， 所以截去后得到的几何体的体积为： 故答案为：（2分） （2）∵，， 由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为， ∵，，所以长方体③的体积为 故答案为：，（3分） （3）由题意得： 由（1）（2）的结论，可以得到的等式为： 故答案为：（3分） （4）∵，， ∴ ∴．（4分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$