专题04 指对幂函数（十大题型十大易错题）（题型专练+易错精练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题04指对幂函数（十大题型十大易错题） 【题型1 幂函数的图像和性质】 1．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 5．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【题型2 二次函数的解析式】 1．已知为二次函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象经过坐标原点，若其导函数为，则 . 3．已知，且的解集为． （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【题型3 二次函数的零点问题】 1．已知函数，则函数有 个零点． 2．已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是 ． 3．若函数存在零点，且与函数的零点完全相同，则实数的值为 . 【题型4 二次函数的单调性与最值】 1．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【题型5 指数幂的化简与求值】 1．已知 ，则 . 【题型6 指函数的图像及应用】 2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 解决指数函数性质有关的问题】 1．已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 3．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 对数式的化简与求值】 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 4．化简（   ） A．B． C． D． 5．（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 6．已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 7．若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 9．已知，则 . 10．已知实数，且满足，则 ． 11．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【题型9 对数函数的图像及应用】 1．已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 2．已知函数则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 ． 8．已知则 ． 9．已知函数则 . 10．已知函数恒过定点，则 . 11．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 12．已知为奇函数，则实数的值是 ． 【题型10 解决对数函数性质有关的问题】 1．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 4．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 1．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，则函数的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知函数，若存在不相等的实数，满足 ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 6．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 7．多选题已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 8．已知函数，则不等式的解集是 . 9．已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 10．，则 的解集为 ． 11．已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)证明：关于的方程有且仅有一个实根； (3)证明：的充要条件是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04指对幂函数（十大题型十大易错题） 【题型1 幂函数的图像和性质】 1．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 4．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 5．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【答案】3 【分析】根据是幂函数求出，根据在上单调递增确定. 【详解】因为是幂函数，所以， 所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 【题型2 二次函数的解析式】 1．已知为二次函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式. 【详解】设，则， 由可得， 所以，，解得，因此，. 故选：B. 2．二次函数的图象经过坐标原点，若其导函数为，则 . 【答案】 【分析】由题可设二次函数为，再求出a,b的值即得解. 【详解】由题可设二次函数为， 所以2a=3,b=, 所以a=, b=, 所以f(x)=. 故答案为 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．已知，且的解集为． （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由的解集为可知且. 则 . （2） 的解集为R. 当时，满足题意； 当时，由. 综上，. 【题型3 二次函数的零点问题】 1．已知函数，则函数有 个零点． 【答案】7 【分析】设，则等价于，作出函数的图象，由图可得有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数即可. 【详解】令，则，设，则方程化为， 函数的零点个数即为方程解的个数， 二次函数的图象开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 作出函数的图象，如图， 由图知有3个根，当时，，解得； 当时，，解得， 在方程中，当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，无解，共1个解， 所以函数有7个零点. 故答案为：7 2．已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可知函数的周期为4，再数形结合得出结果. 【详解】由得， 所以函数的周期为4， 先作出在区间上图像：    又，， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 3．若函数存在零点，且与函数的零点完全相同，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】不妨先令为函数零点，得到，根据函数与函数的零点完全相同，得到，进而可求出结果. 【详解】因为函数存在零点，不妨令为函数零点，则， 又函数与函数的零点完全相同， 所以，即，所以. 故答案为1 【点睛】本题主要考查根据函数零点相同求参数的问题，熟记复合函数的相关知识即可，属于常考题型. 【题型4 二次函数的单调性与最值】 1．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围. 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 2．已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】函数是增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 3．已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可. 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 4．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 6．已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 【题型5 指数幂的化简与求值】 1．已知 ，则 . 【答案】/0.5 【分析】由指数的运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为： 【题型6 指函数的图像及应用】 2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解. 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 3．若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 4．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【题型7 解决指数函数性质有关的问题】 1．已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【详解】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C 2．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 3．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值. 【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，化简得 ， 解得. 故选：A. 【题型8 对数式的化简与求值】 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 2． ． 【答案】/ 【分析】利用指对数的运算性质和换底公式，即可求解. 【详解】因为 ， 故答案为：. 3．已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解. 【详解】由，可得，， 则， 故选：B 4．化简（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数与根式的互化和三角函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】由题得 . 故选：A 5．（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】令，可得，结合指、对数运算求解. 【详解】令，则， 所以. 故选：A. 6．已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 7．若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用换底公式得，令，即得解出即可. 【详解】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 8．若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 9．已知，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则计算即可求解. 【详解】依题意，，故. 故答案为：. 10．已知实数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】根据与的倒数关系，列式求值. 【详解】设，则，因为，所以. 由 或（舍去）. 所以 . 故答案为：2 11．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解. 【详解】等比数列的各项均为正数，且， . 故选：C 【题型9 对数函数的图像及应用】 1．已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 【答案】A 【分析】由，则，从而可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 2．已知函数则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】作出函数与的图象，如图， 由图象可知，当时，恒成立，则的解集为； 当时，， 图象的交点坐标为、，结合图象知，的解集为. 所以不等式的解集为. 故选：C. 3．若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 4．已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 5．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据解析式，代值计算即可. 【详解】由，则. 故选：D. 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 7．已知，若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题首先可依次令以及，求出，然后绘出、的图像，最后结合图像，即可得出结果. 【详解】令，解得或， 令，解得， 如图，在同一直角坐标系中分别绘出、的图像， 结合图像易知，实数的取值范围为， 故答案为：. 8．已知则 ． 【答案】 【分析】先计算，再算即可. 【详解】. 故答案为： 9．已知函数则 . 【答案】 【分析】代入计算出，相加即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 10．已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 11．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 12．已知为奇函数，则实数的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数是奇函数的定义恒成立，结合对数运算计算求解. 【详解】因为函数是奇函数， ， 即恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 整理得恒成立， ，解得或， 当时，函数定义域为，定义域不关于原点对称，函数不是奇函数， 当时，， 由，可得或， ，满足是奇函数， 所以； 故答案为：4. 【题型10 解决对数函数性质有关的问题】 1．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可求出的值，根据污染物减少，可得出，解出即可得解. 【详解】由可知，当时，； 当时，，解得，那么. 因为污染物减少，所以，所以， 所以． 所以污染物减少大约需要花费． 故选：B． 2．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：， 由题意可得， 所以． 故选：B． 3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出这两个量的值，可得出的表达式，然后解方程，求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 所以，则． 故选：B. 4．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式. 【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则， 令，解得，两边取常用对数得，即 即，因为，， 所以，解得，因为，所以的最小值为9． 故选：A 1．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为 ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 2．已知函数，，则函数的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据函数的对称性结合割补法求封闭图形的面积. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称． 又，函数在R上单调递增， 所以在上单调递减，因此在上单调递减，且其图象关于点对称. 由题知， 由函数的解析式和二次函数的性质可得在上单调递减， 而时，， 当时，同理有， 故图象关于点对称， 函数与的图象如图1所示． 因此在上单调递减， 且， 故图象关于点对称， 又，故点关于点的对称点为， 所以，连接，如图2． 易知的图象与x，y轴围成的封闭图形可以通过割补变成一个直角三角形， 如图中的，其中，，故， 即的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积为4． 故选：A. 3．已知函数，若存在不相等的实数，满足 ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【详解】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 5．夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据条件得出，再利用对数的运算法则解不等式即可. 【详解】由题意可知，， 解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为. 故选：C 6．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 7．多选题已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 【答案】BD 【分析】将问题转化为与的图象交点问题，结合图象，逐一分析各选项中的取值范围，从而得解. 【详解】令，得， 利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示， 由图可知，当有2个零点时，或， 此时无零点或只有1个零点，故A错误； 当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确； 当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确. 故选：BD. 8．已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据解析式判断函数的单调性和奇偶性，再应用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，在R上都单调递减，且都是奇函数， 所以是单调递减的奇函数， 故，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 9．已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数性质判断函数单调性，根据定义域及单调性，列出不等式，求出范围 【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为， 所以在上单调递增，且， 可得，可得，解得， 故答案为：. 10．，则 的解集为 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性解抽象不等式可得. 【详解】由题意可得函数定义域为， 由复合函数的定义域易得函数在定义域上为减函数，且， 所以，即， 所以解集为. 故答案为：. 11．已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)证明：关于的方程有且仅有一个实根； (3)证明：的充要条件是． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，判断的单调性，由，则，等价于，由的单调性即可求解的取值范围； （2）令．利用导数判断的单调性，当时，由在上的单调性及，可得．令，由的单调性及零点存在性定理即可得此时有唯一实根；当时，利用导数判断，从而得证； （3）从充分性和必要性两方面证明即可． 【详解】（1），令． 因为和均单调递增，所以易得单调递增． 因为，所以，等价于，所以． （2）令． 由，可得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． （ⅰ）当时，， 因为，所以． 令，显然单调递增，且，， 所以在上有唯一解，即有唯一实根． （ⅱ）当时，． 令，因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以， 所以，所以无解． 综上所述，有唯一实根． （3）先证必要性：因为，所以，即， 因为单调递增，所以． 再证充分性：因为，所以，即． 综上所述，命题得证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$