第二十一章 一元二次方程 章末复习训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 一、单选题 1．某市年底自然保护区覆盖率为10%，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 7．若是方程的根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．若一元二次方程（，P为常数，且）有两个不相等的整数根，这样的P有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．两个连续的自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，那么较大的自然数为 ．根据题意列出方程为 ． 10．如图，要建造一个直角梯形花圃，要求边靠墙，另外三边的和为．若该花圃的面积为，则的长为 ． 11．在中，，，，于点，则线段的长度为 ． 12．已知关于x的一元二次方程的两个根恰好分别是直角的两边长，则的面积为 ． 13．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 三、解答题 14．解方程： (1)； (2)． 15．某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 16．大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件； (2)为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 17．“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． (1)当每千克荔枝降价5元时，每天销量可达________千克，每天盈利________元； (2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到336元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 18．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，经过多少时间，的面积等于矩形面积的？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，列方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，完全平方公式，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．由方程有两个相等的实数根可得，即，再由可得，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把移项，再配方，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即， 故选：C 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，列出一元二次方程，是解题的关键． 根据题意，空白部分的面积占到总面积的，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：． 故选D． 5．A 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键． 根据根与系数的关系看得，由a，b是方程的两个实数根可得，进而可以得解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 则的值为18． 故选：A． 6．B 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由m是方程的根，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的解的情况求参数，解不等式组，根据题意可得，再由得到，则，根据方程的解为整数，得到或或或或，据此可推出的值，根据的值，看方程是否有两个不同的整数解即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∵x为整数， ∴或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴当时，或，当时，或，当时，（即两个相等的实数根），不符合题意，舍去， ∴这样的P有2个， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据两数之间的关系，可得出较大的自然数为，根据两个连续的自然数的平方和为41，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵两个连续的自然数中较小的自然数为x， ∴较大的自然数为． 根据题意得：． 故答案为：；． 10．或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，梯形的面积公式的运用，梯形的周长公式的运用，一元二次方程的解法的运用. 作于，就可以得出，根据与的比值关系， 可设的长度，进而得到，的长度，在中由勾股定理就可以求出， 根据梯形另外三边长度之和，可表示出的长度，进而得到的长度. 根据梯形的面积公式建立等式即可求得x的值，从而得到的长度. 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形． 设． ， ． 在中，． ， . ． 该花圃的面积为， . 整理，得，解得． 故的长为或． 11．或 【分析】本题考查了解直角三角形，解一元二次方程，根据题意设，则，根据得出，进而在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， 设，则， ∵ ∴ 在中， ∴ 整理得： 解得： 即：或 当时，； 当时，； 故答案为：或． 12．6或10 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，也考查了三角形的面积．先利用因式分解解方程得到或，再讨论：当斜边为5时，利用勾股定理计算出另一条直角边的长度，然后计算此时三角形的面积；当直角边为5时，直接计算三角形的面积． 【详解】解：， ∴， ∴或， 当斜边为5时，另一条直角边的长度为， 所以的面积， 当直角边为5时，的面积， 综上所述，的面积为6或10． 故答案为：6或10． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求代数式的值，提公因式法因式分解．若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程的根与系数的关系求得和的值，并将其代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ∴ ． 故答案为：． 14．(1) (2)， 【分析】（）按照解分式方程的步骤解答即可； （）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程的步骤和解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程整理得，， ∴， ∴或， ∴，． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 16．(1)30 (2)每件商品应降价20元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若降价5元，则平均每天销售数量件； （2）解：设每件商品应降价x元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件商品应降价20元． 17．(1)30，330 (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，列出算式求解即可； （2）根据题意，假设应降价元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：当每千克荔枝降价5元时，销量为（千克）， 每天盈利为：（元） 所以，每天销量可达千克，每天盈利330元， 故答案为：30，330； （2）解：设应降价元，根据题意得， ， 解得或， 为让顾客得到实惠，取， 所以，每千克应降价4元． 18．经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的 【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长．设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】解：设经t秒，面积等于矩形面积的， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴当点M到达点B时，点N到达点A，两点同时停止运动， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$