5.1 函数的概念和图象课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

高一数学●2024苏教版必修一 第五章 函数概念与性质 本节学习用集合与对应关系理解函数概念，掌握函数三要素，会求简单函数定义域、值域，认识函数图象，体会数形结合思想，提升数学抽象素养，感受函数作为刻画变量关系模型的价值 5.1 函数的概念和图象 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括88张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 思维导图 3 理知识 新知课 知识解读 知识点1 函数的概念 给定两个非空实数集合和，如果按照某种对应关系，对于集合 中的每一个 实数,在集合（集合中可以存在多余“元素”）中都有唯一的实数 和它对应，那么 就称为从集合到集合的一个函数，记作(表示“ 对应的函数 值”，而不是“乘”),.其中，叫作自变量，集合 叫作函数的定义域. . . . . 教材帮 4 知识剖析 函数的四个特征 非空性 , 必须为非空数集. 任意性 定义域中的每一个元素都有函数值. 唯一性 每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. 方向性 函数是一个从定义域到值域的对应关系. 注意：①集合, 必须是数集，不能是点集或其他集合，即函数研究的对象是数. ②集合是函数的定义域，因为给定中每一个值都有唯一的 值与之对应；集 合不一定是函数的值域，因为中的元素可以没有与之对应者，即 . 教材帮 5 辨析比较 上述的函数概念，我们称为函数的近代定义.而初中学习的函数概念，称 为函数的传统定义，二者的异同点如下： 不同点:传统定义从运动变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定 义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系. 相同点:两种对应关系满足的条件是相同的，“变量的每一个值”或“集合 中的 每一个数”，都有唯一一个“ 值”与之对应. 教材帮 6 典例详解 例1-1 [教材改编P107 T3]［多选题］下列对应关系是集合到集合 的函数的是 ( ) AC A.，， B.，， C.，， D.， ，对应关系如图5.1-2所示 图5.1-2 教材帮 7 【解析】对于选项A，集合中的任意一个整数，按照对应关系 ，在 集合中都有唯一一个确定的整数与之对应，故A是集合到集合 的函数； 对于选项B，集合中的元素是负数时，没有算术平方根，即在集合 中没有对应的 元素，故B不是集合到集合 的函数； 对于选项C，集合中任意一个实数，按照对应关系，在集合 中都有 唯一一个确定的数0和它对应，故C是集合到集合 的函数； 对于选项D，集合中的元素3在集合中没有对应的元素，且中的元素2在集合 中 有5和6两个元素与之对应，故D不是集合到集合 的函数. 教材帮 8 知识点2 函数的三要素 由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. （定义域是 一个函数的“灵魂”） 1 定义域 给定函数时要指明函数的定义域.对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义 域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.在实际问 题中，函数的定义域还要受到变量实际意义的制约. . . 教材帮 9 2 对应关系 对应关系 （对应关系可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述等）是函 数的核心，它是对自变量 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从 定义域中任取一个，可得到值域中唯一的与之对应.同一“ ” 可以“操作”不同形式的变量. 3 值域 若是函数的定义域，则对于中的每一个（输入值），都有一个 （输出值）与之对应（反过来，函数值域中的每一个值都有定义域中的一个或多个 值与它对应）,我们将所有输出值组成的集合 称为函数的值域. . . . . . . 教材帮 10 知识剖析 判断两个变量是否具有函数关系的方法 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素： 定义域和对应关系.即要判定给定的两个变量（变量均取数值）之间具有函数关系， 只要判定： （1）定义域和对应关系是否已明确给出； （2）根据给出的对应关系，自变量 在定义域中的每一个值是否都有唯一的函 数值 和它对应. 教材帮 11 辨析比较 与 的区别与联系 表示时 的函数值，是其值域内的一个数值，它表示的是常量； 表示自变量为的函数，它表示的是变量.例如，表示函数；当 时， 是一个常量. 与 的区别与联系 它们有同一个对应关系，但施加的对象不同，一个是,一个是.若以 为自 变量，它们是不同的函数. 教材帮 12 学思用·典例详解 例2-2 [教材改编P106 例3]函数 的值域是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，所以，故函数的值域是 . 例2-3 已知集合是函数的定义域，集合是函数 的值域，则 _______. 【解析】要使函数有意义，则，解得 ， . ， . 教材帮 13 【想一想丨归纳总结】 一次函数的定义域为，值域为 ；反比例函数 的定义域为，值域为 ；二次函 数的定义域为，当时，值域是 ，当 时，值域是 . 教材帮 14 知识点3 两个函数相同 由函数定义可知，如果两个函数对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数 就是同一个函数. （【方法】先看定义域，再看对应关系） 知识剖析 1.定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数.如函数 与的定义域和值域均为 ，但是它们的对应关系不同，所以两个 函数不是同一个函数. 2.因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量 和对应关系都是无关紧要的.如与 就是同一个函数. 3.对中的理解:虽然和从等号右边看是一样的，但 作用的对象不同（一个为,另一个为）.对于,令 ，则 ,,故函数即.因此函数 与 表示的是不同的函数. 教材帮 15 学思用·典例详解 例3-4 [教材改编P112 T4]下列选项中，两个函数是同一个函数的是( ) C A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】对于A，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B， 的定义域 是，的定义域是 ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D， 的定义域是 ，的定义域是 ，两函数的定义域不同，不是同一函数. 教材帮 16 知识点4 函数的图象 1 函数图象的概念 将函数的自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值 作为纵坐 标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域 中的每一个值 时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为 ,即 ,所有这些点组成的图形就是函数 的图象. 教材帮 17 2 函数图象的画法及函数图象的几何意义 ①画函数图象的方法通常是根据函数的表达式来列表、描点、连线（直线或光 滑曲线）. ②画函数图象时应特别注意定义域是否包含端点，若包含， 图5.1-1 则对应函数图象上的点为实点，若不包含，则对应函数图象 上的点为空点.如图5.1-1. ③依图象上点的高低，可以比较函数值的大小.由图5.1-1知 . . . 教材帮 18 归纳总结 用描点法作函数图象的步骤 注意:若图象是一系列不连续的“点”，则不需要“连线”这一步骤. 教材帮 19 典例详解 例4-5 [教材改编P111练习 作出下列函数的图象（画函数的图象，需先关注函数的 定义域）,并求它们的值域. （1）, ； 【解析】这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线上，由于 , 从而,这些点称为整点，如图5.1-3所示，值域为 图5.1-3 . . 教材帮 20 （2）， . 图5.1-4 【解析】因为 ，所以这个函数的图象是抛物线 在上的部分，如图5.1-4所示,值域为 (易错误地认为值域为 ). 点评 （1）从函数的图象上能直观地看出函数的定义域、值域，这就是数形结合 思想的应用. （2）当函数的定义域为整数集时，函数的图象是直线上的一系列整点，而不是直线 （函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等）. . . . . 教材帮 21 释疑惑 重难拓展 知识点5 抽象函数与复合函数 1 抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数(如 , 等). . . 教材帮 22 2 复合函数的概念 如果函数,，函数,，若,且 为 非空的数集，则称函数为函数与在 上的复合函数，其定义域 为，其中叫作中间变量，叫作内层函数， 叫作外层函数 (如,为内层函数， 为外层函数). 说明 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域的子集， 外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域. . . 教材帮 23 3 复合函数与抽象函数定义域的求法 函数的定义域是指的取值范围，而不是 的范围. （1）已知的定义域，求的定义域.若的定义域为 ，则 中，从中解得的解集即 的定义域. （2）已知的定义域，求的定义域.若的定义域为 ，则 由可确定的范围，设,则,又与 是同一 函数，所以的范围即 的定义域． （3）已知的定义域，求的定义域.先由的取值范围，求出 的取值范围，即中的的取值范围，即的取值范围，再根据 的取值范围 求出的取值范围,即 的定义域． （4）求运算型抽象函数（由有限个抽象函数经四则运算得到的函数）的定义域, 先求出各个函数的定义域，再求交集． 教材帮 24 典例详解 例5-6 下列函数中，是复合函数的是( ) B A. B. C.（为常数） D. 【解析】B中函数是由和 两个函数复合而成的，是复合函数． 教材帮 25 例5-7 函数的定义域为，且对定义域内的任意, ，都有 ，若，则 的值为( ) C A. B. C. D.2 【解析】根据题意，令（联想2与 的关系）， 由 ， 得 ， 即 ， 因为 ， 所以 . . . 教材帮 26 方法提升 解题课 能力构建 题型1 求函数定义域 1 已知解析式求函数的定义域 例8 [教材改编P107 T6]求下列函数的定义域： （1） ; 【解析】因为当,即时,有意义,所以这个函数的定义域是 , 且}.(求出的定义域一定要用集合或区间的形式表示，不能写成“定义域是 ”. 用区间可表示为 ,,要用并集符号“ ”连接，而不能用“或”连接) . . . . 27 （2） ; 【解析】因为当,即时, 有意义,所以这个函数的定义域是 ,且 }. （3） ； 【解析】要使有意义，则必须有解得 所以这个 函数的定义域为，且 . （4） ; 【解析】要使函数有意义，则且,即且 ,所以函数的定 义域是且 . 28 （5） . 【解析】由，得 , 则函数的定义域是 . 思路点拨 易错警示 求函数的定义域时,不能对解析式进行不等价变形,如第（2）小题中易出 现这样的错误：,故使函数式有意义的应满足,即 ,则函 数的定义域为.事实上，原函数的定义域为 .因此，求函数的定义 域时，务必依据原始函数的解析式去求，切记不可随意化简后再求定义域，否则可 能会因为非等价化简导致定义域改变. 29 求给出解析式的函数定义域的一般方法 当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量 的取 值范围.求函数的定义域往往转化为解不等式（组），取交集时可借助数轴，同时要 注意端点值的取舍. （1）为整式型函数时，定义域为 ; （2） 为分式型函数时，定义域为使分母不为0的实数的集合; （3） 为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集 合; （4）函数中的 不为0; （5）如果函数是由一些简单函数通过四则运算组合而成的，那么它的定义域是各个 简单函数定义域的交集.#2.2.5 . . . . 30 【学会了吗丨变式题】 1.函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】要使有意义，则有解得且 ， 故所求函数的定义域为 . 31 2 求实际问题中函数的定义域 例9 如图5.1-5所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆的框架，若半圆的 半径为，求此框架围成的面积与 的函数解析式，并写出它的定义域. 图5.1-5 32 给什么 得什么 长为1即周长为1，已知半圆的半径为，由图可以得出， 的长 为 . 求什么 想什么 要求框架围成的面积与 的函数，即求半圆的面积与矩形的面积之和， 半圆面积为，要求矩形面积需要求,根据周长为1，易得 ，则矩 形面积为 . 差什么 找什么 由函数三要素可知，需要定义自变量的取值范围，结合题设可知 从而可解得 的取值范围，定义域即得. 33 【解析】由题意知，,的长等于圆的周长的一半，为 , 于是,因此， , 即 . 由 （求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数的解析式有意义外， 还要考虑使实际问题有意义,因此有，）得 , 故此函数的定义域为 . 故所求的函数为 （求与实际问题有关的函数解析式时， 一定要注明函数的定义域）. . . . . 34 3 求抽象函数或复合函数的定义域 （1）已知的定义域，求 的定义域 例10 (2026·重庆市第一中学校期中)已知函数 ,则函数 的定义域为( ) A A. B. C. D. 思路点拨 解题的关键是先求出函数中的范围，这个范围即为 的范 围，再建立不等式求出自变量 的范围即可. 35 【解析】由 ,解得 , 即函数的定义域为 . 由,解得 , 则函数的定义域为 . . . 36 （2）已知的定义域，求 的定义域 例11 已知函数的定义域为，则函数 的定义域为( ) A A. B. C. D.， 思路点拨 由,求出的范围，这个范围即为 的定义域. 【解析】 函数的定义域为 ， ，可得 ， (注意的定义域并非 的范围) 函数的定义域为 . 37 （3）已知的定义域，求 的定义域 例12 已知的定义域为，则 的定义域是( ) B A. B. C. D. 38 【解析】的定义域为，即， ，则在 中, ， 解得 ， 故函数的定义域为 . 39 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·江西省南昌市期末)已知函数，则函数 的定 义域为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可知，函数的定义域为 ，在函数 中即，故函数 的 定义域为 . 40 3.已知函数的定义域为，则函数 的定义域为( ) A A. B. C. D. 【解析】 函数的定义域为，,即 .对于 函数，则解得，即函数 的定义域为 ． 41 题型2 函数的求值问题 1 已知函数解析式求函数的值 例13 [教材改编P112 T9]已知函数, . （1）求,, 的值; 【解析】将分别代入两个函数解析式中，得, . 将代入函数 ， 得（注意是一个整体） . . . 42 （2）若,求实数 的值. 【解析】易知,则,解得 或 . 43 2 赋值法求抽象函数的函数值 例14 已知函数对任意正实数,，都有 . （1）求 的值； 【解析】令,（依据目标函数对,赋值），得 ，解得 . （2）若,（为常数），求 的值. 【解析】 令，得 . 令，得 . 令,，得 . 因为，所以 . . . 44 45 函数求值问题的解法 1.已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式,即可求出相应的函数 值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解. 2.已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将 函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域 对自变量取值的限制. 3.抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函 数中的某个变量，它是解决抽象函数问题的常用策略. . . . . . . 46 题型3 求函数的值域 例15 求下列函数的值域： （1）, ； 【解析】（观察法） 因为，将 的值分别代入函数解析式求值，可得 函数的值域为 . 47 （2）, ； 【解析】（配方法） （二次函数常通过配方法求解值域） 由 , 再结合函数的图象（图5.1-6），可得函数的值域为 . 图5.1-6 . . 48 （3） ； 【解析】 （分离常数法） （通过分离常数使得分子中无自变量），显然 ， 所以 .故函数的值域为 . （反表示法） 由易得,则,又 恒成 立,故所求函数的值域为 . . . 49 （4） ; 【解析】（换元法） 设，则，且 （解析式中含有根式时， 常利用换元法求值域）， 所以，由 ，再结合函数的图象（图 5.1-7）， 可得函数的值域为 . 图5.1-7 . . . . 50 （5） ； 【解析】 （直接配凑） 因为，所以 （根据分母的结构进行配凑） ，当且 仅当，即 时，等号成立. 故函数的值域为 . （换元法） 令， ， 所以，当且仅当 ， ，即 时取等号． 故函数的值域为 . . . 51 （6） ; 【解析】（基本不等式法）因为，所以 ， 令［（必须变成都是正数的形式）］ ，则 ，当且仅当，即 时，等号成立，所 以，，故函数的值域为 . . . 52 （7） . 【解析】（判别式法）由可知 , 整理得 . 当 时，方程无解； 当时，，即 ． 故所求函数的值域为 ． 53 求函数值域的方法 （1）观察法.利用函数图象的“最高点”和“最低点”，直接观察得到函数的值域. （2）配方法.求形如 的函数的值域可用配方法，但要注 意 的取值范围. （3）分离常数法.形如 的函数常用分离常数法求值域.转化 过程为，结合 的取值范围确定函数的值域. （4）换元法.形如 的函数常用换元法求值域，即先令 ，用表示出,并注明的取值范围，再代入上式得到关于 的二次函数， 最后用配方法求值域. 54 需要注意的是,“分离常数”的目的是将“分式函数”变形为“反比例函数”类，“换元”的 目的是将函数变形为“二次函数”类，即将函数解析式变形为熟悉的简单函数类型求 值域. （5）反表示法.根据函数解析式反解出，由的取值范围得到关于 的不等式（组）， 解不等式（组）即可. （6）基本不等式法.若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满 足基本不等式的应用条件，则可利用基本不等式求最值，进而可得函数的值域. （7）判别式法.形如（ 中至少有一个不为零）的值域，常把函数转 化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式，求出 的取值范围.#2.1.8 【学会了吗丨变式题】 4.新情境 高斯函数 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王 子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过 的最大整数， 则称为高斯函数．例如，，.已知函数 - ，则函数 的值域为( ) A A. B. C. D. 56 【解析】当时， ， 当时，，则 ， （根据 表示的含义，明确分类标准） 则-= ， 当时， ， 则，则-= . 综上可得，函数的值域为 ．故选A． 57 5.函数 的值域为_________. ， 【解析】函数 ， 令, . 当时，可得.（不能直接默认 就进行变形） 当时，可得 , 当时，可得，当且仅当时取等号,则 ; 当时，可得，当且仅当 时取等号,则 ． 故函数的值域为， ． 58 题型4 已知定义域或值域求参数 1 已知函数的定义域求参数 例16 若函数的定义域为，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 思路点拨 定义域为，即分母不为0在上恒成立，据此确定 的取值范围. 【解析】由函数的定义域是，可得（一定要考虑 和 两种情况）对一切实数 恒成立. ①当时，恒成立，所以 满足题意； ②当时，有，解得 . 由①②可知，的取值范围为 . . . 59 2 已知函数的值域求参数 例17 若函数的值域为，求, 的值. 【解析】设,，整理得 . ①当时, , 得方程的两根为 ,4. 由根与系数的关系得， 解得或 60 ②当时，,的值符合题意.（函数值域为,即, 符合该值域） 综上，所求,的值为或 已知函数定义域或值域求参数问题的解题思路 （1）根据定义域及值域的含义，将给出的定义域或值域转化为方程的解或不等式的 解集. （2）根据方程的解或不等式的解集来确定参数的值或范围. 新考法 思维创新 例18 新定义 不动点&稳定点(2026·广东省深圳实验学校期中)对于函数 ,若 ,则称为的“不动点”，若,则称为 的“稳定点”，函数 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即 , .如果 ，那么 （1）函数 的“不动点”的集合为________; 【解析】设函数的不动点为，由题意可得, ，即 ，即,解得或.故 . 62 （2）集合与集合 的关系是_______. 【解析】,.由 , 可得,整理得 ，化简得 ,解得或或 ， }, 结合（1）中可知， . 63 素养提升 不动点理论是现代数学中有趣的概念，主要涉及两方面的问题，即“不动 点”的存在问题和“不动点”的个数问题.本题以“不动点”和“稳定点”的定义为背景，考 查与二次函数、二次方程有关的知识，考查了逻辑推理和数学运算等核心素养.对于 这类新定义的概念题，要先读懂并理解新概念，获取有用的信息，并综合应用已有 的知识来解决问题. 64 练习训练 习题课 质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.[教材改编P107 T6] (2026·浙江省台州市六校联盟期中)函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】若函数有意义，需满足，且，即 ，且 ，即函数的定义域为 ． 65 2.下列函数中，值域为 的是( ) A A. B.， C.， D.， 【解析】对于A，由二次函数性质可知，，所以 ，则 函数的值域为 ，A正确； 对于B，因为，所以，则函数的值域为 ，故B错误； 对于C，，，则该函数的值域为 ，故C错误； 66 对于D，举反例：，所以该函数的值域不为 ，故D错误． (【另解】,当且仅当 时取等号，所以该函数的值域 为 ) 67 3.(2026·福建省南安第一中学检测)若函数的定义域是 ，则函数 的定义域是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为函数的定义域是，所以，即 ， 所以的定义域为，又分式的分母不能为零,即，所以函数 的 定义域为 ). 68 4.［多选题］ (2026·江苏省宝应中学期中)根据函数的概念判断：下列对应关系是从 集合到集合 的函数的是( ) CD A. B. C. D. 【解析】对于A，当时，，集合 没有对应值，不满足条件. 对于B，当时，，集合 没有对应值，不满足条件. 对于C，满足条件. 对于D，满足条件. 69 5.新考法 数学文化 [多选题] (2026·河北省唐山外国语学校期中)中文“函数”一词， 最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中 函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化.下 列选项中是同一个函数的是( ) CD A.与 B.与 C.与 D.与 70 【解析】对于A，的定义域为， 的定义域为R，两函数 的定义域不同，不是同一个函数； 对于B，的定义域为，的定义域为 或 ，两函数的定义域不同，不是同一个函数； 对于C，的定义域为，的定义域为 ，两函数的定义域相同， 对应关系也相同，是同一个函数； 对于D，与 两函数的定义域相同，对应关系也相同， 是同一个函数．故选 ． 71 6.若对任意,恒成立，且 ，则 ___. 1 【解析】由对任意, 恒成立， 令，得，解得 . 72 7.[教材改编P107 T7] （1）求函数 的值域； 【答案】， ， ，即函数 的值域为 }． 73 （2）求函数 的值域； 【答案】， ， 当时，，当且仅当 时等号成立； 当时，，当且仅当 时 等号成立． 故函数值域为 . 74 （3）求函数 的值域． 【答案】令，，则 ， 则， ， 当 时，函数取得最大值,为2，（开口向下，顶点处最大） 故函数的值域是 ． 75 B 综合练丨高考模拟 建议时间：25分钟 8.已知定义在R上的函数的值域也是R,并且对任意， ，都有 ,则 等于( ) D A.0 B.1 C. D.2 026 【解析】由已知得， ，两式比较， 得，令，得 .又由题意，可得 ，于是，即 ，所以 ，从而 . 76 9.设函数满足和，且 ，则 ( ) A A.1 000 B.3 000 C.2 000 D.4 000 77 【解析】， ， ， . 在中，令可得， ，（结合所求式， 合理赋值，为构建目标式做准备） 即，又，则 ， 即 ， . . . 78 10.新定义 有界函数 [多选题] 已知定义域为的函数，若存在正数 ，对任意 ，都有成立，则称函数是定义域 上的有界函数.下列选项中是 有界函数的是( ) AB A. B. C. D. 79 【解析】对于A，因为，又 ，所以 ，所以 ，故A符合题意； 对于B，因为，所以， ，故B符合题意； 对于C，因为，定义域为，所以 的值 域为，则对任意的，不存在正数 ，使得 成立，故C不符合题意； 对于D，因为，定义域为，所以的值域为 ，则对任意的，不存在正数，使得 成立，故D不符 合题意.故选 . 80 11.已知函数的定义域为，则 的最大值是__. 【解析】因为函数 的定义域为R， 所以， 恒成立， 所以，，即， ， 令 , 则 ， 81 令，则 （根据分母的结构配凑） ，当且仅当，，即，, 时，等号同时成立， 所以的最大值是 ． . . 12.新定义 关联函数 若函数的定义域为，对任意的,，当 时， 都有，则称函数是关于关联的，已知函数是关于 关 联的，且当时，，则当时，函数 的值域为 ________；不等式 的解集为________________________. 【解析】 函数是关于关联的， 当时，都有 , 即 , 当时, , ,（借助关联函数的定 义进行转化） , ， 故函数的值域为 . 83 ， ， 又时，, 当时， ， 故不等式在 上无解. 当时， ， 不等式可化为 ， 解得 ; 当时， ， 不等式可化为 ， 解得 ; 又时，, 当时， ， 故不等式在 上无解. 综上所述，不等式的解集为 ． 13.已知函数 ． （1）求与，与 . 【答案】 函数 , ,,, . （2）猜想与 有什么关系？并证明你的猜想. 【答案】猜想 ，（【点拨】对前一问进行归纳总结，得出合理猜想） 证明如下： ． . . 85 （3）求 的值． 【答案】 , ． 86 C 培优练丨能力提升 14.(2026·湖北省武汉市检测)已知函数的定义域为，且对任意实数， ，都有 .若，则 ___. 0 87 【解析】因为对任意实数，，都有， ， 所以取，得，即，解得 ， 取,，得 ， 即，解得 ， 取任意,，则，因此 ， 取,，得 ， 得 ， 所以 . $