专题26.1 二次函数的概念（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题26.1 二次函数的概念 教学目标 1. 了解二次函数的概念； 2. 知道二次函数的一般形式； 3. 学习待定系数法求二次函数解析式。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的概念，一般形式； （2）根据二次函数的概念求参数； （3）求二次函数的解析式； 2.难点 （1）二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的三种表示方法； （2）表格数据题、新定义题等； 知识点1 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① y=ax2（a≠0）；②y=ax2+k（a≠0）；③y=a（x-h）2（a≠0）；④y=a（x-h）2+k（a≠0），其中；⑤（a≠0）. 要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【即学即练】 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意； B．当时，不是二次函数，不符合题意； C．不是整式，不符合题意； D．满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 2．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为：，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 4．二次函数的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 5．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 6．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 题型01 判断二次函数 【典例1】．下列函数中，与之间的关系是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是正确解题的关键．根据形如的函数是二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是二次函数，本选项不符合题意；     B、，是二次函数，本选项符合题意； C、，不是二次函数，本选项不符合题意；         D、，不是二次函数，本选项不符合题意；     故选：B． 【变式1】．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、是二次函数，故选项B符合题意； C、不是整式，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2】．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 题型02 识别二次函数关系 【典例1】．正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式判断函数类型即可． 本题考查了正方形的面积，函数的判定，熟练掌握函数的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得正方形的面积公式为，其中是面积，是边长，是二次函数， 故A，B，C都错误，D正确， 故选：D． 【变式1】．下列函数关系中，是二次函数的是（    ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． A．根据题意得到工作效率和工作时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． B．根据题意得到汽车行驶的距离与时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． C．根据题意得到长方形的长与宽之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． D．根据题意得到圆的面积与半径之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． 【详解】解：A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． D．圆的面积与半径之间的关系为，它是二次函数，故此符合题意． 故选：D． 【变式2】．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（   ） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意； ②依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意； ③依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意； ④依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意； 综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有2个． 故选：B． 题型03 二次函数的一般形式 【典例1】．二次函数的一般式为 ． 【答案】 【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式是解题关键． 【变式1】．把二次函数化为一般形式为： ． 【答案】 【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式． 【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12， 故答案为y=−8x2+20x+12. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式. 题型04 二次函数的有关概念 【典例1】．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【变式1】．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3 (5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数 【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数； （2）根据二次函数的定义即可判断； （3）根据二次函数的定义即可判断； （4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断； （6）根据二次函数的定义即可判断． 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是； （5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【变式2】．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【答案】1 【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键． 【变式3】．在二次函数中，二次项系数a= ，一次项系数b= ，常数项c= . 【答案】 3 -2 1 【分析】二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)其特征是等式右边是含一个自变量的二次三项式,左边是因变量y.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项.将题中 已知的二次函数利用各种运算法则,先化成y=ax2+bx+c的形式,从而确 定二次项系数,一次项系数和常数项 【详解】将变形得到，故可得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=1. 【点睛】本题考查二次函数定义，解题的关键是掌握的二次函数定义，将等式进行变形.. 题型05 列二次函数关系式（解析式） 【典例1】．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式1】．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 【变式2】．在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 【变式3】．已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为 ． 【答案】y=x2﹣ x 【分析】根据已知得出三角形的高,进而利用三角形面积公式求出即可. 【详解】由题意得 . 故答案为. 【点睛】此题主要考查了根据几何问题列二次函数关系式，熟记三角形面积公式是解题关键. 【变式4】．某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式 . 【答案】或或等. 【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可． 【详解】符合题意的函数解析式可以是或或等，(本题答案不唯一) 故答案为如或或等. 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 【变式5】．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 题型06 根据二次函数的概念求参数 【典例1】．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，进行求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得：． 故选：C． 【变式1】．函数是二次函数，则m的值为 . 【答案】-1 【分析】根据二次函数的定义得到，再进行计算即可得到答案. 【详解】根据二次函数的定义得到，则有，移项可得，因式分解得到，解得（舍去），，故答案为. 【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，由题意得到. 【变式2】．若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 【变式3】．已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. （1）当m为何值时，此函数是一次函数？     （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 【答案】（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解. 【详解】（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数， ∴m2+2m=0，m≠0，        解得：m=﹣2；            （2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数， ∴m2+2m≠0，            解得：m≠﹣2且m≠0． 【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点. 【变式4】．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把二次函数化成一般形式，再根据二次项系数与一次项系数的和为，差为列出方程组解出的值，即可求出常数项 【详解】二次函数可整理为： 由题意 解得： 所以常数项 故答案选A 题型07 求二次函数的函数值或自变量的值 【典例1】．当x= 时，二次函数的值为零． 【答案】或2 【分析】令y=0，求方程的解． 【详解】解：令y=0，，，，． 故答案是：或． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是令因变量为零，去解方程，方程不能解错． 【变式1】．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y= ． 【答案】8 【分析】先根据x=-1时y=2求出a的值，得到原函数，再令x=2，求出y． 【详解】解：当x=-1 ，y=2时，，，∴， 当x=2时，． 故答案是：8． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握自变量和因变量之间的函数关系． 【变式2】．已知那么= ． 【答案】4 【分析】根据题意，令x=2，代入二次函数求值． 【详解】解：． 故答案是：4． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将自变量的值代入求解． 题型08 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】．若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当y是x的一次函数时，设函数解析式为， 得，， 解得， ∴该函数解析式为， 当y是x的反比例函数时，设函数解析式为， 得，， ∴该函数解析式为， 当y是x的二次函数，且顶点为时，设二次函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该函数解析式为， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式1】．若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 【变式2】．已知二次函数的图象经过两点，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】将（1,0）、（0,5）两点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：把（1,0）、（0,5）代入 得， 解得， 所以二次函数的解析式为 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【变式3】．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式； （1）设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式； （2）设函数解析式为，把三点坐标分别代入，解方程组即可得到函数表达式． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为， 把点代入中，得：， 得：， 即， 化为一般式为：； （2）设函数解析式为， 把、和代入中，得：， 解得：， 即． 题型09 表格数据题 【典例1】．已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示： 的值 的值 (1)求关于的二次函数表达式． (2)求出表中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格中的已知三个点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）把代入（1）中解析式求出值即可． 本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式的方法，关键是掌握待定系数法求函数解析式． 【详解】（1）解：设关于的二次函数解析式为， 由表格得点，，在抛物线上， 将三点代入抛物线得， 解得， 关于的二次函数表达式为； （2）当时，， ． 【变式1】．已知在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 … 则满足方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型． 先确定抛物线对称轴，再观察表格确定函数值为0时的自变量的值即可解决问题． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 抛物线解析式为：； ， 因式分解得：， 解得：． 故答案为：． 【变式2】．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … ﹣1 2 3 … y … 0 0 4 … 则可求得（4a﹣2b+c）的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】将表中的三组x，y值代入表达式即可求得a，b，c的值，进而求解； 【详解】解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c， 得到， ∴， ∴（4a﹣2b+c）＝4； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，代数式求值；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 一、单选题 1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 故选B． 2．二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，直接利用中为常数项即可得到答案． 【详解】解：二次函数的常数项是； 故选：C 3．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 故选：B． 4．若（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：A． 5．对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 6．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案 【详解】由题意， ∴a有四种选法：1、2、3、4， ∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4， ∴共有=100种， 故选：B 【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键． 二、填空题 7．二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 / 3 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 8．二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，，5． 9．已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，注意到是关键． 10．已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别当，时，求出()，()的值比较即可． 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， ()()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 11．若二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．根据二次函数的定义得出，，求解即可． 【详解】解∶∵函数是二次函数， ∴，， 解得， 故答案为∶2． 12．一正方形的边长为，把此正方形的边长增加的正方形面积为，则是的二次函数，其函数式为________，其中________是二次项系数，一次项系数为________，常数项为________． 【答案】s=x2+4x+4，1，4，4. 【分析】根据新正方形的面积=新边长2，以及二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可求解． 【详解】由题意函数方程式为：S=x2+4x+4， 则x2是二次项，x是一次项，4是常数项. 则1是二次项系数，一次项系数为4，常数项为4. 故填空分别为：s=x2+4x+4，1，4，4. 【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式. 13．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 14．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，根据新定义得到关于m、n的方程组，解方程组得到m、n的值，代入代数式求值． 【详解】解：∵函数与互为旋转函数， ， 解得， ∴， 故答案为： 三、解答题 15．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 16．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； ③当时， 解得：，； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 17．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 【答案】（1）；（2），， 【分析】（1）根据圆的面积公式可得，再整理即可． （2）分别把，，2代入可得的值． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是掌握圆的面积公式． 18．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 【答案】（1）平方米；（2）元 【分析】（1）根据图形列出阴影面积计算公式，并利用平方差公式求解； （2）根据（1）的结论，计算得到阴影面积从而完成求解． 【详解】（1）右下角图形另一边长为： ∴图中的阴影部分面积为： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）由（1）可知，当时 ∴ ∴购买草皮需元． 【点睛】本题考查了二次函数和平方差公式，求解的关键是熟练掌握并运用二次函数和平方差公式求解实际问题． 19．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.1 二次函数的概念 教学目标 1. 了解二次函数的概念； 2. 知道二次函数的一般形式； 3. 学习待定系数法求二次函数解析式。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的概念，一般形式； （2）根据二次函数的概念求参数； （3）求二次函数的解析式； 2.难点 （1）二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的三种表示方法； （2）表格数据题、新定义题等； 知识点1 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① y=ax2（a≠0）；②y=ax2+k（a≠0）；③y=a（x-h）2（a≠0）；④y=a（x-h）2+k（a≠0），其中；⑤（a≠0）. 要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【即学即练】 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 3．二次函数的一次项系数是 ． 4．二次函数的常数项为 ． 5．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 6．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 题型01 判断二次函数 【典例1】．下列函数中，与之间的关系是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型02 识别二次函数关系 【典例1】．正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【变式1】．下列函数关系中，是二次函数的是（    ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 【变式2】．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（   ） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 二次函数的一般形式 【典例1】．二次函数的一般式为 ． 【变式1】．把二次函数化为一般形式为： ． 题型04 二次函数的有关概念 【典例1】．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【变式1】．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【变式2】．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【变式3】．在二次函数中，二次项系数a= ，一次项系数b= ，常数项c= . 题型05 列二次函数关系式（解析式） 【典例1】．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为 ． 【变式4】．某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式 . 【变式5】．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 题型06 根据二次函数的概念求参数 【典例1】．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．函数是二次函数，则m的值为 . 【变式2】．若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【变式3】．已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. （1）当m为何值时，此函数是一次函数？     （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 【变式4】．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（   ） A． B． C． D． 题型07 求二次函数的函数值或自变量的值 【典例1】．当x= 时，二次函数的值为零． 【变式1】．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y= ． 【变式2】．已知那么= ． 题型08 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】．若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ． 【变式1】．若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 【变式2】．已知二次函数的图象经过两点，求此二次函数的解析式． 【变式3】．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 题型09 表格数据题 【典例1】．已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示： 的值 的值 (1)求关于的二次函数表达式． (2)求出表中的值． 【变式1】．已知在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 … 则满足方程的解是 ． 【变式2】．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … ﹣1 2 3 … y … 0 0 4 … 则可求得（4a﹣2b+c）的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 一、单选题 1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 3．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 6．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 二、填空题 7．二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 8．二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 9．已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ． 10．已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 11．若二次函数，则 ． 12．一正方形的边长为，把此正方形的边长增加的正方形面积为，则是的二次函数，其函数式为________，其中________是二次项系数，一次项系数为________，常数项为________． 13．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 14．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 三、解答题 15．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 16．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 17．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 18．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 19．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$