专题09 （优质好题速递）高一上学期第一、二章压轴题（集合与常用逻辑用语+不等式）（17大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题09 高一上学期第一次月考（第一章+第二章）压轴题17大类型专项训练 题型01 利用集合中元素的性质求集合元素个数 1．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 【答案】C 【分析】分类讨论的值，即可得方程组解的情况. 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 3．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 二、多选题 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 三、填空题 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 【答案】 【分析】从个数中选个数求和共有种取法，四个式子相加得到，根据的倍数，得到，从而计算得到这四个数，得到最小的数. 【详解】从个数中选个数求和共有种取法， 即，① 将①中个式子相加得， 因为是4个正整数，所以一定是的倍数， 所得的结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复， 注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数， 所以①中的个和为， 则，则 又因为，所以这个数分别为， 故这个数中最小的数为. 故答案为：. 四、解答题 6．（24-25高一上·河北廊坊·月考）设数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 【答案】(1)证明见解析； (2)集合中必含有两个元素； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素； （3）设,且,则，，令及即可证明. 【详解】（1）若，则,与矛盾，故. 因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合中必含有两个元素. （3）设,由（1）且, 则，. 令，化简可得, 因为, 所以方程无解，即. 令，化简可得， 同理无解，即， 所以集合中至少有三个不同的元素． 题型02 根据元素与集合的关系求参数 一、单选题 1．（24-25高一上·江西南昌·月考）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 【答案】D 【分析】A选项，因式分解得到，当时，，A正确；B选项，时，，A中元素均为负数，B正确；C选项，在AB基础上，得到时，，结合得到不等式，求出C正确；D选项，由根的判别式得到A不可能为空集. 【详解】A选项，由，得， 当，即时，，得，则，A正确； B选项，当，即时，， 此时与均为负值，所以A中元素均为负数，B正确； C选项，由AB知，时，不满足， 当，即时，， 因为，所以，得，C正确； D选项，由题意得，则A不可能为空集，D错误． 故选：D 二、填空题 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可. 【详解】因为， 所以或， 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（同上，舍去）， 此时． 综上． 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若，则将代入不等式求解即可得到的范围，根据题意求其补集即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 若，则有，即，所以， 解得或． 因此若，则 故答案为： 三、解答题 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 题型03 根据集合的包含关系求参数 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先求出，再根据，分，，求解. 【详解】因为， 当时，即； 当，所以，即； 当，所以，即， 所以的可能取值为，，0，不可能为. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 4．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 二、填空题 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】化简集合，，根据，分，，讨论，求得的取值范围. 【详解】由，， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时， ，因为，所以， 故答案为: ． 题型04 集合的交、并、补运算及参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由集合的交集、并集、补集运算的定义计算． 【详解】由题意知集合，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，或或，故C错误； 对于D，或，故D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合关系结合并集补集的运算即可判断， 【详解】对于集合， 当时， 当时， 所以, 又,, 所以, 故选：C 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由图可知图中阴影部分表示的集合为，从而可求得答案. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，所以， 图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 5．（24-25高一上·山西大同·月考）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、，设这三项比赛都参加的员工人数为，作出韦恩图，可得出关于实数的方程，解之即可. 【详解】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、， 设这三项比赛都参加的员工人数为，根据题意得出如下韦恩图， 因为该公司共有名员工参加比赛， 则有， 即，解得， 因此，这三项比赛都参加的员工人数是. 故选：B. 二、多选题 6．（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误. 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 三、填空题 8．（24-25高一上·云南临沧·月考）已知集合，，且，则实数所取到的值构成的集合 ，则 ． 【答案】 【分析】先化简集合，由，可得，通过讨论，求出实数的值，从而得到集合；由并集的运算求得． 【详解】， ， ， 当时，，满足条件，， 当时，，若满足条件，， 则或，即或， 综上实数的值构成的集合； ， 则． 故答案为：；． 9．（24-25高一上·四川绵阳·月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·月考）已知集合若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得， ，， 当时，，可得； 当时，，显然成立； 当时，，可得； 综上所述，. 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 12．已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 题型05 集合的新定义问题 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁大连·月考）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题： ①0是任何数域的元素： ②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由数域定义分析各说法可得答案. 【详解】①因数域G是非空数集，取其中任意元素，则由数域定义，故①正确； ②因数域G有非零元素，设为，则由数域定义，因，则，， 类推可得任意正整数都在数域中，故②正确； ③表示全体被3整除的整数，则，但，故③错误； ④设，则，，，当时，，则有理数集是一个数域，故④正确. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏南通·月考）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】D 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 二、多选题 3．（25-26高一上·全国·单元测试）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】对于A求2026除以5的余数即可判断，对于B由即可判断，对于C整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，即可判断，对于D若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，则，当时，得，即进而求解. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 三、解答题 4．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，，，，. 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【详解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 5．（24-25高一上·广东广州·期末）若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. (1)写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； (3)记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见详解 (3)3 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“完美集”； （2）根据“复活集”的定义可得，利用基本不等式证得结论成立； （3）利用反证法可证，再举例说明成立，即可得结果. 【详解】（1）设一个2元“完美集”为（），则， 例如，则， 所以一个2元“完美集”可为（答案不唯一）. （2）由上述分析可知，2元“完美集”（），则， 因为，则， 即，且，可得， 所以对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. （3）设元“完美集”为，其中，不妨设， 则，可得， 假设，可知， 所以假设不成立，即， 又因为，所以存在元素均为正整数的元“完美集”， 所以的最大值为3. 【点睛】关键点点睛:在第（3）小问中的求解过程中，先必要性探路，利用反证法证明. 6．（24-25高一上·山东日照·期中）对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 (3)1350 【分析】（1）根据集合定义计算即可； （2）根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证； （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. 【详解】（1）因为集合， 所以由1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得， ，，，可得. （2）由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故B中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的4个元素为0，，，且与0，或或重复， 而，故即， （3）设满足题意，设， 则， ∴，又，∴， ∵，∴，即， ∴， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即， ∴. 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】关键点点睛：解题证明的关键点是应用孪生性质得出不等关系证明集合元素个数的最大值. 题型06 充分、必要条件及参数问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知方程有实根，分和两种情况讨论，得出，经验证，时，，方程有实根成立. 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 2．（24-25高一下·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质及必要条件判断B. 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D 二、填空题 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据得或，结合充分不必要条件列不等式求参数范围. 【详解】由，得或， 又是的充分不必要条件， 所以，解得. 故答案为： 三、解答题 5．（24-25高一下·湖北黄石·月考）已知条件p：，条件q：． (1)若，求实数的值； (2)若q是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的交集，判断出区间端点的值和大小，得到的值，即本题结论； （2）根据充要条件关系得到的取值范围的关系，判断出区间端点值的大小，得到取值范围． 【详解】（1）由已知得：， 因为， ， ， （2）是的充分条件， ，而或， 或， 或 实数的取值范围为或． 6．（24-25高一下·四川成都·期中）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合. (2)设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为 【分析】（1）利用不等式的解集与方程的方程的根的关系求出，再去解不等式即可得到集合， （2）由是成立的必要不充分条件，得到之间的包含关系，再去求解的取值范围. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则是的两根，由韦达定理可得，即， 所以不等式为的解集， （2）因为是成立的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，在上有一个或两个根，又由韦达定理可知方程两根同号， 则即解得，符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题: (1)“”是“”的充要条件； (2)“”是“”的充分条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合充要条件的定义即可证明. （2）由等式、不等式的性质、基本不等式，结合充分条件的定义即可证明. 【详解】（1）∵， 充分性:∵，， ∴充分性可得; 必要性:∵，又， ∴， 可得. ∴是的充要条件. （2）由，且，则， ∵，，当且仅当时等号成立， 所以，，， 可得，解得， ∴是的充分条件. 题型07 全称量词命题和存在量词命题及参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·河北沧州·月考）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 2．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知命题“”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由其否定为真命题，通过一元二次不等式恒成立求解即可； 【详解】由命题“”为假命题， 可得“”为真命题， 所以， 解得：， 故选：C 二、多选题 4．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 三、填空题 5．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 6．（24-25高一下·贵州毕节·月考）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为求出的最大值即可. 【详解】因为命题为真命题， 所以在上恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 7．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 8．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若有且只有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出函数在的最小值，再由恒成立建立不等式求解. （2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，的最小值为， 由为真命题，即对任意，不等式恒成立， 得，解得， 所以的取值范围. （2）当时，，当且仅当时取等号， 由为真命题，即存在，使得不等式成立， 得，解得，即，由（1）知， 而有且只有一个为真，则当真假时，，解得； 当假真时，或，解得， 所以的取值范围为或. 题型08 集合结合常用逻辑用语问题 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由题意知，是的真子集，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 3．（24-25高一下·湖北·月考）已知，集合，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别化简集合和，根据充分性和必要性定义判断即可. 【详解】因为， 由 解得或， 或， 由解得或， 即或， 因为，所以， 所以， 所以是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 二、解答题 4．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 6．已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）求出集合，再利用必要不充分条件定义列式求解. 【详解】（1）当时，，则或， 而， 所以. （2）当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 7．（24-25高一上·湖南株洲·月考）已知集合. (1)求证：A至少有2个子集的充要条件是，或. (2)若“”为假命题，求的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据充分条件，必要条件的定义证明即可； （2）结合题意可得，，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）证明：先证明充分性：当，或时，，方程有解， 则集合至少有1个元素，A至少有2个子集，充分性得证； 再证明必要性：若A至少有2个子集，则， 解得或，必要性得证. 综上所述，A至少有2个子集的充要条件是或. （2）由已知，集合，所以集合. 因为“”为假命题，所以. 当时，，解得； 当时，要使，则，且， 即，解得或或或. 综上所述，实数m的取值范围为. 题型09 不等式中比较大小问题 一、单选题 1．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 2．（24-25高一上·浙江绍兴·月考）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法、特例法比较大小即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，所以，B错误； 对于C，由，得，所以，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：AC 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 5．（24-25高一上·山西·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确. 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 题型10 利用不等式求式子（值）的范围 一、多选题 1．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 2．（23-24高一上·河北·月考）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式的基本性质逐个选项分析排除即可. 【详解】对于A：,故A错误. 对于B：,故B正确. 对于C：,故C错误. 对于D;,故D正确. 故选：BD. 3．（23-24高一上·山东·月考）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 即，即，故A正确； 对于B，由，可得， 又，则， 即，即，故B错误； 设， 则，解得，， 因为，，所以，D正确； 若的最大值为24，又，， 则，，此时，C错误． 故选：AD. 题型11 基本不等式求最值 一、多选题 1．（24-25高一下·广东汕头·月考）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】AC由基本不等式进行求解；B选项，可举出反例；D选项，变形后利用基本不等式求出答案. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，，故A正确； 对于B，取，则，故B不正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故不是4，故C错误. 对于D，因为，所以， 故有基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：AD 2．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断. 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 3．（24-25高一下·云南·期末）已知，，都是正数，则下列选项中一定正确的是（   ） A． B．的最小值为1 C． D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，，，，当且仅当时等号成立，故A选项正确； 对于B，，当且仅当或时等号成立，由题意可得等号不成立，故B选项错误； 对于C，，，，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； 对于D，，，，当且仅当时等号成立，故D选项正确. 故选：ACD. 4．若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 5．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项A；由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项B；根据题意变形得，由，结合基本不等式即可判断选项C；由，结合基本不等式即可判断选项D． 【详解】对于选项A，由，且，为正实数， 则， 即， 所以，即， 当且仅当，即，时，不等式取得等号， 即的最大值为．故选项A正确； 对于选项B，由，且，为正实数， 则，即， 所以， 当且仅当，即，时，不等式取得等号， 即的最小值为．故选项B正确； 对于选项C，由，且，为正实数， 则， 所以， 当且仅当，即，时，不等式取等号， 所以的最小值为．故选项C错误； 对于选项D，结合选项C有， 则， 当且仅当，即，时，不等式取等号， 所以的最大值为．故选项D正确． 故选：ABD． 题型12 不等式的证明 一、解答题 1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 3．（24-25高一上·山东滨州·月考）（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知，且，求证：. 【答案】（1）17；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式“1”妙用求出最小值. （2）变形所证不等式的左边，结合平方数是非负数推理得证. 【详解】（1）由，得，而，， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值17. （2），且，则，当且仅当时取等号， 所以. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 5．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 6．（24-25高一上·云南大理·期末）我们都知道，对于，于是就有，即得到我们重要的不等关系；对于，其实这是基于完全平方公式和非负数的性质数学运算得出的.事实上，我们还能得出下列结论：. (1)请利用以上背景知识对上述“”的结论加以证明； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）借助重要不等式，结合不等式性质推理得证. （2）由建立不等式，再解不等式得到最值. 【详解】（1）由，得，即，则， 由，得，即，则， 所以. （2）由，得且， 即， 而，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立， 整理得，解得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；； (3). 【分析】（1）根据不等式的性质即可证明； （2）展开，利用基本不等式即可证明； （3）由题意可得恒成立，展开即可证明. 【详解】（1）因为且， 所以，且， 所以且. （2）由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 则. 因为对任意的恒成立， 即为恒成立， 而，所以. 又为自然数，所以或. （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以当自然数满足时，不等式 对任意恒成立． 题型13 基本不等式的实际应用问题 一、填空题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：米2）的计算公式是(长)×(宽)，在不测量长和宽的情况下，若只知道某块矩形场地的面积是10000米2，且工程量每平方米收费1元，则平整完这块矩形场地所需的最少费用约是 元． 【答案】 【分析】设矩形场地的长为米，则宽为米，得，再应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件，即可得. 【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以平整完这块矩形场地所需的最少费用约为（元）． 故答案为： 二、单选题 2．（25-26高一上·全国·单元测试）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出干扰度之和的解析式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意，知，， 当时，， ，解得， ，． ，， ， 当且仅当，即时取等号， 当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，最小值为． 故选：D. 三、解答题 3．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【答案】(1)定义域为； (2)的面积有最大值，此时cm. 【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域； （2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. （2）由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 4．今年春节一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补. 企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出. 注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 【答案】(1)； (2)4万元. 【分析】（1）由收益=销售金额+政府专项补贴-成本，即可得的解析式； （2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得答案. 【详解】（1）解：由题意可得销售金额为（万元）； 政府补贴为（万元），成本为（万元）， 所以； （2）解：由（1）可得， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当政府的专项补贴为4万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大. 5．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 题型14 基本不等式恒成立和有解问题 一、单选题 1．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得． 【详解】解：∵不等式有解， ∴， ∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时取“＝”， ∴，故，即， 解得或， ∴实数 m 的取值范围是． 故选：B． 2．已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 二、多选题 3．（24-25高一上·安徽宣城·月考）命题，，使得不等式成立，下列不是命题成立的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得，成立，利用基本不等式求出最小值，再根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意得，存在正数使成立，即成立， ， 当且仅当，即时取等， 故， 故使得成立的充要条件是， 使得成立的充分不必要条件应该是的真子集，其中满足的只有， 则不是命题成立的充分不必要条件的有BCD三个选项. 故选：BCD. 三、填空题 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 5．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 6．（2025高一上·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 题型15 含参数的一元二次不等式解法 一、解答题 1．解下列关于x的不等式： （1）； （2）； 【答案】答案见解析 【详解】（1） 当时，不等式为，解集为； 时，不等式分解因式可得 当时，故，此时解集为； 当时，，故此时解集为； 当时，可化为，又 解集为； 当时，可化为，又 解集为. 综上有，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为. ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 题型16 一元二次不等式中的恒成立和有解问题 一、单选题 1．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可； 解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可； 【详解】关于的不等式在上恒成立， 即， 因为，所以． 解法一：（基本不等式）   ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得． 解法二 ：（柯西不等式） ， 当且仅当，即时等号成立． （柯西不等式：，当且仅当时等号成立） 所以，解得. 故选：D． 二、多选题 2．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 三、填空题 3．使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 【答案】（只需满足即可）. 【分析】根据命题“对任意，”为真命题，结合参变量分离法可求出的取值范围，再结合补集思想可得出结果. 【详解】命题“对任意，”为真命题， 则对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立， 故，解得， 所以，要使得命题“对任意，”为假命题，则. 故答案为：（只需满足即可）. 4．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】法1，分类讨论求出二次函数在上的最小值，进而求出的范围；法2，按分段，分离参数求出最值即可求出的范围. 【详解】若对任意，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】由两个正实数，满足， 得，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由参变量分离法可得出恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 由题意知，对任意，， 即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 即实数的取值范围为． 故答案为：． 7．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 题型17 一元二次不等式中的整数解问题 一、单选题 1．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 2．（24-25高一上·浙江·月考）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合、，再分中的两个整数是、和中的两个整数是、两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以； 由，即， 解得， 所以， 若集合中的两个整数是、，则，解得； 若集合中的两个整数是、，则，解得； 综上可得实数a的取值范围是或. 故选：A 二、填空题 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 【答案】1 【分析】由题设可得不等式解集为，根据解集中整数解个数求参数. 【详解】不等式， 因为为正整数，所以不等式的解集为， 又因为解集中恰有1个整数，所以中只含一个整数1， 所以，即，所以正整数. 故答案为：1 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知集合 ，，若中恰有一个整数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出集合，解出集合并分类讨论，使得满足中恰有一个整数，求出参数的取值范围. 【详解】， 由，可得， 当，即时，，不适合题意， 当，即时，，，不适合题意， 当，时，，若中恰有一个整数， 则，即， 故答案为：. 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 【答案】 【分析】解不等式分析可知不等式组整数解为，解不等式，分析可得，运算求解即可. 【详解】由，可得，等价于，解得， 由，解得， 可知不等式组的解集为，整数解为， 对于不等式组，且，解得， 可知的整数解为，则，解得， 且，则， 所以整数对的集合为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25高一上·福建莆田·月考）已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，且实数的取值范围是 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. （2）解：原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3）解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 高一上学期第一次月考（第一章+第二章）压轴题17大类型专项训练 题型01 利用集合中元素的性质求集合元素个数 1．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 3．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 二、多选题 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 三、填空题 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 四、解答题 6．（24-25高一上·河北廊坊·月考）设数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 题型02 根据元素与集合的关系求参数 一、单选题 1．（24-25高一上·江西南昌·月考）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 二、填空题 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，若，则 ． 4．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 5．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 题型03 根据集合的包含关系求参数 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 题型04 集合的交、并、补运算及参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西大同·月考）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 三、填空题 8．（24-25高一上·云南临沧·月考）已知集合，，且，则实数所取到的值构成的集合 ，则 ． 9．（24-25高一上·四川绵阳·月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 10．（24-25高一上·上海·月考）已知集合若，则实数a的取值范围是 四、解答题 11．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 12．已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 题型05 集合的新定义问题 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁大连·月考）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题： ①0是任何数域的元素： ②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·江苏南通·月考）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 二、多选题 3．（25-26高一上·全国·单元测试）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 三、解答题 4．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 5．（24-25高一上·广东广州·期末）若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. (1)写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； (3)记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 6．（24-25高一上·山东日照·期中）对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 题型06 充分、必要条件及参数问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 二、填空题 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 5．（24-25高一下·湖北黄石·月考）已知条件p：，条件q：． (1)若，求实数的值； (2)若q是的充分条件，求实数的取值范围． 6．（24-25高一下·四川成都·期中）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合. (2)设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题: (1)“”是“”的充要条件； (2)“”是“”的充分条件. 题型07 全称量词命题和存在量词命题及参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·河北沧州·月考）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 2．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知命题“”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 6．（24-25高一下·贵州毕节·月考）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 7．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 8．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若有且只有一个为真，求实数的取值范围． 题型08 集合结合常用逻辑用语问题 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·月考）已知，集合，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、解答题 4．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 6．已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 7．（24-25高一上·湖南株洲·月考）已知集合. (1)求证：A至少有2个子集的充要条件是，或. (2)若“”为假命题，求的取值范围； 题型09 不等式中比较大小问题 一、单选题 1．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江绍兴·月考）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型10 利用不等式求式子（值）的范围 一、多选题 1．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 2．（23-24高一上·河北·月考）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东·月考）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 题型11 基本不等式求最值 一、多选题 1．（24-25高一下·广东汕头·月考）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 2．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 3．（24-25高一下·云南·期末）已知，，都是正数，则下列选项中一定正确的是（   ） A． B．的最小值为1 C． D．若，则的最大值为 4．若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 5．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 题型12 不等式的证明 一、解答题 1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 3．（24-25高一上·山东滨州·月考）（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知，且，求证：. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 5．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知，，，且，证明： (1)； (2). 6．（24-25高一上·云南大理·期末）我们都知道，对于，于是就有，即得到我们重要的不等关系；对于，其实这是基于完全平方公式和非负数的性质数学运算得出的.事实上，我们还能得出下列结论：. (1)请利用以上背景知识对上述“”的结论加以证明； (2)若，求的最大值. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 题型13 基本不等式的实际应用问题 一、填空题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：米2）的计算公式是(长)×(宽)，在不测量长和宽的情况下，若只知道某块矩形场地的面积是10000米2，且工程量每平方米收费1元，则平整完这块矩形场地所需的最少费用约是 元． 二、单选题 2．（25-26高一上·全国·单元测试）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 3．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 4．今年春节一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补. 企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出. 注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 5．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 题型14 基本不等式恒成立和有解问题 一、单选题 1．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 3．（24-25高一上·安徽宣城·月考）命题，，使得不等式成立，下列不是命题成立的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 6．（2025高一上·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 题型15 含参数的一元二次不等式解法 一、解答题 1．解下列关于x的不等式： （1）； （2）； 2．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 题型16 一元二次不等式中的恒成立和有解问题 一、单选题 1．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 3．使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 4．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 5．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 6．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 7．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 题型17 一元二次不等式中的整数解问题 一、单选题 1．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·月考）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知集合 ，，若中恰有一个整数，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 三、解答题 7．（24-25高一上·福建莆田·月考）已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$