19.2实数（第1课时 有理数的小数形式）（教学课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

该初中数学课件聚焦有理数的小数形式，核心讲解有理数与有限小数、无限循环小数的等价关系。课堂导入通过让学生将分数化为小数，观察结果引出“除不尽时为何是无限循环小数”的问题，搭建从分数到小数形式的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以3/22的除法竖式分析余数有限性，培养数学思维的推理能力，用方程法（如设x化0.˙5为分数）渗透模型意识，体现数学眼光的抽象能力。分层练习与问题驱动的教学方法，助力学生理解本质，也便于教师高效突破重难点。

沪教版（2024）八年级数学上册 第19章 实数 19.2 实数 第1课时 有理数的小数形式 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.理解有理数的本质属性，能准确阐述有理数与有限小数、无限循环小数之间的等价关系，明确 “任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数都是有理数”. 2.能根据小数的特征判断其是否为有理数：若小数是有限小数或无限循环小数，能明确判定它属于有理数. 3.在探究无限循环小数化分数的过程中，体会方程思想的运用。 新课导入 、、、、 这些有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 =2.5、=-0.8、=3.142857、=-1.7、=0.136 分数化小数 有限小数（除尽） 无限循环小数（除不尽） （分子除以分母） 为什么分子除以分母除不尽时，分数为什么一定能化成无限循环小数 我们知道，有理数是能够写成分数一(a、b是整数，a≠0)的数，请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现? 知识点讲解 余数有限 必然重复 商循环 无限循环小数 为什么分子除以分母除不尽时，分数为什么一定能化成无限循环小数，以为例加以说明 3. 22 0. 22 80 66 140 132 80 66 140 132 8 13636 0 由于除法中余数一定小于除数，因此在除数确定的情况下，出现的余数只有有限种可能，如除数是22时，出现的余数只有0、1、2、…、21，共22种可能.如果永远除不尽，那么相同的余数一定会重复出现，如3÷22，相同的余数 8和 14 依次重复出现,一旦出现相同的余数，补0后再继续相除，商也一定会出现循环，如=3÷22=0.136，在相同的余数8和14依次重复出现后，商相应出现循环节36.所以当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数. 定义与概念 当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 总结归纳 在小学，我们已经学习了如何把有限小数化成分数，如0.9=，2.12==.那么，无限循环小数如何化成分数呢?这个问题将在高中数学学习中作更深入的研究，这里仅介绍一种将无限循环小数化成分数的方法. 典型例题 经典例题 例1 将0.5化成分数 解：设x=0.5，那么 10x=5.5. 因为5.5=5+0.5，所以10x=5+x. 化简，得9x=5，解得x=. 所以，0.5= 纯循环小数：循环节从小数点后第一位开始 例2 将1.53化成分数 解：设x=0.53，那么100x=53.53. 因为53.53=53+0.53，所以100x=53+x. 化简，得99x=53，解得x= 所以，1.53= 经典例题 例3 将0.1503化成分数 解 设x=0.503，那么1000x=503.503. 因为503.503=503+0.503，所以1000x=503+x. 化简，得999x=503，解得x= 又因为0.1503=0.1+0.0503=+×0.503=， 所以0.1503== 有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数 混循环小数：循环节不从小数点后第一位开始 经典例题 课堂练习 基础题 1．将下列分数化为循环小数，并用简便方法表示． （1）； （2）； （3）． 解：（1）； （2）； （3）． 2． 把下列分数化为循环小数，并写出它们的循环节． ， ， ． 解：，循环节是“2”； ，循环节是“428571”； ，循环节是“6”． 3．将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）（2） （3）（4） 4．求证：． 解：设，则，所以， 所以，所以． 提升题 5．求证：． 解：设，则，， 即，，解得，． 6．计算：． 解：原式 ． 7．【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示． 分数、小数进行比较时也需要进行互化． 我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要． 例如：如何将无限循环小数、化成分数． 解1：因为，所以，又因为，所以，从而得． 解2：因为，，两式相减得： ，又，所以，从而得． 用上述方法将无限循环小数化成小数（需要写出过程）． 解：因为，所以，又因为，所以， 所以． 因为，；由②–①得：， 所以． 8．阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将化为分数： 【解析】解：设， 那么（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数）， 所以，解得． 所以，．这样我们就将无限循环小数化为了分数． （1）试着用上述方法将无限循环小数分别化为分数； （2）将无限循环小数化为分数． 解：（1）设，则，，． （2）由，得． 9．如何将，化成分数？ 解1：因为，所以 又因为，所以，从而得 解2：因为，，所以 又因为，所以，从而得 (1)利用上述方法将和化成分数（需写出过程）； (2)__________； （1）解：因为，所以， 又因为，所以，从而得； 因为，， 所以， 又因为， 所以，从而得； 综上可知，，； （2）解：因为，所以， 又因为，所以，从而得； 同理可得，所以， 故答案为： 课堂小结 小数化分数 分数化小数 有限小数（除尽） 无限循环小数（除不尽） （分子除以分母） 有限小数 无限循环小数 有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第13页练习 第1，2，3题 课本练习 1.判断下列说法是否正确，并说明理由 （1）有限小数一定是有理数； （ ） （2）有理数一定是有限小数； （ ） （3）无限循环小数一定是有理数； （ ） （4）有理数一定是无限循环小数。 （ ） × √ × √ 2.将下列有理数化成小数 （1） （2）3 （3） （4）- （1） 4. 27 0. 27 130 108 220 216 40 27 130 108 22 14848 0 =0.148 2. 15 0. 15 50 45 50 45 50 45 5 1333 0 （2）3 =0.13 （3） 11. 16 0. 96 140 128 120 112 80 80 0 6875 0 =0.6875 17. 20 0. 160 100 100 0 85 0 （4）- =0.85 3.将下列无限循环小数化成分数 （1）4.102 （2）0.316 ①设x=4.102=4.102102102... ②循环节有3位（202），因此乘以1000 1000x=4102.102102102... ③1000x-x=999x=4098 ④解得x= ⑤约分x== ①设x=0.316=0.316316316... ②非循环部分1位（3），循环节2位（16） 先乘以10（移动非循环部分）： 10x=3.161616... 再乘以100（移动循环节） 1000x=316.161616... ③1000x-10x=990x=313 ④解得x= = = 感谢观看 $$