精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2021-2022学年度上学期八年级9月模拟数学(五四制)试题(二)

风华中学八年级数学9月考模拟试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半 4. 如图，在已知中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，的外角为，则的度数（ ） A. B. C. D. 6. 如图：在△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连BD，若△DBC的周长为23，则BC的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图,中，角平分线交于交于E，若， ，则等于( ) A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　　　） A. 36° B. 45° C. 54° D. 72° 9. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以的边、为边向外作等边三角形与，线段交于点F，下列结论：①；②平分；③④和全等．其中正确有( )个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如图，与关于直线对称，则的度数______ 12. 如图，中， ，，，则_________． 13. 如图，在中，，，，则_________． 14. 如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则__________. 15. 如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，CE=3，则DE=____. 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝__________. 17. 如图，直角的斜边的中点为交于D，且，则__________。 18. △ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°，则△ABC的面积为________． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 20. 如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP＝4，则AB的长为__________． 三、解答题（共60分） 21. 在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为． （1）关于y轴的对称图形为，画出，(点C与点对应)； （2）连接，画出一个以为底的等腰直角，并写出点P的坐标． 22. 如图，已知中,为的外角，且，求证：平分 23. 如图，在中，，点在上，点在上，，与相交于点，求证是等腰三角形． 24. 如图,中,为上的点，点E为延长线上的一点， 且交于点F ． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 今年3月12日植树节期间，学校预购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元． （1）求购进A、B两种树苗的单价； （2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？ 26. 已知，在等边中，D、E分别为、边上的点,．连接、相交于点F． （1）如图1，求证：． （2）如图2，过点A作于H，若，求证：F为中点． （3）如图3，在(2)的条件下，延长到点M，连接，使，若，求长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上,，且满足． （1）求点A的坐标； （2）点A与点C关于y轴对称，点P在x轴负半轴上，设点P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长； （3）在(2)的条件下，连接，过点P作轴交线段于点Q，在x轴上C点左侧取点M，使，若是以为一腰的等腰三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华中学八年级数学9月考模拟试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A原图不是轴对称图形，故本选项符合题意； B.原图是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.原图是轴对称图形，故本选项不合题意； D.原图是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2. 点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于x轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握点关于x轴对称时“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律． 先明确点关于x轴对称的坐标变化规律；再根据该规律，结合已知点P的坐标，求出其对称点的横、纵坐标；最后对比选项确定答案． 【详解】解：根据点关于x轴对称的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．已知点P坐标为，则其关于x轴的对称点横坐标仍为，纵坐标为1的相反数，即对称点坐标为． 故选：B． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，中垂线的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高线、中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误，符合题意； B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； C、等腰三角形的两个底角相等，原说法正确，不符合题意； D、直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，原说法正确，不符合题意； 故选A． 4. 如图，在已知中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质：等边对等角与三线合一逐一进行判定即可； 【详解】∵， ∴是等腰三角形 ∴ ∵， ∴，， 而和不一定相等， 故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 5. 在中，，的外角为，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可求得顶角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵的外角为， ∴． ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图：在△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连BD，若△DBC的周长为23，则BC的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D得出AD＝BD，再根据△DBC的周长为23，AC＝15即可求出BC的长． 【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴AD＋CD＝BD＋CD＝AC， ∵△DBC的周长为23，AC＝15， ∴BC＝23−15＝8． 故选C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键． 7. 如图,中，角平分线交于交于E，若， ，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质推出等腰三角形，进而得到线段相等的线段． 由是角平分线可得角相等，结合平行于，利用平行线的性质得到另一组角相等，从而判定是等腰三角形，得出，最后根据计算的长度． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　　　） A. 36° B. 45° C. 54° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【详解】解：设∠A＝x°， ∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x°， 在△ABC中x＋2x＋2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴∠DBC＝36°， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键． 9. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线L的对称点，连接，交直线l于点M，根据轴对称的性质可证明点M即为水泵站的位置，据此可得答案． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 10. 如图，以的边、为边向外作等边三角形与，线段交于点F，下列结论：①；②平分；③④和全等．其中正确有( )个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理，解题的关键是先通过证明，再以全等三角形的性质为基础，逐步推导各结论的正确性． 先根据等边三角形性质得、，进而推出，证明，由此判断①；再由全等得对应边与相等，结合得出点A到两边距离相等判断②；在两三角形与中，利用三角形内角和相等及对顶角相等与，推出，进而得，判断③；分析和的全等条件，发现缺少关键条件，判断④；最后统计正确结论的个数． 【详解】解：∵、是等边三角形 ∴， ， ， ∴，即． 在和中，， ∴． ①由，得（全等三角形对应边相等），故①正确； ②又∵得且， ∴点A到、的距离相等， ∴平分（到角两边距离相等的点在角平分线上），故②正确； ③由，得， ∵（对顶角相等）， ∴， ∴ ∴，故③正确； ④由已知条件，无法推出或，故和不全等，④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如图，与关于直线对称，则的度数______ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：与关于直线l对称， ∴， ， ∴， 的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键． 12. 如图，中， ，，，则_________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，解题的关键是先判定为等边三角形得到的度数，再利用等腰三角形三线合一得出平分，进而求出． 先根据和判定是等边三角形，得出；再由，结合等腰三角形三线合一（等腰三角形底边上的高也是顶角平分线），可知平分；最后计算的一半即为的度数． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴（等边三角形的三个内角都为． ∵， ∴平分（等腰三角形三线合一：底边上的高平分顶角）， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键． 【详解】解：在中，，，， 则， 故答案为：． 14. 如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．解题的关键是作出恰当的辅助线． 连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，CE=3，则DE=____. 【答案】5 【解析】 【详解】试题解析：如图所示： 由翻折的性质可知：∠CBD=∠C′BD，BC=BC′=AD=8． ∵四边形ABC′D是矩形， ∴AD∥BC′． ∴∠EDB=∠DBC． ∴∠EBD=∠EDB． ∴ED=BE． ∴DE=BE=BC-EC=8-3=5． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝__________. 【答案】5 【解析】 【详解】分析：求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出DC=BD，代入求出即可． 详解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=180°-30°-90°=60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵∠C=90°， ∴CD=BD=×10=5， 故答案为5． 点睛：本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质，关键是得出DC=BD，题目比较好，难度适中． 17. 如图，直角的斜边的中点为交于D，且，则__________。 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质（两锐角互余）、线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用垂直平分推出角相等，结合角度比例关系和直角三角形两锐角互余求解． 由垂直平分得，推出；设，根据表示出和；再利用直角三角形两锐角互余列方程，求解得出的度数． 【详解】解：∵为中点， ∴垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， ∴（等边对等角）． 设， ∵， ∴． ∵是直角三角形， ∴（直角三角形两锐角互余）， 即， ∴． 即． 故答案为：． 18. △ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°，则△ABC的面积为________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意画出图形，过B作BD⊥AC于D，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD长，进而可利用三角形的面积公式计算出△ABC的面积． 【详解】解：过B作BD⊥AC于D， ∵AC＝10，∠A＝30°， ∴BD＝AB＝5， ∴△ABC的面积＝•AC•BD＝×10×5＝25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积的求法，熟知在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余是解题的关键．注意分类讨论. 分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，利用三角形外角的性质可求得顶角；当顶角为锐角时，利用直角三角形两锐角互余，可求得顶角为，即可得出答案． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 20. 如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP＝4，则AB的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到∠CBQ=∠ABC，再由等角对等边得到CQ=BQ，得到BQ+AQ=CQ+AQ=AC；过点P作PDBQ，由“AAS”可证△ABP≌△ADP，由全等三角形的性质可得AB=AD，BP=DP，得到AB+BP=AD+CD=AC，即BQ+AQ=AB+BP，即可得出AB的长． 【详解】解：∵BQ是∠ABC的角平分线， ∴∠CBQ=∠ABC． 又∵∠ABC=2∠C， ∴∠CBQ=∠ABC=∠C， ∴ BQ=CQ， ∴ BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1）． 如图所示，过点P作PDBQ交CQ于点D， 则∠CPD=∠CBQ＝∠C，∠ADP=∠AQB， ∴△PDC是等腰三角形， ∴CD＝PD， ∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C， ∴∠ADP=2∠C， ∴∠ABC=∠ADP． 又∵AP是∠BAC的角平分线， ∴∠BAP=∠CAP． 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（AAS）， ∴AB=AD，BP=DP＝CD， ∴AB+BP=AD+CD=AC（2）， 由（1）（2）得：BQ+AQ=AB+BP， 又∵△ABQ的周长为20，BP=4， ∴20－AB= AB+4， ∴ AB=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质、三角形的外角性质的综合应用．作辅助线，证三角形全等是解题的关键． 三、解答题（共60分） 21. 在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为． （1）关于y轴的对称图形为，画出，(点C与点对应)； （2）连接，画出一个以为底的等腰直角，并写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，等腰直角，点P的坐标为（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】本题考查作图一轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴的对称图形为； （2）根据等腰直角三角形的判定利用网格即可画出以为底的等腰直角，进而可以写出点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，已知中,为的外角，且，求证：平分 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、平行线的性质（同位角相等、内错角相等）以及角平分线的判定，解题的关键是利用等腰三角形性质得到底角相等，结合平行线性质推出与外角相关的角相等，进而证明平分． 先由得出是等腰三角形，得到底角；再根据，利用平行线性质推出、；最后通过角的等量代换得到，从而证明平分． 【详解】证明：∵， ∴（等腰三角形两底角相等）． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． ∴平分（角平分线的定义）． 23. 如图，在中，，点在上，点在上，，与相交于点，求证是等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用等腰三角形的性质推导得出中两角相等，进而判定其为等腰三角形． 先根据得出是等腰三角形，得到；再利用判定和全等，得出对应角；最后用减去减去，得到，从而判定是等腰三角形． 【详解】略 24. 如图,中,为上的点，点E为延长线上的一点， 且交于点F ． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）过点D作交于点M，由等腰三角形性质和平行线性质可得，可推得，由因为已知，即可得，通过可得，即可得出结论； （2）根据和可得出长，从而可得长． 【小问1详解】 证明：如图，过点D作交于点M， ∴． ∵(已知)， ∴ ∴． ∴． 又∵(已知)， ∴． 又∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 25. 今年3月12日植树节期间，学校预购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元． （1）求购进A、B两种树苗的单价； （2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？ 【答案】（1）购进A种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵；（2）A种树苗至少需购进10棵 【解析】 【分析】（1）设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵，根据“若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需购进A种树苗a棵，则购进B种树苗（30﹣a）棵，根据总价＝单价×购买数量结合购买两种树苗的总费用不多于8000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵， 根据题意得：， 解得：． 答：购进A种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵． （2）设需购进A种树苗a棵，则购进B种树苗（30﹣a）棵， 根据题意得：200a＋300（30﹣a）≤8000， 解得：a≥10． ∴A种树苗至少需购进10棵． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，找准题目中的数量关系是关键． 26. 已知，在等边中，D、E分别为、边上的点,．连接、相交于点F． （1）如图1，求证：． （2）如图2，过点A作于H，若，求证：F为中点． （3）如图3，在(2)的条件下，延长到点M，连接，使，若，求长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2） 证明：∵(由(1)得)， ∴． ∵是的外角， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴(直角三角形中角所对直角边是斜边一半)． 由(1)知， 又∵，且(已知)， ∴． ∵， ∴，即． ∴F为中点． （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质角所对直角边定理）、等腰三角形的判定与性质（三线合一），解题的关键是利用等边三角形的边角等量关系构造全等三角形，衔接前问结论推导角度与线段关系，结合等腰三角形“三线合一”简化线段计算． （1）证明 由等边得、，结合，用证，由全等三角形对应边相等得； （2）证明F为中点：由（1）得，推，在中得；结合、，得，故，即为中点； （3）求的长：由得、F为中点、，结合推，得为等腰三角形；由及“三线合一”得，又，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 由为中点,， ∴， ∵， ∴ 即， 又∵， ∴， ∵， 且与为对顶角， ∴，， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴(三线合—), ∵， ∴， 又∵， ∴， 故的长为5． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上,，且满足． （1）求点A的坐标； （2）点A与点C关于y轴对称，点P在x轴负半轴上，设点P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长； （3）在(2)的条件下，连接，过点P作轴交线段于点Q，在x轴上C点左侧取点M，使，若是以为一腰的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质、关于y轴对称的点的坐标特征、两点间距离公式、一次函数解析式的求解与应用、等腰三角形的分类讨论，解题的关键是将几何图形与平面直角坐标系结合，通过坐标表示线段长度，利用分类讨论思想解决等腰三角形的多解问题． （1）在中，由得，根据“角所对直角边是斜边一半”，结合得，又A在x轴正半轴，故； （2）由A、C关于y轴对称得，根据x轴上两点距离公式，，然后分类讨论； （3）先求得点B的坐标为及直线解析式，得；用距离公式算，结合得；分“”“”两类讨论等腰，求解得，故． 【小问1详解】 解：∵点A在x轴正半轴，点B在y轴正半轴， ∴，即是直角三角形． ∵， ∴． ∵在中，角所对直角边是斜边一半， ∴． 又∵点A在x轴正半轴， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点A与点C关于y轴对称，， ∴点C的坐标为． ∵点P在x轴负半轴上，横坐标为t， ∴点P的坐标为． ∵P、C均在ⅹ轴上， ∴． 当时，；当时，；当时， 即． 【小问3详解】 解：如图， 在中，， ∴点B的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入： 当时，，得； ∵， ∴，解得． ∴直线的解析式为． ∵轴，，Q在上， ∴点Q的横坐标为t，代入解析式得， ． ∴ 设，，则． ∵， ∴， 解得， ∴． 分类讨论等腰（以为腰）： 先算各线段平方（避免根号）： ； ； ． 情况，则， 即， 整理得，即， 解得（舍去，因P在x负半轴）或（舍去，因Q不在线段上）． 情况，则， 即， 整理得，即， 解得（符合且或（舍去，因Q不在线段上）． ∴点P的横坐标，纵坐标为0， 即点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $