1.2.5 课时2 点面距与平行直线、平行平面间的距离课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点面距、线面距及平行平面间距离，通过向量法解决相关问题。课堂导入先回顾平面上点到直线距离定义，再引出空间点面距概念，搭建从平面到空间距离计算的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动新知探究，结合正方体、直三棱柱等实例示范向量法步骤，体现数学眼光的空间形式抽象、数学思维的推理转化及数学语言的符号表达。帮助学生掌握距离计算通法，教师可依托清晰流程提升教学效率。

1.2.5 课时2 点面距与平行直线、平行平面间的距离 第一章 1. 能用向量方法解决点面距、线面距与相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 学习目标 平面上点P到直线l之间的距离是如何定义的？ 过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ的长度即为点P与直线l的距离. 平面外一点到该平面的距离如何用线段表示？ 给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离. 新课导入 … … … 问题1：a与b的数量积的几何意义是什么？ a在b上的投影的数量与b的长度的乘积 问题2：如图，点A是平面α外一点，若AA'是平面α的垂线段(即A'为A在平面α内的射影)，则平面α内不同于A'的任意一点B，n0是平面α的一个单位法向量(即|n0|=1)，则·n0表示什么？·n0和AA'之间有何关系？ 因为AA'⊥α，所以表示n0的有向线段可以在直线AA'上， 所以·n0等于在n0上的投影的数量. 新知探究 … … … 追问：·n0和AA'之间有何关系？ ·n0=A'A 若A是平面α外一点，B是平面α内一点，如何根据和平面α的一个法向量n表示出点A到平面α的距离？ 新知探究 … … … 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； 当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.  A l β 知识梳理 一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.  A l β 显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. 公垂线 提醒 (1)一般地，距离都具有最小性. (2)直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离都可以归结为点到平面的距离. 例1 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 新知探究 … … … 例1 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 令x=2，则平面PEF的一个法向量n=(2，2，3)， 则，即， ∴点D到平面PEF的d=. 新知探究 … … … 例1 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点. (2)求直线AC到平面PEF的距离. 令x=2，则平面PEF的一个法向量n=(2，2，3)， (2)由题意得AC∥EF， 则直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离， 又， ∴直线AC到平面PEF的d=. 新知探究 … … … 用向量法求点面距的一般步骤 归纳总结 新知探究 … … … 例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上， EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点， EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EGF∥平面ABD; (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 新知探究 … … … 解：(1) 如图所示，以B1为原点，分别以B1A1，B1C1，B1B为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB=a， 则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)， 所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD=B，所以B1D⊥平面ABD. 新知探究 … … … 所以GF∥AB，EF∥BD. 又GF∩EF=F，AB∩BD=B， 所以平面EGF∥平面ABD. 新知探究 … … … 新知探究 … … … 课堂总结 … … … D 1.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( ) 2.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为　　　　　.  当堂检测 … … … B 3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) 当堂检测 … … … 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)， E(1，，0)，F(，1，0). =(1，，-1)，=(，1，-1)，=(0，0，1). 设平面PEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系， G. 所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2). 所以=0+0+0=0,=0+4-4=0. 所以, (2)证：由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),=(0,1,-1),所以=2=2,所以. (3)解：由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量. 因为平面EGF∥平面ABD, 所以点E到平面ABD的距离就是两平面间的距离,设为d. 因为=(0,0,3),=(0,2,2), 所以d=. 即两平面间的距离为.  A. B. C. D. A. B. C. D.3 $$