专题25.4 解直角三角形的应用（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题25.4 解直角三角形的应用 教学目标 1. 弄清题中名词的数学意义，如坡度、仰角等； 2. 会运用有关解直角三角形的知识解决实际问题； 3. 掌握在实际问题中构建几何模型。 教学重难点 1.重点 （1）会解常见的解直角三角形的应用题，如坡度、坡比问题等； （2）在实际问题中构建几何模型； （3）学会在构建的几何模型作一些常用辅助线的方法。 2.难点 （1）一些复杂的实际问题，如自行车车架、新型科技产品模型示意图等； （2）转化思想。 知识点1 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 应用举例：　 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成i=h∶l的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【方法规律】 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图； 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解； 　　　　　　 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【即学即练】 1．如果坡角为的斜坡的坡度，那么的值为 ． 2．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 3．为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部a米的地方，用测角仪测得塔顶的仰角为α，已知测角仪的高度为h米，那么铁塔的高度为 米． 4．如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 6．某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为 米．（保留根号） 题型01 坡度、坡比问题 【典例1】．已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【变式1】．某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 【变式2】．沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 【变式3】．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是 ． 【变式4】．某人沿一斜坡行走，发现每走3米，则在铅锤方向上上升了1米，那么这个斜坡的坡度为 ． 题型02 坡度、坡比问题—梯形 【典例1】．如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面的坡度为，则的长度为 m． 【变式1】．如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 【变式2】．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为 米． 【变式3】．如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 题型03 俯角、仰角问题 【典例1】．在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为 米． 【变式1】．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（用的式子表示） 【变式2】．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 【变式3】．两建筑物的水平距离为米，从A点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4】．某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），则电池板离地面的高度的长为 米．（结果精确到1米，参考数据：，，） 题型04 俯角、仰角与坡度、坡比问题综合 【典例1】．如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 【变式1】．马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 题型05 方位角问题 【典例1】．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【变式1】．如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【变式2】．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 ．（参考数据：，结果保留一位小数） 【变式3】．如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏东方向，C地在A地的北偏东方向，A地到B地的距离是，那么A，C两地的距离约为 ．(结果保留到．参考数据：) 【变式4】．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 题型06 台阶问题 【典例1】．如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为(    )． A．4 m B．6 m C．m D． 题型07 其他问题 【典例1】．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） AI A． B． C． D． 【变式2】．如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 ．（结果精确到，已知，，） 【变式3】．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点F距地面的高度约为(   ) ．（参考：，，） A．143 B．77 C．62 D．158 题型08 解答题 【典例1】．如图，有一斜坡长，坡顶离地面的高度为，求的长度及此斜坡的倾斜角的度数． 【变式1】．已知：如图，楼顶有一根天线，为了测量楼的高度，在地面上取成一条直线的三点E、D、C，在点C处测得天线顶端A的仰角为60°，从点C走到点D，CD＝6米，从点D处测得天线下端B的仰角为45°．又知A、B、E在一条线上，AB＝25米，求楼高BE．    【变式2】．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【变式3】．图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【变式4】．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图所示，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离3米的点处，测得古树顶端的仰角（古树，山坡的坡面和点在同一平面上，古树与直线垂直）， (1)古树的高度约为多少米？ (2)为了保护古树，考古队员准备在树顶下方0.5米的处拉一根保护绳，其中离距离为6.5米．求绳至少多少米？（结果精确到0.1米，绳子打结处的长度忽略不计） （参考数据：， 【变式5】．在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 一、单选题 1．如果斜坡的坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（    ）． A． B． C． D． 2．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 3．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 6．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 7．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（   ）． 一 A． B． C． D． 9．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 10．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 11．已知斜坡坡度为，如果斜坡长为米，那么斜坡的高为 米． 12．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，如果，，那么立柱的长度是 米． 13．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    14．某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走6米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是 米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：） 15．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为，看这栋高楼底部C的俯角为，热气球A与高楼的水平距离为120米，这栋高楼的高度为 米（，结果精确到1米）． 16．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则观测站O距港口A的距离为 ． 17．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为．则大树的高度约为 米．（结果保留整数，参考数据：）． 18．如图是一种笔记本电脑支架，它有到共个档位调节角度．相邻两个档位间的距离为．将某型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽与托架侧宽都是，是支点且．当支架调到档时，；调到档时，托架绕点旋转至，支点旋转至点时，，．若眼睛的水平视线恰好经过点．测点的俯角为，则眼睛与屏幕的距离为 ． 三、解答题 19．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，且CE平行于地面，车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ＝60°，此时车厢的最高点A距离地面约为多少米？（四舍五入精确到1米）（参考数据：≈1.73） 20．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7） 21．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 22．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．     （1）试说明点B是否在暗礁区域外？ （2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 23．如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 24．定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 25．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25.4 解直角三角形的应用 教学目标 1. 弄清题中名词的数学意义，如坡度、仰角等； 2. 会运用有关解直角三角形的知识解决实际问题； 3. 掌握在实际问题中构建几何模型。 教学重难点 1.重点 （1）会解常见的解直角三角形的应用题，如坡度、坡比问题等； （2）在实际问题中构建几何模型； （3）学会在构建的几何模型作一些常用辅助线的方法。 2.难点 （1）一些复杂的实际问题，如自行车车架、新型科技产品模型示意图等； （2）转化思想。 知识点1 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 应用举例：　 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成i=h∶l的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【方法规律】 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图； 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解； 　　　　　　 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【即学即练】 1．如果坡角为的斜坡的坡度，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．根据坡角的正切等于坡度即可得到答案． 【详解】解：坡角为的斜坡的坡度， ， 故答案为：． 2．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 3．为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部a米的地方，用测角仪测得塔顶的仰角为α，已知测角仪的高度为h米，那么铁塔的高度为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角和仰角的问题，理解俯角、仰角的定义和三角函数的知识解决实际问题成为解题的关键． 如图，设线段是铁塔，那么根据已知条件知道，在中利用三角函数可以求出，然后加上测角仪的高度即可求出铁塔的高度． 【详解】解：如图：依题意得：， 在中，， ∵, ∴铁塔的高度为． 故答案为：． 4．如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据题意，在中得到，在中表示出，利用，求得结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得 ，即， 故选：A． 5．如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．在中，的对边是，邻边是，则，表示出，在中，表示出，结合即可求解． 【详解】解：设米． 在中，， ， 在中，， ， ， ， ∴， 答：塔的高度约为米． 故答案为：． 6．某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为 米．（保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点作，在中，米，，可得米，在中，，可得（米），再求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得四边形是矩形，米，，， 米，， 在中，米，， 米， 在中，， （米）， （米． 乙楼高为米． 故答案为： 题型01 坡度、坡比问题 【典例1】．已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【答案】30 【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键． 根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解． 【详解】解：设坡角为， ∴， ∴, 故答案为： ． 【变式1】．某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，设运动员身体下降的高度为米，根据坡比得到运动员水平方向移动了米，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动员身体下降的高度为米， ∵坡比为， ∴运动员水平方向移动了米， 由勾股定理，得：，解得：（负值已舍去）； 故答案为：． 【变式2】．沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 【答案】 【分析】本题考查了坡比的计算，掌握坡比的计算方法是关键． 根据坡比等于垂直高度于水平宽度的比计算即可． 【详解】解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米， ∴水平宽度（米）， ∴， 故答案为： ． 【变式3】．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是 ． 【答案】/米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和勾股定理，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】迎水坡的坡比是，坝高， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式4】．某人沿一斜坡行走，发现每走3米，则在铅锤方向上上升了1米，那么这个斜坡的坡度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用以及坡度的定义，理解并掌握坡度的定义和计算方法是解题关键．先求出这个人走的水平距离，再根据坡度的定义即可求解．坡度通常写成的形式． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴这个斜坡的坡度为； 故答案为： 题型02 坡度、坡比问题—梯形 【典例1】．如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面的坡度为，则的长度为 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查坡比，熟练掌握坡比的概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由坡面的坡度为，可知：， ∵， ∴， ∴； 故答案为10． 【变式1】．如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形，可得米，米，再分别解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵背水坡的坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：D．    【变式2】．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为 米． 【答案】39． 【分析】直接利用坡度的定义得出EC的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】过点D作DE⊥BC于点E， ∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4， ∴DE＝15m， 则， 故EC＝2.4×15＝36（m）， 则在Rt△DEC中， DC＝＝39（m）． 故答案为39． 【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键． 【变式3】．如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 作，作，根据题意可知，进而得出 ，，然后根据勾股定理求出，即可得出，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】如图所示，过点B作，过点C作，交于点E，F， 根据题意可知，， ∴，． 在中，， 根据勾股定理，得， 解得． ∴， 则． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 题型03 俯角、仰角问题 【典例1】．在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．利用解直角三角形的知识知一边和角求另一边即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴米． 故答案为： 【变式1】．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（用的式子表示） 【答案】 【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可． 【详解】如图所示，飞机在点处，为水平线，则 ，解得 故答案为： 【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，然后利用正弦值求解． 【变式2】．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【详解】解：首先过点A作于点D，如下图所示， 则，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米． 故答案为： 【变式3】．两建筑物的水平距离为米，从A点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角、俯角问题．作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出与的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 【变式4】．某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），则电池板离地面的高度的长为 米．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】 【分析】延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，，根据， 得出（米），（米）利用锐角三角函数得出，即求解即可． 【详解】解：延长交于点F，如图， 设米， ∵，，，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴米，，， ∵， ， ∴（米），（米）， 在中，，即， 解得（米），     ∴， 即电池板离地面的高度约为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质，掌握解直角三角形的应用方法，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质是解题关键． 题型04 俯角、仰角与坡度、坡比问题综合 【典例1】．如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用.先解直角三角形，求出的长，证明三角形为等腰直角三角形，得到，据此求解即可. 【详解】解：由题意，得：，，， ∴在中，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：. 【变式1】．马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出，延长，交于点，根据30度角的直角三角形即可求出结果． 【详解】解：同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，米， 树的高度是6米； 延长，交于点，            ， ， ， 米， 米， 米， 线段的长度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长． 题型05 方位角问题 【典例1】．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 【变式1】．如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 由题意得：米，， 在中，米， 在中，米， ∴，即公路的长为米． 故答案为：米． 【变式2】．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 ．（参考数据：，结果保留一位小数） 【答案】98.0 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于C，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义列式计算求解即可． 【详解】解：作于C，则，， 在中，， 则， 在中，， 则， 故答案为：． 【变式1】0．如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏东方向，C地在A地的北偏东方向，A地到B地的距离是，那么A，C两地的距离约为 ．(结果保留到．参考数据：) 【答案】5.5 【分析】本题解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据正弦的定义求出，余弦定义求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：， ， 在中，，， ， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则， ∴， 答：A，C两地的距离约为． 故答案为：5.5． 【变式3】．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是构造直角三角形．过点作于点，在中根据三角函数求出、的值，再在中求出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，， ，， 在中，， ， ． 码头，之间的距离是． 故答案为：． 题型06 台阶问题 【典例1】．如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 过点作于，根据矩形的性质求出，根据题意求出，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 【变式1】．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为(    )． A．4 m B．6 m C．m D． 【答案】D 【分析】由题可知地毯的长度=构成直角三角形的两直角边的和，据此即可解答． 【详解】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)， 则地毯的总长至少为m 故选D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是明白地毯的长度=构成直角三角形的两直角边的和． 题型07 其他问题 【典例1】．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键． 过点作于，根据轴对称图形得性质即可得，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵它是一个轴对称图形， ∴， ，即， 房顶A离地面的高度为， 故选B． 【变式1】．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） AI A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正切的计算，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一可得，，在中，根据，，代入计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中， ，， ． 故选：． 【变式2】．如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 ．（结果精确到，已知，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点A作交的延长线于点J，过点D作于点H，过点C作于点N，过点K作于P．解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点J，过点D作于点H，过点C作于点N，过点K作于P． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的竖直距离为， ∴， ∴坐垫到地面的距离． 故答案为：． 【变式3】．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点F距地面的高度约为(   ) ．（参考：，，） A．143 B．77 C．62 D．158 【答案】A 【分析】通过作垂线或平行线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作于点， 在中，，， ， 在中，，， ， 机器人的最高点距地面的高度为， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 题型08 解答题 【典例1】．如图，有一斜坡长，坡顶离地面的高度为，求的长度及此斜坡的倾斜角的度数． 【答案】长，此斜坡的倾斜角为 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，由勾股定理可求出，在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而求出的度数，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴ 又， 则， 答：长，此斜坡的倾斜角为． 【变式1】．已知：如图，楼顶有一根天线，为了测量楼的高度，在地面上取成一条直线的三点E、D、C，在点C处测得天线顶端A的仰角为60°，从点C走到点D，CD＝6米，从点D处测得天线下端B的仰角为45°．又知A、B、E在一条线上，AB＝25米，求楼高BE．    【答案】（7＋19）米 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得DE＝BE，设BE＝x米，则AE＝（x＋25）米，CE＝（x＋6）米，然后根据tanC＝列出方程即可求出结论． 【详解】解：∵从点D处测得天线下端B的仰角为45°， ∴DE＝BE． 设BE＝x米，则AE＝（x＋25）米，CE＝（x＋6）米， ∵在点C处测得天线顶端A的仰角为60°， ∴tanC＝， ∴＝， ∴x＝（7＋19），即楼高BE＝（7＋19）米． 答：楼高BE为（7＋19）米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． 【变式2】．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【详解】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 【变式3】．图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】任务1：展板最低点到地面的距离为；任务2：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【分析】（1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可． 【详解】解：（1）如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； （2）如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． 【变式4】．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图所示，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离3米的点处，测得古树顶端的仰角（古树，山坡的坡面和点在同一平面上，古树与直线垂直）， (1)古树的高度约为多少米？ (2)为了保护古树，考古队员准备在树顶下方0.5米的处拉一根保护绳，其中离距离为6.5米．求绳至少多少米？（结果精确到0.1米，绳子打结处的长度忽略不计） （参考数据：， 【答案】(1)古树的高度约为 (2)绳至少为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，勾股定理等知识，掌握坡比是解题的关键． （1）延长交点H，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解． （2）过B点作与交与M， 则，由平行线的性质得出，即可得出，同（1）解出，，进而可求出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：解：如图，延长交点H，则，    山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， 在中，， 答：古树的高度约为 （2）解：过B点作与交与M， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：绳至少为 【变式5】．在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】(1)斜坡的坡比为； (2)的长米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； （2）解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 一、单选题 1．如果斜坡的坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坡度和坡角，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：． 根据斜坡的坡度，可得，然后求出α的度数． 【详解】解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴． 故选：C． 2．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算． 【详解】解：由题意，得：这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是米； 故选B． 3．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，首先由方向角的定义及已知条件得出，，海里，，解，得出海里． 【详解】解：如图，由题意可知，， 在中， ，，海里， ∴海里． 海里． 故选：A． 4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵， 米， 故选：A． 5．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， 千米， 千米，千米， 千米， 千米， 故选B． 【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答． 6．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【详解】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：D． 7．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，根据锐角三角函数可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则这条河的宽度是的长， ∵， ∴， ∵米， ∴， 即， ∴， 即米， 即这条河的宽度是米， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 8．一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（   ）． 一 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．在中利用正切的定义得到（米），由图可得，地毯的长度至少需要米，再结合楼梯宽度3米即可求解． 【详解】解：由题意得，， 在中，， （米）， 由图可得，地毯的长度至少需要米， 楼梯宽度3米， 地毯的面积至少需要． 故选：D． 9．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可． 【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N 由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm， ∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9， ∴BC≈67cm， ∴CEBC−BE＝67−40＝27cm． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键． 10．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，由坡度的定义和勾股定理得出的长，再由等腰直角三角形的性质得出的长，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过作于， 则， ∵， ∴设米，则米， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：． 二、填空题 11．已知斜坡坡度为，如果斜坡长为米，那么斜坡的高为 米． 【答案】60 【分析】设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解： ∵斜坡坡度为3：4， ∴设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=1002， 解得，x=20， 即斜坡的高为3×20=60（米）， 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 12．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，如果，，那么立柱的长度是 米． 【答案】5 【分析】本题考查含的直角三角形知识，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．含角的直角三角形，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解： 垂直于横梁，，． ． 故答案为：5． 13．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    【答案】米 【分析】作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到 米． 【详解】过点D作于点E，作于点F，    由题可得： AB=57，DE=30，，， 在Rt△ADE中，， ∴， ∴， ∵AB=50， ∴， ∵四边形BCEF是矩形， ∴， 在Rt△DCF中，， ∴， ∴， ∴米． 故答案为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 14．某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走6米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是 米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：米，，设米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 15．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为，看这栋高楼底部C的俯角为，热气球A与高楼的水平距离为120米，这栋高楼的高度为 米（，结果精确到1米）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作交于，由正切函数得，，即可求解；能熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过作交于， ，，， ， ， （米）； 故答案为：． 16．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则观测站O距港口A的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题以及勾股定理的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点D，先证明是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，进而求出，然后由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题 【详解】解∶如图，过点A作于点D， 则． 由题意可知， 是等腰直角三角形，． ． ． 在中，． ． ． 则观测站O距港口A的距离为． 故答案为 ∶ ． 17．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为．则大树的高度约为 米．（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，仰俯角解直角三角形，坡比解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 根据题意得到是等腰直角三角形，如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，由坡比得到米，则米，米，在中，由列式求解即可． 【详解】解：点测得大树顶端的仰角是，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡比为，米， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，负值舍去， ∴米， ∴米，则米， 设米，则米， ∴米， ∵， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米， 故答案为：8 ． 18．如图是一种笔记本电脑支架，它有到共个档位调节角度．相邻两个档位间的距离为．将某型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽与托架侧宽都是，是支点且．当支架调到档时，；调到档时，托架绕点旋转至，支点旋转至点时，，．若眼睛的水平视线恰好经过点．测点的俯角为，则眼睛与屏幕的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、旋转的性质、勾股定理，把所求的线段合理分割，整理成直角三角形中相关的边是解决本题的关键． 延长交于点，作于点，可得矩形，从档位到一共个档位，之间有个间隔，所以，，设，则，根据勾股定理可得的长，作于点，根据勾股定理可得的长，进而可得的正弦值和余弦值，根据的正弦值和余弦值及的长可得的长和的长，即可求得的长，那么就求得了和的长，易得是等腰直角三角形，那么，即可求得的长度． 【详解】解：延长交于点，作于点，可得矩形， ，，， ，， ， 到共个档位调节，相邻两个档位间的距离为， ，到共个档位， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 作于点， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，且CE平行于地面，车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ＝60°，此时车厢的最高点A距离地面约为多少米？（四舍五入精确到1米）（参考数据：≈1.73） 【答案】4m 【分析】要算出点A距离地面的距离，只需算出点A距离车厢的距离加上1.2米即可．如下图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G，在△BGC中，根据已知条件可以求出∠BGC=60°，然后可以求出GB，也就求出了AG，最后可以求出AF，加上1.2就是点A距离地面的高度． 【详解】如图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G， ∵+∠BCG=90°，∠BGC+∠BCG=90°， ∴∠BGC=60°， ∵BC=0.5米， ∴在Rt△BCG中，BG=0.5÷tan60°=， 那么AG=AB+BG=3+， ∴在Rt△AGF中，AF=AG×sin60°=， ∴点A距离地面为+1.2≈4m． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是是构造所求线段所在的直角三角形． 20．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7） 【答案】14.0千米 【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x． 在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x， 在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x， ∵AC+BC＝2x+x＝68， ∴x＝， 在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝， 在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20， AB＝20+20≈54， AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）． 答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键． 21．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】广告牌的高度为米 【分析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长． 【详解】解：根据题意，可知 ，，米，． 在中，，得 米． 在中，，得 米． ∴． 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 22．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．     （1）试说明点B是否在暗礁区域外？ （2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【答案】（1）BC=18>16，在暗礁区域外；（2）C到AB的距离为，小于16，继续向东有危险 【分析】（1）作CD⊥AB于D点，可先求出CD的长，再求出CB的长即可； （2）根据（1）中求出的CD值，进行比较即可． 【详解】解：（1）作CD⊥AB于D点， 设BC为x海里， 在Rt△BCD中∠CBD＝60°， ∴BD＝ x海里．CD＝x海里． 在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝， ∴＝． 解得x＝18． ∵18>16， ∴点B是在暗礁区域外； （2）∵CD＝x＝9海里， ∵9＜16， ∴若继续向东航行船有触礁的危险． 【点睛】 考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决． 23．如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)大楼的高度为 (2)能，大楼的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． （1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解； （2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设大楼的高度为． ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为15m； （2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同， 可得， 设为，则， ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为． 24．定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 25．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 【答案】(1)78.6米 (2)买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即，楼高米，窗台米，作于E，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）根据题意，分别算出在B、C两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：   为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 窗台米， 作于E，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于H，于N，    则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， ∵楼一层每平方米4万8，每增加一层单价增高0.2万元， ∴在B栋购买所花的费用为（万元）， ∵楼一层每平方米5万，每增加一层单价也增高0.2万元， ∴在C栋购买所花的费用为（万元）， ∵， ∴买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$