广东省揭阳真理中学2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学模拟卷

广东省揭阳真理中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学模拟卷02 一．选择题（共10小题） 1．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（　　） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 2．如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． ( 题2 )深度思考中… 开启新对话 给DeepSeek发送消息 88深度思考（R1）联网搜索+ 题3 题4 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（　　） A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 5．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 6．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D． 题6 题9 题10 7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 8．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 9．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④ 二．填空题（共5小题） 11．已知对于任意实数a，关于x的方程x2+（a﹣1）x+ab﹣2＝0总有两个不相等的实数根，直线y＝bx+4b与x轴、y轴相交于A、B两点，则△AOB的面积为整数值的三角形个数有 　 　 个． 12．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　 　 ． 13．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 　 　 cm2． 题13 题14 14．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC上任意一点（不与点B、C重合），AE、BD交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P′处．AD的中点为F，则P′F的最小值为 　 　 ． 15．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．若x2+y2+6x﹣4y+13＝0，求（x+y）2025． 17．计算：，其中x满足方程x2﹣3x+2＝0． 18．如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABEC为平行四边形； （2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝3，BC＝6，求FG的长． 19．若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即m2+n2，则称这个数是“完美数”．例如：因为20＝22+42，所以20是“完美数”；再比如：m2+2mn+5n2＝（m+n）2+（2n）2（m，n是正整数），所以m2+2mn+5n2也是“完美数”． （1）判断58是否是“完美数”，并说明理由； （2）已知W＝5a2+4ab+4b2﹣4a+k（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； （3）已知a2+4b2﹣2a+4b+2＝0，求3a+2b的值． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方，可求其最值． 解；x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2 当x＝1时，x2﹣2x+3的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数“有 　 　 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若x2﹣6x+13可配方成（x﹣m）2+n2（m，n为正整数），则mn的值为 　 　 ； （3）已知S＝a2+4ab+5b2﹣8b+k（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足x﹣y2＝1，求代数式x2+2y2﹣4x+2028的最小值． 22．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年8月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，9月份销售256袋．10、11月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400袋．设10、11这两个月月平均增长率不变． （1）求10、11这两个月的月平均增长率； （2）为迎接双“十二”，12月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店12月份获利4250元？ 23．如图1，BD是菱形ABCD的对角线，E是BD上一个动点，连接AE，CE． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）如图2，F是直线BC上一点，连接EF，且AE＝EF． （ⅰ）求证：∠AEF＝∠BAD； （ⅱ）当∠BAD＝90°时，如图3，延长FE交CD的延长线于点G，探索DG和BF之间的数量关系并加以证明． 广东省揭阳真理中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学模拟卷02参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C B B B A B 一．选择题（共10小题） 1．【答案】C 【分析】把x＝a代入已知方程，并求得a2+a＝1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， ∴3a2+3a+2024＝3（a2+a）+2025＝3×1+2025＝2028． 故选：C． 2．【答案】A 【分析】设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设这个数为x， 由题意得：x2﹣x+1＝x， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝x2＝1， 这个数为1， 故选：A． 3．【答案】C 【分析】利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解． 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∵DE⊥AB， ∴OE＝OB＝OD＝6， ∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62， ∴AO＝8， ∴AC＝16， ∵BD＝12， ∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝×16×12＝96． 故选：C． 4．【答案】B 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值． 【解答】解：如图，连接PA． ∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠A＝90°． 又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F． ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形PEAF是矩形． ∴AP＝EF． ∴当PA最小时，EF也最小， 即当AP⊥CB时，PA最小， ∵AB•AC＝BC•AP，即AP＝＝＝4.8， ∴线段EF长的最小值为4.8； 故选：B． 5．【答案】C 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 6．【答案】B 【分析】作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，先由四边形ABCD是正方形证明∠BCA＝∠DCA＝45°，则EK＝EL，再证明△FEK≌△DEL，得DE＝FE，即可证明矩形DEFG是正方形，进而可以判断A选项；由∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，CD＝AD，GD＝ED，证明△CDG≌△ADE，得CG＝AE，则CE+CG＝AC为定值，再根据勾股定理求出AC的长即可判断D选项；由△CDG≌△ADE（SAS），得∠DAE＝∠DCG＝45°，进而可以判断C选项；根据∠ADE＝∠DEL＝∠FEK≠∠CEF，可以判断B选项． 【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°， ∴∠BCA＝∠DCA， ∴EK＝EL， ∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°， ∴四边形EKCL是矩形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠KEL＝∠FED＝90， ∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL， ∴△FEK≌△DEL（ASA）， ∴DE＝FE， ∴矩形DEFG是正方形，故A正确； ∵∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE， ∵CD＝AD，GD＝ED， ∴△CDG≌△ADE（SAS）， ∴CG＝AE， ∴CE+CG＝CE+AE＝AC， ∵∠B＝90°，AB＝CB＝9， ∴AC＝AB＝9， ∴CE+CG＝9，故D正确； ∵△CDG≌△ADE（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴CG平分∠DCH，故C正确； ∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK≠∠CEF， ∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确， 故选：B． 7．【答案】B 【分析】根据已知方程的解得出x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，求出x即可． 【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1， ∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1， 解得：x＝﹣1或3， 即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3， 故选：B． 8．【答案】B 【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到m＞0，n＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n， ∵点P（m，n）在第四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴（﹣m）2＞0， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0， 方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 9．【答案】A 【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：ac＝b2，即可求解． 【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME＝DE＝b， ∴∠BDM＝∠MEC＝90°+∠BAC， ∴∠BMC＝90°+∠BAC， ∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴， ∴BD•EC＝MD•ME， 即：ac＝b2， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 故选：A． 10．【答案】B 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°， 故正确； ②∵EF＝， ∴OE＝2， ∵AO＝AB＝3， ∴AE＝AO+OE＝2+3＝5， 故错误； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG＝1， CF＝＝＝， BH＝3﹣1＝2， DH＝3+1＝4， BD＝＝＝2， 故错误； ④△COF的面积S△COF＝×3×1＝， 故正确；∴其中正确的结论为①④， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【答案】15． 【分析】运用一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式等知识进行求解． 【解答】解：由题意得，关于x的方程x2+（a﹣1）x+ab﹣2＝0， Δ＝ （a﹣1）2﹣4（ab﹣2） ＝a2﹣2a＝1﹣4ab+8 ＝a2﹣（2+4b）a+9＞0， ∴关于a的二次函数Δ＞0恒成立， ∴（2+4b）2﹣4×9＜0， 解得﹣2＜b＜1， ∵直线y＝bx+4b与x轴交于A（﹣4，0），与y轴交于B（0，4b）， ∴OA＝|﹣4|＝4，OB＝|4b|＝4|b|， ∴S＝OA×OB＝×4×4|b|＝8|b|， ∵﹣2＜b＜1且b≠0， ∴0＜|b|＜2，故 0＜8|b|＜16， ∴△AOB的面积为整数值的三角形个数有15个， 故答案为：15． 12．【答案】． 【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简得x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴+＝＝， 故答案为：． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】设小长方形的长为x cm，宽为x cm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设小长方形的长为x cm，宽为x cm， 根据题意得：（x+2×x）•x＝135， 解得：x＝9或x＝﹣9（舍去）， 则x＝3． 所以3×3＝9（cm 2）． 故答案为：9． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】连接AC交BD于点O，则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，证明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，证明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性质得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点F作FK⊥DO'，垂足为K，即可得出结果． 【解答】解：连接AC交BD于点O，如图所示： 则△APN的直角顶点P在OB上运动， 设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°， 当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC， ∵点P在BD上， ∴AP＝PC， 在△APB和△CPB中，， ∴△APB≌△CPB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵AB∥CD， ∴∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC， ∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+∠PNG＝90°， ∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性质得：PN＝P′N， 在△PGN和△NHP'中，， ∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠PDG＝45°， 易得PG＝GD， ∴GN＝DH， ∴DH＝P'H， ∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°， ∴点P'在线段DO'上运动； 过点F作FK⊥DO'，垂足为K， ∵点F为AD的中点， ∴DF＝，则P'F的最小值为． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围． 【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1． 当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意； 当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意； 当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0， [（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0， ∴x1＝，x2＝． ∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数， ∴0＜＜1，解得m＞0， 0＜＜1，解得m＞2． 综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2． 故答案为：m＝1或m＞2． 三．解答题（共8小题） 16．【答案】﹣1． 【分析】利用配方法把原式的左边变形，根据偶次方的非负性分别求出x、y，再根据实数的乘方计算，得到答案． 【解答】解：x2+y2+6x﹣4y+13＝0， 则x2+6x+9+y2﹣4y+4＝0， ∴（x+3）2+（y﹣2）2＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， 则（x+y）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1． 17．【答案】，当x＝1时，原式＝． 【分析】先利用分式的减法去括号，再计算分式的除法得到化简结果，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件得到字母的值，再代入化简结果计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝． 由方程x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2． ∵x+2≠0，x2﹣4≠0，x2+2x+1≠0， ∴x≠﹣2，﹣1，2． ∴当x＝1时，原式＝． 18．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据两组对边平行，可证四边形ABEC为平行四边形； （2）先用勾股定理求出AC，由矩形对角线相等可得AC＝BD，再由直角三角形斜边中线的性质求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD（平行四边形的对边平行）， ∴AB∥CE， ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，BG＝DG， ∵AB＝3，BC＝6， ∴， ∴， ∵DF⊥BE，BG＝DG， ∴． 19．【答案】（1）58是“完美数”．理由如下： ∵58＝32+72， ∴符合“完美数”的定义； （2）k＝1； （3）1． 【分析】（1）依据题意，由58＝32+72，从而可以判断得解； （2）依据题意得，W＝5a2+4ab+4b2﹣4a+k＝（a+2b）2+（4a2﹣4a+k），又W为“完美数”，则4a2﹣4a+k是完全平方式，进而可以判断得解； （3）依据题意，由a2+4b2﹣2a+4b+2＝0，可得（a﹣1）2+（2b+1）2＝0，故a＝1，，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）58是“完美数”．理由如下： ∵58＝32+72， ∴符合“完美数”的定义． （2）由题意得，W＝5a2+4ab+4b2﹣4a+k ＝（a+2b）2+（4a2﹣4a+k）． ∴要使W为“完美数”，需4a2﹣4a+k是完全平方式． ∴k＝1． （3）由题意，∵a2+4b2﹣2a+4b+2＝0， ∴（a﹣1）2+（2b+1）2＝0． ∴a＝1，． ∴． 20．【答案】（1） （2）2s； （3）当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 【分析】（1）先求出BQ＝4t cm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； （2）先求出BQ＝4t cm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再利用勾股定理建立方程（10﹣t）2+（4t）2＝102，解方程即可得到答案； （3）先求出CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2t cm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4t cm，AP＝2t cm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 21．【答案】（1）②；（2）9；（3）16；（4）2025． 【分析】（1）依据”完美数“的定义求解即可； （2）将y＝x2﹣6x+13配方成y＝（x﹣m）2+n2的形式，即可得解； （3）S＝（a+2b）2+（b﹣4）2，据此求解即可； （4）x2+2y2﹣4x+2028＝（x﹣1）2+2025≥2025，据此求解即可． 【解答】解：（1）由于②34＝52+32， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由y＝x2﹣6x+13＝（x﹣3）2+4， ∵y＝x2﹣6x+13可配方成y＝（x﹣m）2+n2， ∴y＝（x﹣3）2+22＝（x﹣3）2+22， ∴m＝3，n＝2， ∴mn＝32＝9， 故答案为：9； （3）k＝16；理由如下： ∵S＝a2+4ab+5b2﹣8b+k ＝（a+2b）2+b2﹣8b+16 ＝（a+2b）2+（b﹣4）2， ∴k＝16； （4）∵x﹣y2＝1， ∴x﹣1＝y2≥0， ∴x≥1， ∴x2+2y2﹣4x+2028 ＝x2+2（x﹣1）﹣4x+2028 ＝x2﹣2x+2026 ＝x2﹣2x+1+2025 ＝（x﹣1）2+2025≥2025， 当x＝1时，x2+2y2﹣4x+2028的最小值为2025． 22．【答案】（1）25%； （2）当每袋降价5元时，获利4250元． 【分析】（1）直接利用增长率问题表示出11月的销量，进而求出答案； （2）设当每袋降价m元时，表示出销量与每袋的利润进而得出等式求出答案． 【解答】解：（1）设10、11这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）． 答：10、11这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当每袋降价m元时，根据题意可得： （40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意，舍去）． 答：当每袋降价5元时，获利4250元． 23．【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）证明见解析； （ⅱ）DG＝BF，证明见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可知AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，再根据“边角边”证明△ABE≌△CBE，可得答案； （2）（ⅰ），延长AE交BC于点G，可得∠DAE＝∠EGF，由（1）可知∠BAE＝∠BCE，AE＝CE，再根据旋转得AE＝EF＝CE，即可得∠BCE＝∠BFE，然后根据三角形外角的性质得∠AEF＝∠BFE+∠FGE＝∠BAE+∠EAD＝∠BAD； （2）（ⅱ），根据题意可知四边形ABCD是正方形，可得∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，由（2）①可知∠AEF＝∠BAD＝90°，再根据CE＝EF，可得∠CFE＝∠ECF，然后根据直角三角形的两个锐角互余得∠CFE+∠CGE＝∠ECF+∠ECG＝90°，得出∠ECG＝∠EGC，进而得出EG＝CE＝EF，可知AE是线段FG的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得AF＝AG，再根据“斜边，直角边”证明Rt△ABF≌Rt△ADG，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE， 在△ABE和△CBE中，， ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）（ⅰ）证明：延长AE交BC于点G，如图2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EGF． 由（1）可知△ABE≌△CBE， ∴∠BAE＝∠BCE，AE＝CE． ∵AE＝EF， ∴EF＝CE， ∴∠BCE＝∠BFE． ∵∠AEF是△EFG的外角， ∴∠AEF＝∠BFE+∠FGE＝∠BAE+∠EAD＝∠BAD； （ⅱ）解：BF＝DG； 证明：如图3，连接AF，AG， ∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD． 由（2）（ⅰ）可知∠AEF＝∠BAD＝90°，CE＝EF， ∴∠CFE＝∠ECF． ∵∠CFE+∠CGE＝∠ECF+∠ECG＝90°， ∴∠ECG＝∠EGC， ∴EG＝CE， ∴EG＝EF， ∴AE是线段FG的垂直平分线， ∴AF＝AG． 在Rt△ABF和Rt△ADG中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△ADG（HL）， ∴BF＝DG． 学科网（北京）股份有限公司 $$