精品解析： 北京市十一晋元中学2025～2026学年上学期数学九年级暑假学习成果挑战赛试卷（开学考）

北京十一晋元中学2025～2026学年度 初三年级第九学段暑假学习成果挑战赛数学Ⅱ课程 考试时间：60分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，23道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：C项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、B、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形， 故选：C． 2. 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．根据，无法判断四边形是平行四边形，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 5. 某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 3 8 6 5 2 则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ） A. 7和7 B. 7和8 C. 8和7 D. 8和8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多， 所以本次测试学生答对题数的众数是7； 因为共有24人， 所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即， 故选：C． 6. 一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： 则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先根据待定系数法求出一次函数的解析式，再解不等式求解． 【详解】解：将代入 解得： ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案. 【详解】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m， 由题意得：. 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 8. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，可得，进而可得，则，即，从而可得答案． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 即， 故C选项正确，符合题意； 根据已知条件不能得出A、B、D选项， 故A、B、D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题共32分，每小题4分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点关于原点过对称的点的坐标是． 故答案为： 10. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足． 根据一次函数的性质，时，y随x的增大而减小，不妨令，把经过的点代入求出b的值即可． 【详解】的图象经过，且y随x的增大而减小， ， 不妨令， 则， 把代入得， ． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：5． 12. 如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 先根据旋转的性质得出点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，即可得到答案． 【详解】解：绕某点旋转，得到， 点的对应点为点，点的对应点为点， 如图，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为， ， 旋转中心的坐标是， 故答案为：． 13. 一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成，各部分成绩均按百分制计，然后再按小组自评占、组间互评占、教师评价占，计算小组的综合成绩，甲、乙两个小组各部分的成绩如下表所示，则____________组的综合成绩更高（填“甲”或“乙”）． 小组 小组自评 组间互评 教师评价 甲组 乙组 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了数据的加权平均数，熟悉掌握数据的百分制运算是解题的关键． 根据各组数据的百分制进行运算加权平均数求解比较即可． 【详解】解：甲组的综合成绩为：； 乙组的综合成绩为：； 故乙组的综合成绩更高， 故答案为：乙． 14. 如图，点M在反比例函数的图象上，过点M作轴于点A，交反比例函数的图象于N点，连接，，若的面积为1，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的几何意义的应用，利用反比例函数k的几何意义表示出，，结合的面积为1，求出k的值即可． 【详解】解：∵轴，点M在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于N点， ∴，， ∵的面积为1，即， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，、交于点O，于点E，连接，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．由菱形的性质可知，是的中点，进而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴是的中点， 在中，， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 16. 平面直角坐标系中，点，点B与点C在直线上．若四边形是平行四边形，则________；若四边形是菱形（），且面积为4，则点B的坐标为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可确定；过点B作，过点作轴于点，过点作于点，四边形的面积为4，可得，则可得直线是直线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，得出直线的解析式为，设点B的坐标为，再利用列出方程即可求解． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∵点B与点C在直线， ∴； 根据题意，过点B作，过点作轴于点，过点作于点， ∵四边形是菱形（），， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∵， ∴点到轴和轴的距离相等， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即直线是直线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 由（1）可知，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设点B的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 三、解答题（本题共44分，第17题8分，第18～23题，每小题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程． 利用提公因式法分解因式可得：，根据两数的乘积为，则这两个数中至少有一个为，可得两个一元一次方程：或，解两个一元一次方程即可求出原方程的解； 利用十字相乘法分解因式可得：：，根据两数的乘积为，则这两个数中至少有一个为，可得两个一元一次方程：或，解两个一元一次方程即可求出原方程的解． 【小问1详解】 解：， 整理得：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 18. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：根据题意，得 ， 即， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式的意义可得，然后判断即可求解； （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，， ∵方程有一个根为负数， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，射线即为求作的； （2） 证明：是的角平分线， ． 点E，F分别是，的中点， ． ． ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形 ，， ． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和矩形的判定． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到，则，所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）若，求这个正比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的综合问题，运用数形结合思想是解题的关键． （1）将代入一次函数解析式求出b，再将点P代入一次函数解析式求出k的值即可得解； （2）求出根据点P的坐标结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴这个正比例函数的解析式是：； 【小问2详解】 由题意可知：正比例函数图象介于如下两根虚线之间(含平行的虚线，不含过点P的虚线)， ∴． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组求函数交点，一元一次不等式，一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入两个函数表达式，然后联立，解方程组即可得到答案； （2）先联立两个函数，求得点坐标，然后判断出点在上，将其代入，求得，然后分在函数的图象与函数上两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，函数表达式分别为，. 根据题意，得， 解得， . 【小问2详解】 解：联立，解得， 那么， 由题意可知，时，在上，那么有： 当时，代入，得到. 当在上时，代入，. ， ， ； 当在上时，代入，． ， ， ； 综上所述，的取值范围是或． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 23. 在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图． 四边形为矩形， ． 的平分线交于点， ． ， ． ． ． ． ， ． （2） ①证明：如图，连接． 已证． ． ． ． ， ， ． ． ． ，即点为线段的中点． ②解：． 证明：如图，连接，取的中点，连接，． 的中点为， 分别是的外角， 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，进而得到即可解题； （2）①连接，证明即可得到，然后根据等角的余角相等得到，然后根据等角对等边得到结论即可； ②连接，取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而求出，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一晋元中学2025～2026学年度 初三年级第九学段暑假学习成果挑战赛数学Ⅱ课程 考试时间：60分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，23道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 3 8 6 5 2 则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ） A. 7和7 B. 7和8 C. 8和7 D. 8和8 6. 一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： 则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 7. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共32分，每小题4分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 10. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是______．（写出一个即可） 11. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 12. 如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______． 13. 一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成，各部分成绩均按百分制计，然后再按小组自评占、组间互评占、教师评价占，计算小组的综合成绩，甲、乙两个小组各部分的成绩如下表所示，则____________组的综合成绩更高（填“甲”或“乙”）． 小组 小组自评 组间互评 教师评价 甲组 乙组 14. 如图，点M在反比例函数的图象上，过点M作轴于点A，交反比例函数的图象于N点，连接，，若的面积为1，则k的值为________． 15. 如图，在菱形中，、交于点O，于点E，连接，若，则菱形的面积为______． 16. 平面直角坐标系中，点，点B与点C在直线上．若四边形是平行四边形，则________；若四边形是菱形（），且面积为4，则点B的坐标为________． 三、解答题（本题共44分，第17题8分，第18～23题，每小题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 19. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 20. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）若，求这个正比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 23. 在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $