精品解析：江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期期初质量调研数学试题

2025—2026学年度高三年级质量调研 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 2. 已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判断C，举反例判断A，B，D即可. 【详解】对于A，若，，则可能会相交也可能平行，故A错误， 对于B，若，，则可能会相交或平行，故B错误， 对于C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确， 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C 3. 已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】如图： 抛物线的焦点为，准线为：. 因为点在上，且到直线的距离为4，所以点的横坐标为2. 所以点到准线的距离为， 根据抛物线的定义可得：. 故选：B 4. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解. 【详解】设圆台的母线长为，因为该圆台侧面积为， 则由圆台侧面积公式可得，所以， 设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得， 则，解得， 所以原圆锥的母线长， 故选： 5. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 6. 若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义导出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由为偶函数，得，即，， 由为奇函数，得，即， 因此，即，则， 所以. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，分析函数单调性，可判断的大小；再设，利用函数单调性，可判断的大小. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递减. 且，所以，即，所以. 设，则， 当时，，所以在上单调递增. 又，所以，即，即. 综上可知：. 故选：C 8. 双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线斜率. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出幂函数的解析式，进而求出函数值判断A；利用抽象函数的定义域列式求解判断B；利用一元二次方程实根分布求解判断C；利用导数求出单调递增区间判断D. 【详解】对于A，令，则，解得，，因此，A正确； 对于B，函数中，则，即函数的定义域为， 由，得，因此函数的定义域为，B错误； 对于C，由函数在上只有一个零点，得，无解， 或，解得，因此实数a的范围为，C正确； 对于D，由，得，而，解得， 因此函数的单调增区间为，D错误. 故选：AC 10. 在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则 B. 直线与圆交于点A、B，若，则 C. 点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D. 过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离为2求的值，判断A的真假；用几何法，根据弦长求的值，判断B的真假；设，表示出切点弦的方程，确定直线过定点，求出，即为所求点到直线距离的最大值，可判断C的真假；利用直线的参数方程求弦长，可判断D的真假. 【详解】对A：因为圆O上恰有3个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离为2， 则或，故A错误； 对B：因为直线与圆交于点A、B，且，所以圆心到直线的距离为：. 由.故B正确； 对C：如图： 设，则（*）. 以为直径的圆的方程为：. 与圆相减得：.即为两圆公共弦所在的直线方程. 将（*）代入可得：. 由，即直线过定点. 所以点M到直线AB的距离的最大值为线段的长度（此时）， 因为，故C正确； 对D：如图： 设直线的参数方程为：（为参数），将其代入圆的方程得： ， 化简得：. 设对应的参数分别为：，，则. 因为，所以. 所以. 又，故D正确. 故选：BCD 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知，设，有，由和，消去得，可求椭圆离心率. 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令函数并确定函数的奇偶性，再利用导数确定函数的单调性，进而求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R，令函数， 则，即函数是R上的奇函数， 又，当且仅当时取等号， 因此函数在R上单调递增， 所以不等式， 则，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，，，，则其外接球的表面积为______；过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为______． 【答案】 ①. 64π ②. 6 【解析】 【分析】记四边形的外接圆的圆心为，由条件可得平面，故四棱锥的外接球的球心在直线上，求四边形的外接圆半径和，根据球心在的垂直平分线上可求四棱锥的外接球的半径，根据球的表面积公式可求四棱锥的外接球的表面积，设的中点为，由条件求，由球的性质可求过的球的最短弦长. 【详解】记四边形的外接圆的圆心为，因为， 所以平面， 记四棱锥的外接球的球心为，则平面， 所以四棱锥的外接球的球心在直线上， 设， 因为四边形的外接圆圆心就是的外接圆，设外接圆的半径为， 因为，， 所以为等边三角形，，故， 因为平面，平面，所以， 所以，， 又，所以， 由已知球心在的垂直平分线上，所以， 所以四棱锥的外接球的半径的半径， 所以四棱锥的外接球的表面积， 设的中点为，则， 所以， 因为，所以， 所以三点共线， 因为，，所以，又， 所以，又， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． （1）若，，求的值； （2）设点为抛物线准线与轴交点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设点，直线，联立解出，再利用抛物线的定义，即可求解. （2）根据题意设点，直线，表示出后，利用韦达定理进行化简，即可求解. 【小问1详解】 因为点在第一象限，，则， 焦点，准线，， 所以设点，直线， 联立，得，解得，， 由，得. 【小问2详解】 因为点在第一象限，则，焦点，点， 设点，直线， 联立，得， 所以，， 则 ， 综上，的值为0. 16. 四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，为的中点． （1）为的中点，为的中点，证明：平面； （2）若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可知只需将问题转化为即可，进而转化为证明四边形为平行四边形即可； （2）依题建系，写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，由空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 取的中点，的中点，连接、， 因，，不妨设，则， ∵、、分别为、、的中点， ∴，，， ∵，，∴，∴，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴，，又， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则 ∴，， 设平面的一个法向量为 ∴，∴， 取，∴，∴， ∵，，平面，且， ∴平面，则平面的法向量可取为， 设平面与平面成的角为θ， 则， 即平面与平面成角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）证明：当时，． 【答案】（1）当时，函数无极值；当时，极小值为，无极大值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再依据导数中参数的取值范围分类讨论，确定函数单调性，即可求解； （2）将不等式转化为求证时，，再利用函数单调性找到最小值，即可证明. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，则， ①当时，，在上单调递减，无极值； ②当时，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 即函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 证明：由（1）得，又， 要证，即证， 即证恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立. 综上，当时，恒成立. 18. 已知椭圆，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， （）证明：直线过定点； （）求面积的最大值． 【答案】（1）椭圆的标准方程为 （2）（）证明见解析；（）面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）结合椭圆和等边三角形的性质，即可求解. （2）（）法一：根据已知条件设，直线的方程，直线的方程，求出点的坐标，再求出，进而得到直线的方程，整理即可求解； 法二:先根据斜率公式表示出，结合椭圆方程，得到，进而设直线的方程为，与椭圆方程联立，并利用韦达定理化简，即可求解. （）根据，可得，再设进行整体代换，并利用函数单调性，即可求解. 【小问1详解】 根据题意作图如下： 由题意得，所以， 因为，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过定点，即右焦点. 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以，且 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍）， 所以直线过定点，即右焦点； （）由（）得， 令，则，则， 因为在上单调递增，所以时，取得最大值， 此时，直线的方程为. 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”， （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”；且直线MP与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在 （3）单调递减 【解析】 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【小问1详解】 当时，，当且仅当x＝时取等号， 所以对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”； 【小问2详解】 依题意，，求导得， 设，求导得， 设，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，函数在上单调递增，而， 即函数在上单调递增，而，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，此时，而， 函数在点P处的切线方程为，而直线的斜率，因此， 所以存在一个点，它是M在的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直. 【小问3详解】 设，， 求导得， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 又两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，， 即， ， 于是，即，， 而函数定义域R上恒正，则恒成立， 接下来证明： 由既是的最小值点，也是的最小值点，得， 即， ， 于是， 即，而， 因此，解得， 即有恒成立，由的任意性，得严格单调递减， 所以函数在R上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高三年级质量调研 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 2. 已知，，是三个不同平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在R上函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（ ） A. B. 0 C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 10. 在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则 B 直线与圆交于点A、B，若，则 C. 点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D. 过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 14. 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，，，，则其外接球的表面积为______；过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． （1）若，，求的值； （2）设点抛物线准线与轴交点，求． 16. 四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，为的中点． （1）为的中点，为的中点，证明：平面； （2）若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）证明：当时，． 18. 已知椭圆，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， （）证明：直线过定点； （）求面积的最大值． 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”， （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”；且直线MP与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $