专项46 排列组合-小升初奥数思维提升讲义

经典奥数系列——排列与组合 4种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 一、基本概念：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序；排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 二、基本原理： 1.分类计数原理（也称加法原理）： 指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事。那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数。 2.分步计数原理（也称乘法原理）： 指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数。 【加法原理】 【经典例题】从2,3,4,5,6,10,11,12这八个数中,取出两个数组成一个最简真分数,共有多少种取法? 【答案】15种 【解析】 （1）2和3、5、11能组成3个最简真分数； （2）4和3、5、11能组成3个最简真分数； （3）6和5、11能组成2个最简真分数； （4）10和3、11能组成2个最简真分数； （5）12和5、11能组成2个最简真分数； （6）3、5、11能组成3个最简真分数； （7）列式计算：3+3+2+2+2+3=15（种） 答：共有15种取法。 【点评】这八个数中，偶数有2、4、6、10、12；奇数有3、5、11；根据最简真分数的意义，分子小于分母，且分子分母互质；据此解答即可。 1.明明去吃午饭，发现附近的中餐厅有8家，西餐厅有5家，日式餐厅有2家。他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择? 2. 在下列各图中,从A点沿实线走最短路径到B点,各有多少种走法? 3.海尔希望小学新来了5位小朋友，每两位小朋友握一次手，一共要握多少次手? 【乘法原理】 【经典例题】如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有4条路,从甲地到丁地有3条路,从丁地到丙地也有3条路。问;从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 【答案】17种 【解析】根据题意，从甲地经过乙地到丙地有走法：2×4=8（种）；从甲地经过丁地到丙地有走法：3×3=9（种）；一共有走法：8+9=17（种）。 2×4=8（种） 3×3=9（种） 8+9=17（种） 答：一共有17种走法。 1. 在下列各图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何点不得重复经过。问:这只甲虫最多各有几种不同走法? 2.题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。问:由该题库共可组成多少种不同的试卷? 3.用数字0,1,2,3,4可以组成多少个不同的三位数(数字允许重复)? 【排列】 【经典例题】某铁路线共有14个客车站，这条铁路共需要多少种不同的车票? 【答案】182种 【解析】 （1）第1号站可以有：(1)到第2号站；(2)到第3号站；(3)到第4号站；(4)到第5号站……共14-1=13种票。 （2）第2号站有：(1)到第3号站；(2)到第4号站……共14-2=12种票。 （3）依此类推：共有：13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=91种不同的票；返回时也需要同样多的票，共需要91×2＝182(种). （4）列式计算：13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=91(种)或14×13÷2=91（种） 往返一共91×2＝182(种) 答：这条铁路共需要182种不同的票。 【点评】本题考查的是学生分析问题和解决问题的能力，根据题意，先计算出去时的票的总数，返程票的张数与去时的相等，再乘2即可求出所有的票的张数. 1. 有红、黄、蓝三种信号旗,把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号,一共可以组成多少种不同信号? 2.甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起,四人每人随便拿了一本。问: (1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种? (2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种? (3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种? (4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种? 3. 从1，3，5中任取两个数字，从2,4,6中任取两个数字,共可组成多少个没有重复数字的四位数? 【组合】 【经典例题】直线a，b上分别有5个点和4个点(如图),以这些点为顶点,可以画出多少个三角形?多少个四边形? 【答案】70个；120个。 【解析】 （1）从直线a上任取1点，有5个方案，从直线b上任意取2个点，可以有6个不同的方法，一共有：5×6＝30(个) （2）从直线b上任取1点，有4个方案，从直线a上任意取2个点，可以有10个不同的方法，一共有：4×10＝40(个) （3）三角形个数：30+40＝70(个) （4）从直线a上任取2点，有10个方案，从直线b上任意取2个点，可以有6个不同的方法，一共有：10×6＝60(个) （5）从直线b上任取2点，有6个方案，从直线a上任意取2个点，可以有10个不同的方法，一共有：6×10＝60(个) （6）四边形个数：60+60＝120(个) 【总结】 平面上的三个点，这三个点不在一条直线上，那么它们可以连接成一个三角形；平面上的四个点，其中有三个点不在一条直线上，那么它们可以连接成一个四边形； 【点评】 本题主要考查了学生对“三角形的定义和四边形的认识”这些知识点的掌握情况，解答本题的关键是理解从直线a上任意选取几个点和从直线b上任意选取几个点是两种不同的情况，分别进行解答。 1. 半圆及其直径上共有12个点(如图)，以这些点为顶点可画出多少个三角形? 2. 在前100个自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法? 3. 有13个队参加篮球比赛,比赛分两个组,第一组七个队,第二组六个队,各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军。问:共需比赛多少场? 共10题 满分100分 测试时间：50分钟 一、解答题： 1.要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个,有多少种不同的评选结果? 2.在自然数中,用两位数做被减数,一位数做减数,共能组成多少个不同的减法算式? 3.书架上有8本不同的画报和10本不同的书，每次只能从书架上任意取一本画报和一本书,共有多少种不同的取法? 4.在下图所示的方格纸中放黑棋子和白棋子各一枚，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问:共有多少种放法? 5.已知 15120=24×33×5×7，问:15120 共有多少个不同的因数? 6.某短跑队有9名运动员,其中2人起跑技术好,另外有3人跑弯道技术好,还有2人冲刺技术好。现在要从中选4人组队参加4×100米接力赛，为使每人充分发挥特长，共有多少种组队方式?(注:4×100米接力赛中，第一起跑，第二棒跑直道,第三棒跑弯道,第四棒冲刺。) 7.有一楼梯共10级,规定每步跨上两级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法? 8.某工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工2人、电工2人,另有1人钳工、电工都会。从这5人中挑选4人完成这项工作,共有多少种不同选法? 9.欣欣去超市买糖果，超市里有水果糖、奶糖和巧克力糖3种不同的糖果,如果凡凡最少买1种糖果，最多买2种糖果，那么他有多少种不同的选择方案? 10. 五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少种? 1.明明去吃午饭，发现附近的中餐厅有8家，西餐厅有5家，日式餐厅有2家。他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择? 【答案】11种 【解析】 中餐厅选择数量：8（种）, 西餐厅选择数量：5（种）, 日式餐厅选择数量：2（种）, 总选择数量： 8+5+2=15（种）, 答：一共有15种不同的选择。 2. 在下列各图中,从A点沿实线走最短路径到B点,各有多少种走法? 【答案】（1）6种；（2）35种 【解析】 利用标数法，数出所有的可能即可求解。 （1）共有6种不同的走法。 （2）从A点沿实线走最短路径到B点，无论怎么走，一共需要走7段的长度，其中4段是向东走的，3段是向北走的，所以从7段路中选出4段向东走的，选出3段向北走的即可． 解：从A点沿实线走最短路径到B点，无论怎么走，一共需要走7段的长度，其中4段是向东走的，3段是向北走的，所以不他同的走法一共有： C 3 7 =35(种)． 答：共有35种不同走法． 【点评】此题主要考查了简单的排列组合问题的应用，解答此题的关键是判断出：从7段路中选出4段向东走的，选出3段向北走的，并熟练掌握组合数的求法即可。 3.海尔希望小学新来了5位小朋友，每两位小朋友握一次手，一共要握多少次手? 【答案】10次 【解析】5 位小朋友，每两位小朋友握一次手，可通过连线法画图分析。 解：4+3+2+1=10（次） 1. 在下列各图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何点不得重复经过。问:这只甲虫最多各有几种不同走法? 【答案】9,9 【解析】 （1） 根据题意，由图可知，从A到中间一个点有3条路线，再从中间的那个点到B点也有3条路线，根据乘法原理解答即可。 解：根据题意，由乘法原理可得： 3×3=9（条） 答：这只甲虫最多有9种不同走法。 【点评】根据题意，找个中间点，由乘法原理进行解答即可。 （2） 从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点；然后分两种情况计算即可． 解：其中从A点先经过C点到B点的走法一共有1×3=3种不同的走法； 从A点先经过D点到B点一共有2×3=6种不同的走法； 所以一共有3+6=9种不同的走法。 【点评】本题考查了排列组合知识，先用乘法原理，再用加法原理。 2.题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。问:由该题库共可组成多少种不同的试卷? 【答案】54000 【解析】 根据乘法原理可得： 30×40×45 =1200×45 =54000(种) 故答案为：54000 3.用数字0,1,2,3,4可以组成多少个不同的三位数(数字允许重复)? 【答案】48 【解析】 百位：首位不能为0，有5-1=4(种)；十位：因为不能重复，所以不能是首位用过的数字，有5-1=4(种)；个位：不能是前两位用过的数字，有5-2=3(种)，确定每一位都是完成这件事的一个步骤，因此共可以组成4×4×3=48(个)无重复的三位数。据此解题即可。 解：根据思路启发得： 4×4×3=48(个) 答：可以组成48个无重复的三位数。 【点评】本题考查的关键是考查了简单的乘法原理，由于情况数较少可以有枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏.解题时要认真细致，据此解答即可。 1. 有红、黄、蓝三种信号旗,把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号,一共可以组成多少种不同信号? 【答案】6种 【解析】 先从3种信号中选择2种，有3种不同的选择方法；然后把这两种进行排列，有2种方法，根据乘法原理就一共有3×2种方法。 解答：解：从3种颜色中选择2种，有3种不同的方法； 把选出的两种一个在上、一个在下有2种方法； 3×2=6（种） 答：共可以组成6种不同的信号。 【点评】 此题主要考查了乘法原理的应用，即做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn不同的方法．那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法。 2.甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起,四人每人随便拿了一本。问: (1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种? (2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种? (3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种? (4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种? 【答案】（1）6；（2）8；（3）23；（4）9 【解析】 （1）根据题意，甲拿到自己的，那么剩下三个人随便，根据乘法原理计算即可； （2）若甲拿对，则乙拿丙的或丁的，有2种拿法，此时为满足“恰有1人拿对”，丙、丁只能拿错，所以只有2种方法；若乙或丙或丁拿对，也存在同样情况，据此计算即可； （3）因为大家都拿到自己作业本的拿法只有1种，根据乘法原理计算所有拿法，再减1即可； （4）甲的拿法有3种，乙如果拿甲的，那么只有1种；如果乙拿了丙、丁当中的一个，有2种，据此计算即可。 解：（1）3×2×1=6（种） 答：甲拿到自己作业本的拿法有6种。 （2）4×2=8（种） 答：恰有一人拿到自己作业本的拿法有8种。 （3）4×3×2×1-1=23（种） 答：至少有一人没拿到自己作业本的拿法有23种。 （4）3×(2+1)=9（种） 答：谁也没拿到自己作业本的拿法有9种。 3. 从1，3，5中任取两个数字，从2,4,6中任取两个数字,共可组成多少个没有重复数字的四位数? 【答案】216种 【解析】 ‌排列组合原理‌： 奇数位（1、3、5）选2个数字有3种选择，偶数位（2、4、6）选2个数字有3种选择，再把选出的4个数进行排列，即可得出答案。 奇数位与偶数位分别独立选择后，还需考虑数字的排列顺序（如奇偶奇偶或偶奇奇偶）。 最终通过乘法原理计算得出：3×3×4×3×2×1=216种组合。 注意事项： 若题目限定为四位数且无重复数字，则需排除重复排列的情况，但搜索结果未明确说明题目限制。 1. 半圆及其直径上共有12个点(如图)，以这些点为顶点可画出多少个三角形? 【答案】210个 【解析】 首先分三种情况：①直径一点不取，属于7个点选3个点的组合；②直径上取一点，半圆环上7个点选2个点；③直径上取二点，半圆环上7个点选1个点；最后利用加法原理解决问题。 分三类: 第一类直径一点不取共有：(5+4+3+2+1)+(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1=35种方法； 第二类直径上取一点有共有：5×(6+5+4+3+2+1)=5×21=105种方法； 第三类直径上取二点有：(4+3+2+1)×7=10×7=70种方法； 所以共有：35+105+70=210种方法。 答：可画出210个三角形。 2. 在前100个自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法? 【答案】1650种 【解析】 将1～100按照除以3的余数分为3类:第一类，余数为1的；第二类，余数为2的；第三类，可以被3整除的；要求取出两个不同的数相加,其和是3的倍数，可以从第一、二类中各取一个数，或者从第三类中取两个数。 【详解】 第一类，余数为1的有1，4，7，….100，一共有34个； 第二类，余数为2的一共有33个； 第三类，可以被3整除的一共有33个； 第一种，从第一、二类中各取一个数，有34×33=1122种取法； 第二种，从第三类中取两个数，有33×32÷2=528种取法。 根据加法原理，不同取法共有:1122+528=1650种。 答:其和是3的倍数的共有1650种不同的取法。 【点晴】 本题考查的是计数问题，这里需要综合应用加乘原理、余数的性质来求解问题。 3. 有13个队参加篮球比赛,比赛分两个组,第一组七个队,第二组六个队,各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军。问:共需比赛多少场? 【答案】42场 【解析】 第一组比赛场数为: 7×(7-1)÷2 =7×6÷2 = 21(场) 第二组比赛场数为: 6×(6-1)÷2 =6×5÷2 = 15(场) 决赛场数为: (4-1)×4÷2, =12÷2， = 6(场) 共比赛场数为:15+21+6=42(场) 答:一共要比赛42场。 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，此类赛制为单循环赛制，比赛场数一参賽队数×(队数-1)÷2。要注意去掉重复计算的情况，如果班数比较少可以用枚举法解答，如果班数比较多可以用公式:比赛场数= n(n -1)÷2解答。 （1）此题主要考查的是握手问题，解答此题的关键是明确赛制为单循环赛制的比赛场数的计算方法； （2）由题意，各组内先进行单循环赛，根据比赛场数=参赛队数×(队数-1)÷2先分别求得两个组各比赛多少场； （3）再根据比赛场数=参赛队数×(队数-1)÷2求出四个队再进行单循环赛决定冠亚军的比赛场数；进而根据加法的意义求出共需比赛多少场。 【经典测试】参考答案 共10题 满分100分 测试时间：50分钟 一、解答题： 1.要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个,有多少种不同的评选结果? 【答案】216种 【解析】 要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，共有‌216种‌不同的评选结果。 每个项目（学习、体育、卫生）的评选是独立的，且允许重复选择同一班级。因此，每个项目有6种选法（从6个班级中选择），总计为6×6×6=216种。 2.在自然数中,用两位数做被减数,一位数做减数,共能组成多少个不同的减法算式? 【答案】900 【解析】 两位数的范围是10至99，共有90个数字（99-10+1=90）；一位数的范围是0至9，共有10个数字。每个两位数可以与每个一位数组合成一个减法算式（例如10-0、10-1……99-9），因此总组合数为90×10=900。 ‌ 注意事项 减法算式中，被减数（≥10）始终大于减数（≤9），所有组合均有效且结果非负。 ‌ 不同来源对一位数的范围存在细微差异（如部分资料包含0，部分仅包含1～9），但不影响最终结果。 3.书架上有8本不同的画报和10本不同的书，每次只能从书架上任意取一本画报和一本书,共有多少种不同的取法? 【答案】80种 【解析】 书架上有8本不同的画报和10本不同的书，画报有8种取法，书有10种取法从书架上任意去一本画报和一本书，取法共有8×10=80种。 答:共有80种不同的取法。 4.在下图所示的方格纸中放黑棋子和白棋子各一枚，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问:共有多少种放法? 【答案】144种 【解析】 分步计算‌ ‌黑棋子放置‌：方格纸共有4行，每行可放4个黑棋子，因此黑棋子有16种放法。 ‌白棋子放置‌：当黑棋子确定位置后，白棋子需避开同一行和列，剩余9个有效位置（例如黑棋子在第1行时，白棋子可选第2-9行中的任意一列）。 ‌总放法‌：16×9=144种。 5.已知 15120=24×33×5×7，问:15120 共有多少个不同的因数? 【答案】80个 【解析】 15120=24×33×5×7 15120的因数都可以表示成2a×3b×5c×7d=的形式, 其中 a=0,1,2,3,4, b=0,1,2,3, c=0,1, d=0,1, 即a,b,c,d的可能取值分别有5，4，2，2种， 所以共有因数5×4×2×2=80个， 或（4+1）×（3+1）×（1+1）×（1+1）=80（个）。 6.某短跑队有9名运动员,其中2人起跑技术好,另外有3人跑弯道技术好,还有2人冲刺技术好。现在要从中选4人组队参加4×100米接力赛，为使每人充分发挥特长，共有多少种组队方式?(注:4×100米接力赛中，第一起跑，第二棒跑直道,第三棒跑弯道,第四棒冲刺。) 【答案】72种 【解析】 起跑、弯道、冲刺各选1人后,剩下的6人都可以跑直道,所以共有2×3×2×6=72(种)不同的组队方式。 7.有一楼梯共10级,规定每步跨上两级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法? 【答案】7种 【解析】 解法一:枚举法 ①5个2：2+2+2+2+2。 ②2个3，2个2：2+2+3+3;2+3+2+3;2+3+3+2:3+2+2+3;3+2+3+2;3+3+2+2。 所以，共有7种走法。 解法二：计算法 ①5个2，一种情况。 ②2个3，2个2。从4个位置里面选2个位置填3，则C(4，2) 所以共有1+6=7种走法。 解法三:标注法 0，1，1，1，2，2，3，，4，5，7。 所以上 10 级台阶共有 7种走法。 8.某工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工2人、电工2人,另有1人钳工、电工都会。从这5人中挑选4人完成这项工作,共有多少种不同选法? 【答案】5种 【解析】 先让钳工、电工都会的人算为钳工，则有钳工3人，电工2人，选择钳工2人和电工2人，有3种； 先让钳工、电工都会的人算为电工，则有钳工2人，电工3人，选择钳工2人和电工2人，有3种； 共有3+3=6(种).但还需要减去根本没有选上这位都会的工人的1种，此时两种情况中是重复的，无论他是作为钳工还是电工，只要没选上都是一样，共有6-1=5种。 解：3+3-1=5(种) 答：共有5种不同的选法。 9.欣欣去超市买糖果，超市里有水果糖、奶糖和巧克力糖3种不同的糖果,如果凡凡最少买1种糖果，最多买2种糖果，那么他有多少种不同的选择方案? 【答案】6种 【解析】 根据“3种不同的糖果，凡凡最少买1种糖果，最多买2种糖果。”可分两类计算。 解：3+3=6（种） 10. 五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少种? 【答案】20种 【解析】 本题考察排列组合中的错位排列问题。​五个瓶子贴错三个标签的可能情况共有20种​。核心思路是先从5个标签中选出3个错贴的标签（组合问题），再计算这3个标签的错位排列方式（排列问题），最后将两者相乘得到总情况数。 解： ​选择错贴的标签​：从5个标签中选出3个错贴的标签，组合数为。 ​计算错位排列​：3个标签的错位排列（即全错排列）有2种方式（如ABC→BCA或CAB）。 ​总情况计算​：将两者相乘，10×2=20种。 14 学科网（北京）股份有限公司 $$