江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期期初质量调研数学试题

2025—2026学年度高三年级质量调研 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 2. 已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（ ） A. B. 0 C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 10. 在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则 B. 直线与圆交于点A、B，若，则 C. 点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D. 过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 14. 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，，，，则其外接球的表面积为______；过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． （1）若，，求的值； （2）设点为抛物线准线与轴交点，求． 16. 四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，为的中点． （1）为的中点，为的中点，证明：平面； （2）若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）证明：当时，． 18. 已知椭圆，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， （）证明：直线过定点； （）求面积的最大值． 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”， （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”；且直线MP与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 2025—2026学年度高三年级质量调研 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请把答案填涂在答题卡相应位置上． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 64π ②. 6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 取的中点，的中点，连接、， 因，，不妨设，则， ∵、、分别为、、的中点， ∴，，， ∵，，∴，∴，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面，∴平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1）当时，函数无极值；当时，极小值为，无极大值 （2） 证明：由（1）得，又， 要证，即证， 即证恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立. 综上，当时，恒成立. 【18题答案】 【答案】（1）椭圆的标准方程为 （2） （）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过定点，即右焦点. 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以，且 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍）， 所以直线过定点，即右焦点； （）面积的最大值为 【19题答案】 【答案】（1） 当时，，当且仅当x＝时取等号， 所以对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”； （2）存在 （3） 设，， 求导得， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 又两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，， 即， ， 于是，即，， 而函数在定义域R上恒正，则恒成立， 接下来证明： 由既是的最小值点，也是的最小值点，得， 即， ， 于是， 即，而， 因此，解得， 即有恒成立，由的任意性，得严格单调递减， 所以函数在R上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $