预习04 空间中的距离（4知识点+5题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习04 空间中的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离：这两个点连线的线段长，可通过向量求空间中两点之间的距离， 知识点2 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 知识点3 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点4 线面距离与面面距离 1.定义：（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， （3）与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这 两个平面的公垂线段两个平行平面之间的距离等于它们公垂线段的长， 2.距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题 【题型1 求点到直线的距离】 1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则点C到直线的距离为 . 4．已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 5．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 6．已知是边长为2的正方体，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：； (2)求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值． (3)求点到直线的距离． 【题型2 求点到平面的距离】 7．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 9．已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 11．如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点．    (1)证明：； (2)若，，，求E到平面ACD的距离． 12．如图，五面体中，平面，，，. (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求A到平面的距离. 【题型3 求线面距离或面面距离】 13．如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 14．设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 15．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 16．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【题型4 求异面直线的距离】 17．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 18．正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 20．三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 . 21．已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 【题型5 空间距离中，点的存在性问题】 22．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， ①求二面角的余弦值； ②在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 23．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 24．如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且.在梯形中，. (1)求证:平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)棱上是否存在点到平面的距离为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 25．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 3．在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．空间内有四点，则（    ） A．点到直线EF的距离为 B．点到直线EF的距离为 C．点到平面EFN的距离为 D．点到平面EFN的距离为 6．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．四点共面 B．在平面上的投影向量为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 三、填空题 7．如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 8．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球心到正四棱锥侧面的距离为 . 9．已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则的值为 . 10．如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 . 四、解答题 11．如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 12．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． ，分别是线段和线段上的动点，且，． (1)求证：平面； (2)若到平面的距离为，求的长度． 13．如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 14．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．如图，在四棱锥中，为边的中点，，平面，，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设为边上的点，满足，求点到平面的距离. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习04 空间中的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离：这两个点连线的线段长，可通过向量求空间中两点之间的距离， 知识点2 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 知识点3 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点4 线面距离与面面距离 1.定义：（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， （3）与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这 两个平面的公垂线段两个平行平面之间的距离等于它们公垂线段的长， 2.距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题 【题型1 求点到直线的距离】 1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 2．在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 3．已知，，，则点C到直线的距离为 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 4．已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，    所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 5．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）    如图，取AC的中点，连接， 由余弦定理，， 故有，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，故可分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如图所示.    则， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则 不妨取， 可得是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 化简整理得解得，或（舍去），则， 又因为，可得. 设点到直线的距离为， 则，解得. 故点到直线的距离为. 6．已知是边长为2的正方体，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：； (2)求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值． (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 则， 所以，则. （2）由图可知，平面BFC的一个法向量为， 由（1）知，，， 设平面EFC的一个法向量为， ，令，得， 则， 所以平面EFC与平面BFC夹角的余弦值为. （3）由（1）知，，， 所以，， 则， 所以点到直线的距离为. 【题型2 求点到平面的距离】 7．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 8．在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ． 则 ，，，， 所以 ，，， 设平面 的法向量为，则 令 ，则 ，，所以平面 的一个法向量为． 所以点 到平面 的距离为， 故选：A 9．已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为3，则， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 又， 所以， 所以的面积为， 所以四面体体积为，即四面体体积为. 故选：D 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，，，， ， 故，因此，故 （2）因，，设平面的一个法向量， 则，则满足条件的一个， 因为，故点到平面的距离. 11．如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点．    (1)证明：； (2)若，，，求E到平面ACD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设的中点为，连接，    由是等边三角形，则， 由中位线定理知且，则， 又平面，故平面， 由平面，所以. （2）由，则， 由题设，则，， 由余弦定理， 又，，则， 由，则， 由平面，平面，可得平面平面， 在平面内作，则平面， 综上，两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，    所以，而，则， 所以，，， 设为平面的一个法向量，则， 取，则， 所以到平面的距离为. 12．如图，五面体中，平面，，，. (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为，所以A，C，D，E四点共面. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，，两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，. 设为平面的法向量，则得，令，得， 取平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为， 所以，解得，即的长为3. 所以，又， 所以到平面的距离. 【题型3 求线面距离或面面距离】 13．如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面.又平面， 所以平面， 则到平面的距离即为平面到平面的距离. 建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则点到平面的距离为， 即平面到平面的距离为. 故选：A 14．设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【详解】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 15．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 16．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 【题型4 求异面直线的距离】 17．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 18．正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 19．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 20．三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】依题意，将三棱锥补形成直三棱柱， 此时易知，，满足题意， 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，，，则， 在中，，则， 又，所以是正三角形， 要求的最小值，即求异面直线，的距离， 以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，通过分析三棱锥的图形，将其补形成直三棱柱，从而得解. 21．已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）    如图根据正方体性质，可以如图建立空间直角坐标系，， 可以得到各点坐标．，，，，． ，，， 则点到直线的距离. （2），，， 设平面法向量为，则， 令，则，则. 则到平面的距离. （3），，， 设与的公垂线方向向量为.则， 解得，则. 则异面直线与的距离. 【题型5 空间距离中，点的存在性问题】 22．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， ①求二面角的余弦值； ②在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；②存在； 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接． 为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）解：． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面平面的一个法向量， 所以， 根据图形得二面角为锐角， 则二面角的余弦值为． ②假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 23．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 24．如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且.在梯形中，. (1)求证:平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)棱上是否存在点到平面的距离为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1），平面，平面， 平面． （2） ∵底面是直角梯形，， ， 又，到的距离为， 平面平面，到平面的距离为2．以为原点，以，及平面过的垂线为坐标轴， 建立空间坐标系，如图所示： ， ，设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， ，，令，，则， 可得， 设平面与平面夹角为， ． ∴平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设棱上存在点到面的距离为， 设，其中 ， 点到平面的距离，，（舍去）， 棱上存在点到面的距离为，． 25．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点在棱的中点位置 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以，由勾股定理逆定理得：， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故，即， 令，则，故， 其中 则，解得：， 即点在棱的中点位置时，使得点到平面的距离为. 一、单选题 1．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 2．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 3．在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 4．已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为3，则， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 又， 所以， 所以的面积为， 所以四面体体积为，即四面体体积为. 故选：D 二、多选题 5．空间内有四点，则（    ） A．点到直线EF的距离为 B．点到直线EF的距离为 C．点到平面EFN的距离为 D．点到平面EFN的距离为 【答案】AD 【详解】因为，所以EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点到直线EF的距离为． 设平面EFN的法向量为，因为， 所以令，得． 因为， 所以点到平面EFN的距离为． 故选:AD. 6．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．四点共面 B．在平面上的投影向量为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，，，则，， ，则，所以四点共面，A正确． 由正方体的结构特征，点在平面上的投影为， 所以在平面上的投影向量为，B正确． ，， ，， ，， 则点到直线的距离为，C错误． 设平面的法向量为，， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离为，D错误． 故选：AB. 三、填空题 7．如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 【答案】 【详解】如图，取的中点，因为平面，平面， 所以， 因为三角形是等边三角形，点是中点，所以， 所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，D为AC的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 点到平面BDE的距离为. 故答案为：. 8．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球心到正四棱锥侧面的距离为 . 【答案】/ 【详解】由正四棱柱的性质，外接球的球心为正四棱柱的体对角性的交点， 设正四棱柱和正四棱锥的高为，外接球的半径为， 则可得，解得， 如图所示，以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 所以球心到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于确定球心，进而求得正四棱柱的高，进而建立空间直角坐标系，利用向量法求解可得结论. 9．已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则的值为 . 【答案】 【详解】函数的最小正周期为， 在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，， ， 因为，解得. 故答案为：. 10．如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】因为平面，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量，则即 不妨设，可得， 因为，所以. 则点到平面的距离为. 故答案为： 、解答题 11．如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； （2）由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 12．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． ，分别是线段和线段上的动点，且，． (1)求证：平面； (2)若到平面的距离为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，， 则， 所以， 因为，所以， 所以， 又， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以， 所以，又平面，所以平面； （2）若到平面的距离为，则， 又， 所以， 整理可得，解得或（舍去）， 则，所以. 13．如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）解法一： 证明：连接与交于点，则是的中点，连接， 又是的中点，则有， 平面，平面，所以平面. 解法二：，则有，又平面， 以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，有， 令，则，得， 于是，且平面，故平面. （2）解法一： 取的中点，连接， 直三棱柱中，平面，平面，故， 又为的中点，则有且. 由，则有， 又，平面， 所以平面，平面. ，. 解法二： 在（1）的基础上，， 设平面的一个法向量为，， 令则，得， 于是点到平面的距离为， 于是. 14．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，. 【详解】（1）在图1中，由，得，则，， 由，得，即，在图2中，， 取的中点，连接，由为的中点，得，则， 由，得，而，平面，则平面， 又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即，取，得， 设平面的法向量为，则，即，取，得. 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以，则点到平面的距离为1， 令，由（2）得，平面的法向量为， 点到平面的距离， 所以，所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 15．如图，在四棱锥中，为边的中点，，平面，，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设为边上的点，满足，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：在中，，，， ， ，. 平面，， 平面，平面， ， 又，平面， 平面， 又平面，. （2）过作直线， 平面，平面， 又由（1）知，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， ， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 易知平面的一个法向量为， . 平面与平面所成角的余弦值为. （3）平面，平面， ， 又，，， 又易知，点的坐标为， . 点到平面的距离. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$