10.3 直线与平面间的关系（第3课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.3直线与平面间的关系（第3课时） 10.3.4三垂线定理 第10章 空间直线与平面 教师 xxx 沪教版（2020） 必修第三册 直线和平面垂直的判定定理是什么？ 直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？ 定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面内的任何直线 判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于平面 复习引入 P O A α 如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。 直线PA是斜线 直线PO是垂线 直线OA是直线PA在平面内的射影 a 求证：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， (1)垂线段比任何给定的一条斜线段都短； (2)两条斜线段相等的充要条件是它们相应的两条射影段相等. 证明 如图10-3-16,记PO是平面α 的垂线段，PA 和PB 是平面α的斜线段，OA和OB分别是它们在平面α内的射影段. (1)因为PO⊥α, 由直线与平面相垂直的判定定理，有PO⊥ OA,PO⊥OB. 由直角三角形中斜边与直角边的关系，知PO<PA,PO<PB. 图10-3-16 (2)先证充分性.设OA=OB, 则直角△PAO 与直角△PBO全等，所以 PA=PB. 再证必要性.如果 PA=PB, 则同样有△PAO≌△PBO, 所以OA=OB. 三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件，是它和这条斜线在平面上的射影垂直. 已知：PO、PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是斜线PA在平面α上的射影，直线a 在平面α上(图10-3-17). 求证：a ⊥PA⟺ a⊥OA. 图10-3-17 证明 先证充分性： 再证必要性： P O A a α 定理中包括三种垂直关系： ②线射垂直 P O A a α ①线面垂直 ③ 线斜垂直 P O A a α 直 线 和 平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 P O A α a 对定理的几点说明 1、三垂线定理描述的是斜线PA、射影OA和a直线之间的垂直关系 2、直线a可以移动，但只能在平面内移动。因此，直线a和斜线PA可以相交也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 α a P O A 图10-3-18 例1 如图10-3-18, 已知正方体ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁ ,求证：AC⊥BD 证明 直线BD₁ 在平面 ABCD上的射影是BD, 显然有BD ⊥AC. 由三垂线定理，就得AC⊥BD₁ . 课堂练习 感谢观看 1．如图，已知点 平面 ，点 ，直线 ，点 且 ，则“直线 直线 ”是“直线 直线 ”的 条件（请填写“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”） 【答案】充要 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可. 【详解】因为 EMBED Equation.DSMT4 所以 当直线 直线 时， 面 EMBED Equation.DSMT4 则 又 所以直线 直线 故“直线 直线 ”是“直线 直线 ”的 充分条件，当直线 直线 又 故直线 面 又 面 故直线 直线 .故“直线 直线 ”是“直线 直线 ”的必要条件. 故答案为：充要 2．点 是 所在平面外一点，且 到 三顶点距离相等，则 点在平面 上的射影是 的 心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 【答案】外心 【分析】设 在平面 上的射影为 ，则 平面 ，连接 、 、 ，从而得到 ，即可得到 ，即可判断. 【详解】设 在平面 上的射影为 ，则 平面 ，连接 、 、 ， 则 平面 ，所以 ， ， ， 又 ，所以 ， 所以 ， 所以 为 的外心.    故答案为：外心 3．已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．请用图形语言和数学符号翻译该定理并证明． 【答案】答案见解析 【分析】按定理内容转化成符合语言再证明即可. 【详解】解：已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 如图所示：若 ， 是垂足，斜线 ， ， ，证明 ． 证明： ， ， ， ， 又 ， 都在平面 内， 平面 ， 平面 ， ． 4．已知P为 所在平面外一点． (1)若O为P在平面 上的投影， ， ，证明：O为 的垂心； (2)若 、 、 两两垂直，且 ，求直线 与平面 的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线 与平面 的夹角的大小为 【分析】（1）通过证明三垂线交于点 即可证明结论； （2）通过证明线面垂直得出所求角，即可求出直线 与平面 的夹角的大小. 【详解】（1）O为P在平面 上的投影，则 面 ， 由 可得 ，同理 ，所以，O为 的垂心. （2）取 中点D，连接 ，过P作 于O， 因为 ， ，所以 ， ， ∵ 面 ， 面 ， ， 面 ， 所以 面 ， ∵ 面 ， 所以 ， 因为 ， 面 ， 面 ， ， 面 ， 所以 平面 ，所以 即为所求角. ∵ 、 、 两两垂直，且 ， 设 ， ∴ ， 是等边三角形， ， ， ， ∴ ， ， ∴夹角大小为 . 5．如图，在三棱锥 中， ， 是 的中点，且 .    (1)求证： 平面 ； (2)若 ，求证： 平面 . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证； （2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明. 【详解】（1）因为 ， 是 的中点，所以 . 在 中， ， 由已知 ，所以 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2）因为 ， 是 的中点， 所以 . 由(1)知 . 又因为 平面 ， 所以 平面 . 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 $$