专题05 函数图像及函数与方程（七大题型七大易错题）（题型专练+易错精练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题05函数图像及函数与方程（七大题型七大易错题） 【题型1 作函数图像】 1．已知函数． (1)求函数的单调性和极值； (2)作出函数的大致图象．（参考数据：） 【答案】(1)单调递增区间是，，单调递减区间是，．极大值为1，极小值为 (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意先求，由和得函数的单调区间，根据极值的定义即可求解； （2）利用（1）函数的单调性和极值即可作图，注意定义域. 【详解】（1）由题意有：函数定义域为， 所以，令有或 由，得或；由，得且； 所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，，所以函数的极大值为，函数的极小值为． （2）大致图象如图．    2．已知函数． (1)若，作出的图象； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）将化简成分段函数形式，再进行画图； （2）对于，恒成立问题，先求出的最小值，得到最小值后求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，； 作出的图象如图所示． （2）当时，若对任意的，恒成立， 则． 又，（绝对值三角不等式的应用） 当且仅当时等号成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 3．设函数. (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据题意求出的分段函数解析式，作出图像，从而可求解. （2）由（1）中图像可知，即任意对从而可求解. 【详解】（1）由题意得，作出图象，如图所示，    （2）由（1）知，所以对任意恒成立， 即，解得或， 所以的取值范围为. 【题型2 识别与辨图的常见方法】 1．下列图象中，函数的部分图象有可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 2．已知函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性，再结合上的函数值符号、排除法即可得. 【详解】由解析式易知函数定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、D； 当时，，则，排除B. 故选：C 3．已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断. 【详解】对于A，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误； 对于B，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误； 对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确. 故选：C. 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【详解】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 5．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 【题型3 以函数图像为背景的问题】 1．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 2．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 3．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断的正负及通过的单调性判断的正负，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，当和时，； 当时，； 又由图可知当时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，则， 所以的解集为． 故选：C. 4．已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 5．已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求参数关系，结合充分、必要性的定义即可得. 【详解】若为奇函数，则， 所以，即恒成立， 所以. 综上，“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C 6．已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义得到，代入计算即可． 【详解】因为函数为偶函数，所以，当时，， 则. 故选：D. 7．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可判断为偶函数，进而判断的单调性，可得时，，结合时，，结合条件可得解. 【详解】设，， 因为，所以为偶函数， 当时，单调递增，且单调递增，所以是单调递增， 故当时，是单调递减， 所以当时，的最小值为，所以当时，， 当时，，因此，因为存在最小值，所以． 故选：A. 8．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可推出函数的周期，结合赋值法可确定，判断B，其余选项结合赋值，无法确定，即可判断正确. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则， 所以，即得， 即，故函数是以4为周期的周期函数， 对于，令，则， 对于，令，则，B正确； 由题意可知，无法推出，A错误， 又，，而是否为0不确定，故CD错误， 故选：B 9．已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】结合奇函数的性质可得在上的解析式，再作出的图象，数形结合计算即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数且， 所以当时，，则； 当时，，则， 所以； 函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示， 由图可知不等式在上的解集为． 故选：A． 10．多选题已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．不等式的解集为 D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 【答案】CD 【分析】根据分段函数解析作出图象，结合图象逐项分析判断. 【详解】的大致图象如图所示： 由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 在定义域内不单调，故B错误； 若，则或，即不等式的解集为，故C正确； 令，则， 原题意等价于与有2个交点，则， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：CD. 11．多选题设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 【答案】AD 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 12．多选题已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，使得 B．函数的图象是一个中心对称图形 C．曲线有且只有一条斜率为的切线 D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为 【答案】ABD 【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D. 【详解】因为， 当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确； ，所以函数的一个中心对称为，B选项正确； ，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误； 令，，所以， 有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确； 故选：ABD. 【题型4 函数零点所在区间的判断】 1．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 2．函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 3．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为定义域为， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 又因为，， 即，所以在上存在唯一零点. 故选：B 【题型5 函数零点个数的判断】 1．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C 2．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点. 【详解】解：由和 都在上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点． 因为,,所以函数有且只有一个零点. 故选：B. 3．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 4．函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】用辅助角公式化为，且，再令求解即得. 【详解】. ，. 令得，∴或或. 所以或或 故选：C. 5．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义令，解出即可求解. 【详解】由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有2个零点. 故选：C. 6．函数，则在内零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据余弦和差公式化简，然后利用三角函数解方程即可. 【详解】 ， 即或，又， 所以或， 故在内零点个数为6. 故选：B. 7．函数的零点个数为 ． 【答案】3 【分析】设，，分别画出两图像，交点即为原函数零点 【详解】令 ，得， 设，，所以 ， 通过五点作图法（五点为）作出函数的大致图象， 再通过两点法（两点为）作出单调函数的大致图象， 如图所示．因为， 所以通过图象可判断它们有3个交点． 故答案为：3 8.函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】当时，利用导数研究其单调性得，即函数只有一个零点1，当时，利用导数法得函数在上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可得解. 【详解】， 当时，，则， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 又，所以函数只有一个零点1， 当时，，则， 故函数在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2 9．已知函数，，则函数的零点个数为 . 【答案】3 【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数. 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 【题型6 函数零点的应用】 1．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围. 方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解. 【详解】解法一： 当函数只有一个零点且在区间内时， ； 当函数有两个零点时，，解得或， 当时，显然在上恒成立，此时无内的零点， 当时，又在内只有一个零点，则或或， 即或或， 解得或或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C. 解法二： 由，得，又，所以， 所以， 令，，，要使在区间内只有一个零点， 只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示， 由图可知或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C. 2．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：将问题转化为函数与的图象有2个交点，进而结合图象求解即可； 解法二：设，将问题转化为直线与函数的图象有2个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】解法一：由，即， 函数存在2个零点等价于函数与的图象有2个交点，作出图象如图1， 当直线同时过点和时，， 此时直线与的图象有2个交点， 结合图象可知，解得． 解法二：由，即，设， 则， 因为函数都为增函数， 所以在上都单调递增， 画出函数和的大致图像，如图2所示， 可知当直线过点时，，此时直线与函数的图象有2个交点， 结合图像可知，解得． 故选：C. 3．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的零点是与图象交点的横坐标，函数的零点是与图象交点的横坐标，数形结合可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围. 【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标， 函数的零点是与图象交点的横坐标， 由于与互为反函数，其图象关于直线对称， 直线与直线垂直， 故直线与直线的交点即是的中点， ，， 当且仅当时等号成立，故， 故所求的取值范围是． 故选：B． 4．多选题已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】化简，作出图象，由图像即可得到的取值范围，得出答案. 【详解】，图象如图 则在上共有3个零点， 即在上有3个根，，，. 又因为函数在上存在两个零点，故. 故选：BCD. 【题型7 构建函数模型的实际应用】 1．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（    ） A．442 B．452 C．462 D．472 【答案】C 【分析】将代入，求出，再将代入求解即可. 【详解】由题意得， ， ， 该学生在高考中可能取得的总分约为. 故选：C. 2．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 【答案】D 【分析】根据已知函数模型结合指对数转化计算求解判断即可. 【详解】由题意，，所以，所以，， ， 所以，为冬季， 故选：D． 3．已知某微生物的种群数量与培养时间（单位：h）之间满足函数关系：，一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（，）（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由题意列出指数不等式，根据指数函数单调性以及指对互换、对数运算即可求解. 【详解】设至少经过小时，种群数量达到该环境的最大容纳量，即， 即，两边取对数可得， 所以， 所以至多经过13小时，该实验需要实验人员的干预． 故选：C. 4．日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点．冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态．经验表明，绿茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从开始，经过后的温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：① ；②；③． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到．（参考数据：） 【答案】(1)选择②， (2) 【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式. （2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】（1）选择②作为函数模型． 将题表中前三组的数据代入，得，解得， 所以函数模型的解析式为． （2）由（1）中函数模型，得，即， 所以． 所以刚泡好的绿茶大约放置能达到最佳饮用口感． 5．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，且最大值为115万元 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 6．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升. (2)6小时 【分析】（1）分别求出两段函数的最值，再进行比较即可求出的最大值； （2）解不等式即可. 【详解】（1）当时，，故当时，即时，； 当时，在上单调递减， 故. 综上，， 所以，喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是53毫克/百毫升. （2）当时可以驾车，且， 因，故， 令，得，即，得 因，则的最小值为6， 故喝1瓶啤酒后6小时才可以驾车. 7．某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 【答案】(1)，定义域为； (2)第9年 【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得，然后利用对数运算求解即可. 【详解】（1）第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）， 则，其定义域为； （2）由（1）得，即， 所以，即， 所以，又， 故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元. 8．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 9．某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）（）. (1)若该商场将当年的广告费控制在五百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？ (2)现在该商场准备投入五百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大. 【答案】(1)百万元 (2)三百万元用于技术改造，两百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为8百万元. 【分析】（1）根据已知列出收益函数，再应用二次函数的性质计算最值即可； （2）先计算两项增加的收益函数，再对函数求导，再根据导函数的正负得出单调性进而得出最大值即可. 【详解】（1）设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元）， 则. 所以当时，， 即当商场投入百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大. （2）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元）， 两项增加的收益为. 对求导，得，令，得或（舍去）. 当时，，即在上单调递增；当时，， 即在上单调递减，当时，. 故在五百万资金中，三百万元用于技术改造，两百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为8百万元. 1．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项． 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 3．已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到为奇函数且单调递减，问题等价于方程在R上有三个不同的实数根，令，求导得到其单调性和极值情况，从而得到的取值范围为. 【详解】的定义域为R，且， 所以是奇函数， 有三个零点等价于 方程有三个不相等的实数根， 又是奇函数，可得， ，可知单调递减，所以有，即， 所以问题等价于方程在R上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线有三个不同的交点， 由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的极大值为，极小值为， ∴的取值范围为. 故选：A 4．定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题设条件可得，从而可先分析在上的零点个数为1，再结合前者可得内的零点个数. 【详解】因为，故，故， 即， 而当时，， 故当时，，故， 故， 当时，， 而在上为减函数，在为增函数， 故在有有且只有一个实数解为； 当时，， 而，故，此时在上无解； 故当时，，则， 结合上的性质可得在上有且只有一个实数解， 且该实数解为，在无实数解， 而且， 故在上的实数解为，，， ，共4个实数解， 故共有4个不同的零点. 故选：B. 5．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 【答案】4 【分析】由题可知的周期为，方程的解即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，， 可得函数的图象如下：    方程的解，即为的交点横坐标， 当时，，此时与无交点， 当时，，此时与无交点， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 6．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】由函数奇偶性求得，再结合一元二次方程求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 7．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，令，分析函数的性质并求出最大值，再列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为R，令，函数， 而对勾函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， ， 因为，则 ，有，即， 因此函数在上单调递减，同理可证在上单调递增， 于是，函数在上单调递增，在上单调递减，函数值集合均为， 依题意，函数在上有两个零点，则有，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 8．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围. 【详解】当时，，求导得， 所以在上单调递增，最大值为. 当时，. 当时，；当时，， 画出的图象如下： 因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题. 由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意. 故答案为：. 9．若函数的零点，则整数的取值为 ． 【答案】或2 【分析】先将零点问题化为交点问题，再结合图象确定其中一个零点范围，再利用零点存在性定理确定另一个零点范围，最后求解参数即可. 【详解】由题意得的定义域为， 令，则， 可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标， 如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．    而函数的零点，解得， 而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 因为该零点满足，且为整数，所以， 综上，或2. 故答案为：或2 10．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将函数写成分段函数，再分类讨论得到不等式组，解得即可； （2）作出直线和函数的图象，设直线和函数的另一个交点为， 求出点坐标，代入方程求出的值. 【详解】（1）因为， 所以，即或或， 解得或或， 综上可得不等式的解集为. （2）直线恒过点， 如图作出直线和函数的图象如下， 记与轴的交点为，，，则， 设直线和函数的另一个交点为， 则，所以，解得， 则，所以，代入，即，解得. 11．某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大为520万元 【分析】（1）根据已知条件列式得出函数； （2）先求出导函数，再根据导函数正负判断函数单调性即可得出最大值. 【详解】（1）由题意知， ， . （2）， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则当时，利润最大，最大为520万元. 12．一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明，在一节课内，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分．根据研究得知：当注意力指数大于80时听课效果最佳． (1)求的函数解析式； (2)在一节课的什么时间段内学生听课效果最佳？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析. 【分析】（1）利用点的坐标代入解析式，待定系数法求出分段函数. （2）根据题意分别计算出当时和当时的函数值，得出结论. 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数的表达式为．代入点， 得， 则可得． 又当时，曲线是函数且图象的一部分， 且曲线过点，则，即，解得， 则， 则． （2）由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳， 当时，令，解得：； 当时，令，解得：． 综上可得，． 故在一节课的时间段内学生听课效果最佳． 13．中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用的水泡茶，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感，茶水温度适放置时间分钟的活数关系式为，由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为 (1)求常数k的值； (2)在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？参考数据：， 【答案】(1) (2)分钟． 【分析】根据已知求出解析式即可． 结合指数和对数的关系以及对数的运算和第一问所求判断求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 根据题意可知：当，， 代入到， 可得， 解得 （2）结合知，， 结合题意，此时， 即， 即， 因为根据已知，， 所以分钟． 14．在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，建立不等式关系，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，分别求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，所以当时，，不符题意； 当时，由，整理得到，即，解得，即， 所以交通流量，道路密度的取值范围为. （2）由题意得时，，得到， 当时，， 当时，， 由于，所以当时，取得最大值， 又，所以车辆密度的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05函数图像及函数与方程（七大题型七大易错题） 【题型1 作函数图像】 1．已知函数． (1)求函数的单调性和极值； (2)作出函数的大致图象．（参考数据：） 2．已知函数． (1)若，作出的图象； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 3．设函数. (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【题型2 识别与辨图的常见方法】 1．下列图象中，函数的部分图象有可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．已知函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型3 以函数图像为背景的问题】 1．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 6．已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（   ） A．B．C． D． 10．多选题已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．不等式的解集为 D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 11．多选题设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 12．多选题已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，使得 B．函数的图象是一个中心对称图形 C．曲线有且只有一条斜率为的切线 D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为 【题型4 函数零点所在区间的判断】 1．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数零点个数的判断】 1．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．函数，则在内零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．函数的零点个数为 ． 8.函数的零点个数为 ． 9．已知函数，，则函数的零点个数为 . 【题型6 函数零点的应用】 1．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．多选题已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【题型7 构建函数模型的实际应用】 1．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（    ） A．442 B．452 C．462 D．472 2．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 3．已知某微生物的种群数量与培养时间（单位：h）之间满足函数关系：，一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（，）（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点．冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态．经验表明，绿茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从开始，经过后的温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：① ；②；③． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到．（参考数据：） 5．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 6．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 7．某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 8．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 9．某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）（）. (1)若该商场将当年的广告费控制在五百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？ (2)现在该商场准备投入五百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大. 1．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 6．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 7．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为 . 8．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 9．若函数的零点，则整数的取值为 ． 10．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值． 11．某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 12．一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明，在一节课内，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分．根据研究得知：当注意力指数大于80时听课效果最佳． (1)求的函数解析式； (2)在一节课的什么时间段内学生听课效果最佳？请说明理由． 13．中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用的水泡茶，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感，茶水温度适放置时间分钟的活数关系式为，由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为 (1)求常数k的值； (2)在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？参考数据：， 14．在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$