5.1函数的概念和图象（第1课时）（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

5.1函数的概念和图象 （第一课时） 第五章 函数概念与性质 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数 教学难点： 函数概念及符号的理解 体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型； 能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系刻画数学概念中的作用； 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域。 课程目标 学科素养 数学抽象：函数概念的理解，函数的表示； 逻辑推理：与关系； 数学运算：函数定义域的求解； 数学建模：用函数思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 新知引入 客观世界中有各种各样的运动变化现象。 这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可以用函数模型来描述，因此通过研究函数模型就可以把握现实世界中事物的运动变化规律。 天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间变化而增大。 一个装满水的蓄水池，在使用过程中，水面高度随时间变化而不断降低。 我国高速铁路营业里程逐年增加。 新知引入 问题1：我们已经学习过哪些函数模型呢？ 一次函数： 反比例函数： 二次函数： 问题2：同学们是否还记得初中函数是怎样定义的呢？ 德国 狄利克雷 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，就说是的函数（）。其中是自变量，是因变量. 新知引入 思考1：随着研究的深入，我们会遇到更多的问题，例如： （1）设表示圆的半径，则圆的周长与直径的比值为，当变化时，是的函数吗？ （2）函数与函数是同一个函数吗？ （3）数学家狄利克雷曾给出一个例子：，是的函数吗？ 要解决以上这些问题，我们就需要进一步学习函数的概念。在高中，我们要用更加精确的集合语言来定义函数. 新知探究 实例1：人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979-2014 年人口数据资料(年末)如表5-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗? 表5-1-1 1979—2014 年我国人口数据表 年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014 人口数/百万 975 1044 1127 1199 1258 1300 1335 1368 追问1：这是一个函数吗？为什么？ 是，年份和人口数是两个变量，而且对于每一个年份都有唯一确定的人口数与之对应。 新知探究 表5-1-1 1979—2014 年我国人口数据表 年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014 人口数/百万 975 1044 1127 1199 1258 1300 1335 1368 追问2：能否知道年我国人口数据。 不能 追问3：能知道哪些年份的人口数，在此例子中，涉及的集合有哪些？ ; 新知探究 表5-1-1 1979—2014 年我国人口数据表 年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014 人口数/百万 975 1044 1127 1199 1258 1300 1335 1368 ; 自变量的集合 函数值的集合 对应关系 对于中任意元素，中总有一个元素与之对应. 新知探究 实例2：一物体从静止开始下落，下落的距离 (单位：) 与下落时间 (单位：) 之间近似地满足关系式. 若一物体下落，你能求出它下落的距离吗? 的变化范围是数集 的变化范围是数集 自变量的集合 函数值的集合 对应关系 新知探究 函数值的集合 对应关系 实例3：图 5-1-1为某市一天 24 小时内的气温变化图. (1) 上午6时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少? (2) 在什么时刻，气温为0℃? (3) 在什么时段内，气温在0℃以上? 的变化范围是数集 的变化范围是数集 自变量的集合 新知探究 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合 问题1 表格 问题2 问题3 图像 新知探究 思考2：你能由表格分析上述问题中的函数有哪些共同特征？ 存在某种对应法则，对于中任意元素，中总有唯一元素与之对应。 追问：你能用集合的语言来阐述这一共同特点吗？ (1) 都包含两个非空数集，用，来表示； (2) 都有一个对应关系； (3) 数集中的任意一个数，按对应关系，在数集中都有唯一确定的和它对应. 新知探究 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系. 函数的概念:设，是非空的实数集，如果对于集合内的任意一个数，按照某种确定的关系，在集合中有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合上的一个函数，记作 x：自变量 x的取值范围A: 函数的定义域 与x的值相对应的y值: 函数值 新知探究 函数的 概念 给定两个__________集合和，如果按照某种对应关系 ，对于集合中的________实数，在集合中都有______的实数 和它对应，那么就称为从集合到集合 的一个函数 函数的 记法 _______________ 定义域 叫作自变量，集合 叫作函数的定义域 值域 若是函数的定义域，则对于 中的_________（输入值），都有一个（输出值）与之对应，我们将______输出值 组成的集合, 称为函数的值域 非空实数 每一个 唯一 ， 每一个 所有 函数的有关概念 新知探究 思考3：函数的值域是集合B吗？若不是，两者之间有什么关系？ 1979 1984 1989 19941999200420092014 975 1044 1127 11991258130013351368 A B -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 A B 值域是集合的子集 的取值范围——函数值的集合：函数的值域 练习巩固 辨析1：下图中能表示函数关系的是__________. 辨析2：下列图像具有函数关系的是___________ 典例精讲 例1：判断下列对应是否为函数： (1)； (2) ，这里； (3) 当为有理数时，；当为无理数时， . 解：(1)对于任意一个非零实数，由唯一确定，所以当时 是函数，这个函数也可以表示为. (2)考虑输入值为4，即当时输出值由给出，得和. 一个输入值与两个输出值对应，所以， () 不是函数. (3)由题意知，对于任意的有理数，总有唯一的元素与之对应；对于任意的无理数 ，总有唯一的元素0与之对应.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数.可以表示为 典例精讲 例2：已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求，的值； 解：(1)使根式有意义的实数的集合是， 使分式有意义的实数的集合是. 所以，这个函数的定义域是 即 (2)将与带入解析式，有； 典例精讲 例3：求下列函数的值域： （1），； （2） 解：(1)函数的定义域为， 因为，，，， 所以这个函数的值域为 (2)函数的定义域为 因为，所以这个函数的值域为 新知探究 我们把函数的定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. 问题3：请同学们思考我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域. 定义域 值域 问题4： 与是否为同一函数？ 新知探究 思考4：根据函数的定义，一个函数的构成要素是什么？ 定义域、对应关系、值域 小技巧：值域是由定义域和对应关系所决定的，所以判断两个函数是否为同一函数只需要判断定义域与对应关系是否一致。 问题4： 与是否为同一函数？ 定义域为，定义域为，它们不是同一函数 典例精讲 辨析3：下列函数中哪个与函数是同一个函数？ (1)；(2)； 解：(1)，它与函数虽然对应关系相同， 但是定义域不同，所以这个函数与函数不是同一个函数. (2) ，它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数是同一个函数. 典例精讲 辨析3：下列函数中哪个与函数是同一个函数？ (3)；(4). 解： (3)： 它与函数的定义域都是实数集， 但是当时，它的对应关系与函数不相同. 所以这个函数与函数不是同一个函数. (4)，它与函数的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数不是同一个函数. 练习巩固 判断一个对应关系是否为函数的方法： 判断两个函数是否为同一个函数的注意点： （1）先求定义域，定义域不同则不是同一个函数; （2）若定义域相同，再看对应关系是否相同. 练习巩固 练习1：设集合， ，给出如图所示的四 个图形： 其中，能表示从集合到集合的函数关系的个数是( ) 【答案】 练习巩固 变式1：（多选题）下列对应为从集合到集合的函数的有( ) .，，对于任意的， .，，对于任意的， .，，， .，，对于任意的， 【答案】 CD 练习巩固 练习2：函数的定义域为(　　) . 解：由已知可得即 因此函数的定义域为.故选. 练习巩固 变式2-1：求下列函数的定义域： （1） ； （2） . 解：（1）要使函数有意义，自变量的取值必须满足 解得且 ，即函数的定义域为且 ； （2）要使函数有意义，自变量的取值必须满足 解得 且，即函数的定义域为且 . 练习巩固 求函数的定义域应关注四点： （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；要求 . （2）不对解析式化简变形，以免定义域变化. （3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商形式构成时，定 义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. （4）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用 “或”连接，而应该用并集符号“ ”连接。 练习巩固 变式2-2：函数 的定义域是( ) 、 、 、 【答案】 C 变式2-3：函数的定义域为，则实数的取值范围为( ) 【答案】 练习巩固 变式2-4：若函数的定义域为，则函数的定义域为________. 解：∵的定义域为， ∴， 即， ∴函数的定义域为. 练习巩固 练习4：(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　) . 【答案】 练习巩固 变式4：判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由. （1）已知一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则表示与关系的函数和二次函数 . （2），圆面积关于圆半径的函数. 解：（1）不相同，两函数的解析式相同，但是前者的定义域为 ，后者的定义域为 . （2），圆面积关于圆半径的函数；函数的定义域相同，对 应法则相同，是相同函数. 练习巩固 练习5： (1)已知，,则 , , (2)已知，则 【答案】 (1) ; ；； (2)令则 代入原式有， 所以. 练习巩固 变式5：已知是一次函数，且，则的解析式为_____________. 解：∵是一次函数，∴设 则 ∵∴ 解得，，∴. 小结 判断是否为同一函数只需要判断定义域与对应关系是否一致。 函数的有关概念 感谢聆听 数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学。 ——恩格斯 函数概念是近代数学思想之花。 ——托马斯 $$