1.4 第2课时 角平分线的性质-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训· 数学（苏科版）八年级上 第2课时 角平分线的性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB的中点.若AB=12, CD=3,则△DBE的面积为 () A.10 B.12 C.9 D.6 D E (第1题) (第2题) 2.如图，BD,CE分别是△ABC的两个外角的平分线，且交于点P.若点P到AC所在直线的距离 为3，则点P到AB所在直线的距离为 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,且BD:CD=5：4,BC=9, 则点D到AB的距离为 D (第3题) (第4题) 4.如图，△ABC的面积是36，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D.若OD=4,则 △ABC的周长是 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，且 BD=DF. (1)求证：CF=EB. (2)试判断AB与AF,BE之间的数量关系，并说明理由. (第5题) 26 第1章三角形 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.易错题如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD, BE,CD相交于点P,连接AP.下列结论中，不一定正确的是 () A.∠BPC=120° B.AP平分∠BAC C.AD=AE D.S△PBA:S△PCA=AB:AC D (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB于点M, DN⊥AC,交AC的延长线于点N,连接BD,CD.有下列结论：①BM=CN;②∠DBC= ∠DAN;③∠BAC+∠BDC=180°；④点D到△ABC各顶点的距离相等.其中，正确的是() A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①③④ 8.如图，AE是∠CAM的平分线，点B在射线AM上，线段BC的垂直平分线交BC,AE于点D, E,过点E作EF⊥AM于点F.若∠ACB=28°，∠EBD=25°，则∠AED的度数为 0 (第8题) (第9题) 9.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=40°，则 ∠CAP的度数为 10.如图，AE,BF是△ABC的角平分线，且相交于点O.若OE=OF,AC≠BC,求∠ACB的度数. C (第10题) 27 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 11.如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分 ∠MNB,MP,NP交于点P. (1)求证：OP平分∠AOB. (2)若MN=8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和. 0 N B (第11题) 门三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 12.如图，D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CE⊥AB,垂足为E.AD=7,CE=4,AB= 13,△ADC的面积为14. (1)求证：AC是∠BAD的平分线， (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC. (第12题) 28 >“答案与解析”见D17第2课时角平分线的性质 1.C如图，过点D作DF⊥AB于点F.:∠C=90, .DC⊥BC.BD平分∠ABC,DC⊥BC,DF⊥AB, CD=3,∴.DF=CD=3.E为AB的中点，AB=12, :BE=6:△DBE的面积=号BE·DF=号X6X 3=9. (第1题) 2.C如图，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F, PG⊥BC于点G,PH⊥AB交AB的延长线于点H. BD,CE分别是△ABC的两个外角的平分线，且交于点 P,.'.PF=PG=3,PG=PH..'PF=PG=PH=3. D B H (第2题) 3.4如图，过点D作DE⊥AB于点E.:BD:CD= 5:4,bC=9,.CD=9X3=4AD平分ZBAC ∠C=90°，DE⊥AB,.DE=CD=4,即点D到线段AB 的距离为4. B D (第3题) 4.18如图，过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点 F,连接OA.,BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB, ∴.OE=OD=4.同理，OF=OD=4.∴.△ABC的面积= 2AB·OE+2C.OD+2AC·OF=2(AB+AC+ BC)X4=36.,'.AB+AC+BC=18.∴.△ABC的周长 为18. E B (第4题) 5.(1)AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,∠C=90°， ∴.∠AED=90°，DC=DE.在Rt△FCD和Rt△BED中， DC=DE, .Rt△FCD≌Rt△BED(HL).∴.CF=EB. DF=DB, 0 (2)AB=AF+2BE.理由：：AD是∠BAC的平分线， ∴.∠CAD=∠BAD.在△ACD和△AED中， ∠C=∠AED=90°， ∠CAD=∠EAD,.△ACD≌△AED(AAS). AD-AD. ∴.AC=AE.∴.AB=AE+BE=AC+BE=AF+FC+ BE=AF+2BE. 6.C∠BAC=60°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-60°= 120°.：BE和CD是△ABC的角平分线，∴.∠PBC= 3∠AC,∠PCB=∠ACR.·∠PBC+∠PCB= 2(∠ABC+∠ACB)=0.∠BPC=180-6O= 120°.故A正确，不符合题意.如图，过点P作PF⊥BC于 点F,PG⊥AC于点G,PH⊥AB于点H.·BE和CD是 △ABC的角平分线，∴.PH=PF,PG=PF.∴.PH= PG.又：PG⊥AC,PH⊥AB,∴.AP平分∠BAC.故B正 确，不符合题意.AD与AE的关系不能确定，故C错误，符 合题意.：PH=GSa:SA=AB·PH: 号AC,PG=AB:AC,故D正确，不符合题意 (第6题) 易错警示 不能灵活运用角平分线的性质 解答这类三角形中具有两条角平分线的问题时，往 往需要综合运用角平分线的性质定理和逆定理，确定图 形中隐含的新的角平分线，进而解决相关问题. 7.CAD平分∠BAC,DVLAB,DN⊥AC,∴.∠BMD= ∠AMD=∠CND=90°，DM=DN,∠BAD=∠CAD. DE是BC的垂直平分线，∴.BD=CD.在Rt△BDM和 R△CDN中，DM=DN, BD=CD, .Rt△BDM≌Rt△CDN (HL).∴.BM=CN,∠BDM=∠CDN.故①正确 ∴.∠BDC=∠MDN.∠BAC+∠AMD+∠AND+ ∠MDN=360°，∠AMD=∠AND=90°，∴.∠BAC+ ∠MDN=180°.∴.∠BAC+∠BDC=180°.故③正确. BD=CD,∴.易得∠DBC=∠DCB.∠DBC+ ∠DCB+∠BDC=180°，..∠BDC+2∠DBC=180° :∠MDN+∠BAC=180°=∠MDN+2∠DAN, .∠DBC=∠DAN.故②正确.在△ACD中，∠ACD> 90°，.AD>CD.故④错误.综上所述，正确的是①②③. 8.37°如图，连接CE,过点E作ER⊥AC于点R,交CD 于点Q,设AE交BC于点O.:DE是线段BC的垂直平 分线，.∠EDC=90°，CE=BE.∴.易得∠ECB= ∠EBD=25°.∴.∠DEB=∠CED=90°-25°=65. ER⊥AC,.∠QRC=∠QDE=90°..∠ACB+ ∠CQR=90°，∠EQD+∠QED=90°.：∠CQR= ∠EQD,∴.∠ACB=∠QED=28.:AE平分∠CAM, ER⊥AC,EF⊥AM,∴.ER=EF.在Rt△ERC和 Rt△EFB中，CE=BE,ER=EF,∴.Rt△ERC≌ Rt△EFB(HL).∴.∠ECR=∠EBF=∠ACB+∠ECD= 28°+25°=53°.：∠EFB=90°，.∠BEF=90° ∠EBF=90°-53°=37°.∴.∠REF=∠RED+∠DEB+ ∠BEF=28°+65°+37°=130°.∠ARE=∠AFE=90°， .∠CAM=360°-90°-90°-130°=50°.AE平分 ∠CAM,·∠CAE=2∠CAM=25°，·∠DOE= ∠CAE+∠ACB=25°+28°=53°..ED⊥BC, ∴.∠EDB=90°.∴.∠AED=90°-∠DOE=90°- 53°=37° 、E 0 M (第8题) 9.50°过点P作PN⊥BD于点N,PF⊥BA,交BA的 延长线于点F,PM⊥AC于点M.设∠PCD=x°.：CP平 分∠ACD,∴.∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN.:BP平 分∠ABC,∴.∠ABP=∠PBC,PF=PN.∴.PF=PM. ∴.AP平分∠CAF.∴.∠FAP=∠MAP.:∠BPC= 40°，.∠ABP=∠PBC=∠PCD一∠BPC=x一40° .∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40)-(x°- 40)=80°..∠CAF=100°.∴.∠FAP=∠MAP=50°， 即∠CAP=50°. 10.连接CO,过点O作OM⊥BC,ON LAC,OH⊥AB,垂 足分别为M,N,H.AE,BF是△ABC的角平分线， ∴.ON=OH,OM=OH.∴.OM=ON.在Rt△OEM和 (OE=OF, Rt△OFN中， .Rt△OEM≌Rt△OFN OM-ON, (HL).∴.∠EOM=∠FON.∴.易得∠EOF=∠MON= 180°-∠ACB.AE,BF是△ABC的角平分线，∴.易得 ∠AOB=90+2∠ACB.:∠AOB=∠EOF,.90+ D 2∠ACB=180-∠ACB.∠AcB=60 11.(1)如图，过点P作PC⊥OA于点C,PD⊥MN于点 D,PE⊥OB于点E.:'MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥ MN,∴.PC=PD.NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥ OB,.PD=PE..PC=PE.又PC⊥OA,PE⊥OB, ∴.OP平分∠AOB.(2).△PMN的面积是16，MN= 8MN·PD=16,即号×8PD=16.PD=4 ∴.PD=PC=PE=4.△OMN的面积是24，∴.四边形 MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+十 24=40..△POM的面积+△PON的面积=40..2OM· PC+20N·PE=40,即2OM·4+20N·4=40, ∴.OM十ON=20.∴.线段OM与ON的长度之和为20. M 0 E B (第11题) 12.(1)如图①，过点C作CF LAD,交AD的延长线于点 R.:△ADC的面积为14，AD=7,AD·CF=号× 7CF=14.∴.CF=4..CE=4,∴.CF=CE.又.CE AB,CF⊥AD,∴.点C在∠BAD的平分线上..AC是 ∠BAD的平分线.(2)如图②，在AB上截取AH= AD,连接CH.AB=13,.BH=AB-AH=AB- AD=13-7=6..'AB-AD=2BE,.'.2BE=6...BE= 3.∴.EH=BH一BE=6一3=3..EH=BE.CE⊥ AB,∴.CE是线段BH的垂直平分线.∴.HC=BC.由(1) 可知，AC是∠BAD的平分线.∴.∠HAC=∠DAC.在 AH-AD. △HAC和△DAC中，∠HAC=∠DAC,∴.△HAC≌ AC=AC, ADAC(SAS)..HC=DC..'CD=BC. D E B H E B ① ② (第12题) 1.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D当105的角是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度 18