10.3.3直线与平面所成的角（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.3直线与平面的位置关系 3 直线与平面所成的角 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 思考：不在平面上的一条直线与这个平面的位置关系有哪些？ 除此之外，是否还有其他的位置关系？ 旧知回顾 直线与平面平行 直线与平面垂直 一条直线与一个平面相交，但不垂直，称之为斜交。此时直线称为平面的斜线，直线与平面的交点称为斜足. 过斜线上斜足以外的一点，过点作平面的垂线，垂足记为连接，直线叫作斜线在平面上的投影（也称射影）. 斜线 斜足 垂足 射影 新知探究 平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的锐角，叫作这条直线和这个平面所成的角. 另外，我们约定，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是的角． 故斜线与平面所成角的范围： 直线与平面所成角的范围： 典例分析 例6.如图，在正方体中， （1）求直线和平面所成的角的大小； （2）求直线和平面所成的角的大小. 解（1）因为平面，且点在平面上的射影是点，即是在平面上的射影. 分析：本题找直线上不在平面内的点在平面上的射影。 ①连接射影与直线和平面的交点，得到直线在平面内的射影。 ②计算直线与射影的夹角，即为所求角。 而与所成的角是，所以直线和平面所成的角是. 典例分析 例6.如图，在正方体中， （2）求直线和平面所成的角的大小. 解（2）因为平面，且点在平面上的射影是点即是直线平面所成的角。 设正方体的棱长为 由 .所以直线和平面所成的角是. 分析：本题计算步骤 ①找投影 ②求投影长度 ③计算夹角 求斜线和平面所成的角的一般步骤： 1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角； 2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影） 3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小． 可通过“作辅助线构造直角三角形”→“用正弦函数关联角与边”→“借单调性比较角大小”→“推广到平面任意直线”这一思路完成证明。 例7.如图，设是平面的一条斜线，与平面交于点，是在平面上的投影，是平面上过点的另一条直线，所成的角为，所成的角为. 求证： 分析：本题目的是为证明即可转化成投影线与斜线的夹角，小于斜线与平面内其他直线的夹角。 证明 在上取异于的一点，过点作与的垂线， 垂足分别是，连接． 因为在平面上的投影，是平面的垂线, 是直角三角形，是直角， ．在直角三角形中，分别有 , 由此可见． 因为在(0,)中正弦函数是增函数，所以． 如果是平面上的任意直线，与所成的角可以通过把在平面α上平行移动到通过的位置（不排除与重合的情况）而得到． 由例7可知:总有故得到结论： 斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成的角中的最小的角． 例7.如图，设是平面的一条斜线，与平面交于点，是在平面上的投影，是平面上过点的另一条直线，所成的角为，所成的角为. 求证： 练习1.长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为_______. 是与平面所成的角 设长方体的高为 故长方体的体积=8 课堂练习 练习2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1DCB1所成的角. 练习3.正方体中， (1)求直线与平面所成角的正切值. (2)求直线与平面所成的角. (3)是的中点，求直线与平面所成角的正弦值. (1) (2) (3) ①作垂线 ②连射影 ③定夹角 ④求夹角 练习4.（多选）过所在平面外一点，作，垂足为，连接，则下列结论正确的有（ ） A．线段中，线段最短； B．若则； C．若，则； D．若和平面所成的角相等． 【性质】过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段 （1）垂线段和斜线段中，垂线段最短； （2）若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等； （3）若斜线在面内的射影长相等，则斜线段长相等． 练习5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； ∵⊥平面， ∴就是与平面所成的角， 在中， ∴与平面所成的角是45°. 练习5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (2)求与平面所成的角. O 如图，连接交于点，连接. BB1⊥A1O，， ∴就是与平面所成的角. 又∵， ∴与平面所成的角是30°. 设正方体的棱长为1，则 ∴， 练习5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (2)求与平面所成的角. ①作垂线 ②连射影 ③定夹角 ④求夹角 3.斜线和平面所成的角的一般步骤 1.一条直线与一个平面相交，但不垂直，称之为斜交。此时直线称为平面的斜线，直线与平面的交点称为斜足. 2.过斜线上斜足以外的一点，过点作平面的垂线，垂足记为连接，直线叫作斜线在平面上的投影（也称射影）. 课堂小结 课后作业 借助下图证明：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， (1)垂线段比斜线段都短； (2)两条斜线段相等的充要条件是它们相应的两条投影相等． 感谢聆听! ∴∠，又∠°， ＝，＝. $$