2.2.4 课时1 均值不等式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版 必修第一册

2.2.4 课时1均值不等式 第二章 作者编号：32200 1.掌握均值不等式及其推导过程. 2.理解均值不等式的几何意义. 3.能初步运用均值不等式求最值. 学习目标 作者编号：32200 假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长. 与这个矩形周长相等的正方形的边长： ； 与这个矩形面积相等的正方形的边长： . 给定两个正数a，b，数 称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值． 新课导入 … … … 作者编号：32200 如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据导入说出结论的几何意义． a 1 2 b 1 4 1 3 1 新知探究 … … … 作者编号：32200 1.均值不等式 如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立. 几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 知识梳理 作者编号：32200 问题1：不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 方法一(作差法)-===≥0， 即，当且仅当a=b时，等号成立. 方法二(分析法)要证，只需证2≤a+b， 只需证2-a-b≤0， 只需证-(-)2≤0， 显然(-)2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 新知探究 … … … 作者编号：32200 问题2：如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出不等式的另一个几何意义. A B D O C 在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得 CD2＝AC·BC，即 ， 由图可知OD≥CD，所以 　　 . 均值不等式的几何意义为：半圆上的点到直径的距离不大于半圆的半径. 又OD＝ ＝ ， 新知探究 … … … 作者编号：32200 例1 已知x＞0，求x+的最小值. 解：因为x>0，>0， 所以x+≥2=2， 当且仅当x=，即x=1时等号成立， 因此所求最小值为2. 一正：各项必须为正数. 二定：积定值和最小、和定积最大 三相等：当且仅当a＝b时，等号成立 均值不等式常见的变形: ①若a>0，b>0，则a+b≥2； ②若a>0，b>0，则ab≤. 新知探究 … … … 作者编号：32200 变式1：当x<0时，求x＋的最大值. 因为x<0，则－x>0， 故原式的最大值为－4. 新知探究 … … … 作者编号：32200 变式2：当x＞1时，求x＋的最大值. 解：因为x>1，故有x－1>0， 所以x＋＝x-1+≥2+1＝5， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 新知探究 … … … 作者编号：32200 变式3：已知x≥2，x＋的最小值是2吗？ 解：因为x>0，>0， 所以x＋≥2=5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， 因此最小值不是2. 新知探究 … … … 作者编号：32200 根据今天所学，回顾下列知识点： （1）均值不等式及均值不等式的几何意义； （2）利用均值不等式求最值的注意点. 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.不等式a2+≥4中，等号成立的条件是( ) A.a=4 B.a= C.a=- D.a=± 2.(多选)下列不等式成立的是( ) A.ab≤ B.ab≥ C.≥ab(a>0，b>0) D.a+b≤2 D AC 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.若x>0，则x+　　2，若x<0，则x+　　-2.(填“=”“≥”“≤”“>”或“<”) 4.已知x<，则y=4x-2+的最大值为　　，此时x的值是　　.　　 ≥ ≤ 1 1 当堂检测 … … … 作者编号：32200 所以－(-x+)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立. 解：原多项式可变为x＋＝－(-x＋)， 故有－x＋≥2＝4， $$