1.4 线段垂直平分线与角平分线（第1课时 线段垂直平分线的性质）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

1.4 线段垂直平分线与角平分线（第1课时 线段垂直平分线的性质） 教学设计 1.教学内容 本节选自苏科版2024八年级数学上册第一章“三角形”中第1.4节“线段垂直平分线与角平分线”的第一课时，核心知识点是“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”。本课聚焦于线段垂直平分线的构建及运用，通过对线段垂直平分线与轴对称现象之间的联系进行探讨，帮助学生加深对几何图形对称性的感知与理解。教材中结合折纸、作图及典型例题，意在突出“垂直”“平分”和“距离”三大要素，以构建学生对空间几何的初步抽象思维。 2.内容解析 本节围绕“线段垂直平分线”展开，重点解决“若一点在线段垂直平分线上，则它到线段两端的距离相等”及其逆命题“若一点到线段两端的距离相等，则该点在这条线段的垂直平分线上”这两个核心结论。其本质在于利用全等三角形证明点与线段两端点之间的关系，使学生建立“垂直平分线—距离相等—三角形全等”这一思维链。教材安排从折纸入手，让学生在动手操作中观察对称轴并初步体验几何推理论证的过程。随后的例题与变式题则进一步强化概念的应用与深度理解，如“确定到两定点等距离的场所”“求三角形外接圆心位置”等，充分体现了几何思维与实际问题的有机融合。通过自主探索、猜测、验证与交流，学生能体会几何推理的条理性与严谨性，并在具体问题中熟练运用线段垂直平分线判定与性质定理，提升空间想象力和逻辑推理能力。 1.教学目标 •经历探索线段轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念。 •掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明。 •通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力。 2.目标解析 • 目标1侧重让学生亲身参与折纸与画图操作，借助对称现象建立对“线段垂直平分线”的直观感受，形成空间观念。 • 目标2注重几何推理的规范性与完整性，通过构建全等三角形来论证定理与逆定理，并且在测量、求解及简单几何证明中灵活运用。 • 目标3强调培养学生在探索中形成系统的推理思路，提升抽象思维与逻辑表达能力，促进稳固掌握与应用。 学生已掌握线段、角、平移与对称等基本概念，对“距离相等”具备初步体会，但尚缺乏系统严谨的几何推理经验。对于线段垂直平分线“性质定理”及“逆定理”的建立和运用，学生能较容易地接受“折纸、作图”带来的直观认识，但在通过全等三角形进行证明的逻辑表达上，仍需教师引导其把握证明思路与关键步骤。因此，本节的难点在于引导学生自主完成由“操作实验”到“几何推理”的过渡，并在此过程中理清结论与推理步骤的内在逻辑。 创设情境，引入新课 教师演示“在一张薄纸上画一条线段，折叠画出线段的垂直平分线”的操作，引导学生在动手中体会轴对称、垂直平分等概念。 【设计意图】 通过真实情境唤起学生学习欲望，激发兴趣。 操作折纸活动让学生亲身经历“轴对称”的过程，为接下来研究“线段垂直平分线的性质”做好铺垫。 引发学生对“到线段两端距离相等”问题的关注，明确本节课要研究线段垂直平分线及其逆定理。 探究点1：线段垂直平分线的性质定理 1. 问题引入 教师提问：在折叠画出的垂直平分线上任意取一点，观察与的长度，你能发现什么规律？并且你能尝试证明吗？ 2. 新知导出 结合“操作引入”中的折纸情境，得到猜想：“垂直平分线上的任意一点到线段两端距离相等。” 接着让学生阅读或回顾教材中的证明： ∵OP是线段AB的垂直平分线， ∴OP⊥AB且AO＝BO． ∴∠AOP＝∠BOP＝90°. 在△AOP 和△BOP 中， ∴△AOP≌△BOP， ∴PAPB． 由此推出：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 符号语言： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 用途：证明线段相等. 【设计意图】 让学生亲自动手、观察、推理，形成“垂直平分线性质”的直观与逻辑认识。 通过“猜想→验证→总结”培养学生几何推理与论证能力。 探究点2：线段垂直平分线性质定理的逆定理 1. 问题引入 教师追问：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？ 如何证明？ 2. 新知导出 学生先大胆猜测，再分情况探究：当点在线段上、线段外时，如何证明一定在的垂直平分线上。 o 若在上且，则是的中点，自然在其垂直平分线上。 o 若在外，过作，在直角三角形比较中可得，从而为垂直平分线。 如图，当点Q在线段AB外时，作 QM⊥AB，垂足为M. 在Rt△QAM和Rt△QBM中， ∠QMA＝∠QMB＝90°， ∵ ∴Rt△QAM≌Rt△QBM. ∴AMBM，即M是线段AB的中点. ∴直线QM是线段AB的垂直平分线. 即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 由此得到：线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上。 符号语言： ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. 用途：确定点在线段的垂直平分线上. 【设计意图】 通过生活中的常见问题（“等距离位置”）引导学生关注一类几何位置关系。 让学生在分析具体位置、作辅助线的过程中进一步提升空间观念，掌握判断点是否在垂直平分线上的方法。 典例分析 例1如图，在中，、的垂直平分线相交于点。求证：点在的垂直平分线上。 证明：连接OA、OB、OC. ∵ 点O在AB的垂直平分线l1上， ∴ OA＝OB（线段垂直平分线的性质定理） 同理 OA＝OC. ∴ OB＝OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上 （线段垂直平分线性质定理的逆定理） . 得到结论：三角形三条边的垂直平分线会交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 变式 利用网格在图中找一点O，使OA＝OB＝OC. 【设计意图】 通过例题讨论，把垂直平分线定理及其逆定理运用于计算与几何证明，帮助学生加深对定理的灵活运用。 体现“现实问题→数学抽象→概念形成→回到实践”的思路，强化知识点在几何问题中的价值。 1.如图，河边有两个村庄 ，．要在河岸 上建一个自来水厂 ，使水厂到 ， 两村的距离相等，请确定点 的位置。 解： 点 到 、 两村的距离相等， 点 在线段 的垂直平分线上，即线段 的垂直平分线与 的交点。 如图所示，点 即为所求。 2.如图， 是 的边 的垂直平分线。已知 ，，求 的周长。 解： 是 的边 的垂直平分线， . 又 . , 的周长 . 3.如图，，， 垂直平分 ，垂足为 ．求证：。 证明：连接 ，。 垂直平分 ， . 在 和 中， . 思维提升 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点。连接，设的周长为。 （1）求的长； （2）分别连接，若周长为，求的长。 解：(1)∵l1垂直平分AB， ∴DB＝DA， 同理可得EA＝EC. ∴BC＝BD＋DE＋EC ＝DA＋DE＋EA ＝12 cm. (2)∵l1垂直平分AB， ∴OB＝OA. 同理可得OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC. 又∵△OBC的周长为26 cm， BC＝12 cm， ∴OB＋OC＝26－12＝14(cm)， ∴OB＝OC＝7 cm， ∴OA＝7 cm. 【设计意图】本环节通过多层次、多角度的练习题帮助学生稳固和深化对线段垂直平分线性质定理及其逆定理的理解，借助具体情境和图形操作，进一步培养空间想象力和综合运用知识的能力。 1. 本节课从“折叠线段”这一操作引入，直观呈现线段的轴对称关系，帮助学生体验垂直平分线与轴对称的关联，发展空间观念。 2. 通过“性质定理”和“逆定理”的推导与典型例题证实，学生掌握了“在垂直平分线上点到线段两端距离相等”及“若点到线段两端距离相等，则该点必在垂直平分线上”的核心知识。 3. 在探究过程中，学生经历了“发现—猜想—验证—归纳”的过程，初步培养了几何推理与证明的严谨思维，较好地达成了本课设定的学习目标。 1.操作引入：折叠线段AB，得到垂直平分线 2. 新知探究： 性质定理：垂直平分线上任一点到线段两端距离相等 逆定理：若点到线段两端距离相等，则该点在垂直平分线上 3. 例题与应用： • 证明思路：对应边、对应角相等 → 全等推论 • 典型例1：三角形三条边的垂直平分线交于一点 4. 小结：垂直平分线与轴对称、全等三角形之间的联系 1. 课本习题中与线段垂直平分线性质定理及其逆定理相关的基础题； 2. 将所学内容应用到实际情景：设计一条公路，需要确定其在两个村庄间等距离的位置，画示意图并说明理由。 本节课中，学生对“线段垂直平分线”概念的理解，借助折纸和作图实验得到了直观体验，学习兴趣较高。通过例题和逆定理的证明，大部分学生能够准确运用“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”这一性质，并能反推判断点是否在垂直平分线上。对于个别在全等三角形判定、对应元素判断上尚有困难的学生，可在今后教学中加强分类讨论和小组交流，引导他们主动思考辨析，为后续几何建模及更高层次推理打下扎实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $$