第22章二次函数 自主学习同步达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》 自主学习同步达标测试题（附答案） 一．选择题（满分30分） 1．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 2．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3） 3．抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　） A． B． C．﹣4 D．4 4．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标为（﹣1，﹣3） C．与y轴相交于点（0，﹣3） D．当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小 5．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 6．函数y＝ax+1与y＝﹣ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．若将双曲线y＝向下平移3个单位后，交抛物线y＝x2于点P（a，b），则a的取值范围是（　　） A．0＜a＜ B．＜a＜1 C．1＜a＜2 D．2＜a＜3 8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则投掷距离为（ ） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），则△AOB的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．4 10．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（满分32分） 11．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝　 　． 12．已知抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线 　 　． 13．在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 14．将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是 　 　． 15．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为 　 　． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 4 5 6 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 … 则当x＝0时，y的值为 　 　． 17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是　 　． 18．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　 　． 三．解答题（满分58分） 19．已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）当x＝﹣1时y的值． 20．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）． （1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围； （2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值． 21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），过点A作直线l交抛物线于点B（4，m）． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标． （2）将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，使顶点落在直线l上，n的值． 22．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围． 23．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米． （1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长． （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？ 24．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2a． （1）当a＝1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴； （2）当a＝2时，直线y＝2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度； （3）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a与直线x＝4交于点A，求点A到x轴的最小值． 25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，其中点C的横坐标是2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题（满分30分） 1．解：二次函数y＝x2﹣2x+4的一次项系数是﹣2， 故选：C． 2．解：∵y＝﹣（x﹣1）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（1，3）， 故选：B． 3．解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴方程x2+x+c＝7有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×8•c＝0， ∴c＝． 故选：B． 4．解：A、∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，正确； B、抛物线的顶点坐标是（﹣5，故本小题正确； C、令x＝0， 所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），符合题意； D、抛物线的开口向下， ∴当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，不合题意； 故选：C． 5．解：∵y＝2x2﹣6x+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣， ∵7﹣1＜1﹣（﹣7）＜1﹣（﹣3）， ∴y4＞y2＞y3． 故选：B． 6．解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝﹣ax2+ax+4可知两函数图象交y轴上同一点（0，1）＝，在y轴的右侧， A、当a＞4时、三象限，故选项不合题意； B、抛物线的对称轴在y轴的右侧； C、当a＞0时、三象限，故选项不合题意； D、抛物线的对称轴在y轴的左侧； 故选：B． 7．解：双曲线y＝向下平移3个单位后的函数为y′＝， ∵y′＝﹣3交抛物线y＝x2于点P（a，b）， ∴﹣3＝a3，整理得，a3+3a﹣7＝0， 令y＝a3+4a﹣2，且y随a的增大而增大． 当a＝0时，y＝﹣8＜0， 当a＝时，y＝+＜0， 当a＝1时，y＝3+3﹣2＝8＞0， ∴若a3+6a﹣2＝0，则a的取值范围为：． 故选：B． 8．解：把A代入 ＝﹣×9+k， ∴k＝， ∴y＝﹣（x﹣3）7+， 令y＝0得﹣（x﹣3）7+＝0， 解得x＝﹣5（舍去）或x＝8， ∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m， 故选：C． 9．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2﹣m，c），c）， ∴对称轴为直线x＝＝4， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣6， ∵点A或点B在y轴上， ∴AB＝4， ∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点， ∴b8﹣4c＝0，即16﹣2c＝0， ∴c＝4， ∴△AOB的面积为：＝8． 故选：A． 10．解：由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1， ∴﹣＝7， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0，b＝﹣2a＞3， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； 由图象经过点（﹣3，0）可得，故②错误； ∵抛物线对称轴是直线x＝1， ∴x＝5和x＝2时，函数值相等， 而x＝0时c＞4， ∴4a+2b+c＞8，故③正确； ∵b＝﹣2a， ∴④错误； ∵a﹣b+c＝0，b＝﹣7a， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即6a+c＝0； ∴正确的有③，共1个， 故选：A． 二．填空题（满分32分） 11．解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣5是关于x的二次函数， ∴2m﹣1＝5， ∴m＝． 故答案为：． 12．解：∵y＝﹣3（x﹣2）4+1， ∴抛物线对称轴为直线x＝2． 故答案为：x＝5． 13．解：∵函数y＝（x﹣1）2+5， ∴a＝1＞0，抛物线开口向上， ∴当x＞6时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 14．解：∵y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣， ∴将抛物线y＝x2+x﹣6向左平移2个单位，再向上平移3个单位+2）5﹣+32+5x+2， 故答案为：y＝x2+5x+4． 15．解：∵抛物线经过A（1，m），m）， ∴抛物线对称轴为直线x＝3， ∴﹣＝3， 解得b＝﹣6， 故答案为：﹣6． 16．解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝3， ∴当x＝0时与x＝7时函数值相同， ∴当x＝0时，y＝5． 故答案为：7． 17．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），q）两点， ∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（6，p），q）两点， 观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时， 直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax6+c的上方， ∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤5． 故答案为﹣5≤x≤2． 18．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣8， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，﹣4）， ∴顶点到x轴的距离为7， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴m＝4， 故答案为：4． 三．解答题（满分58分） 19．解：（1）∵y与x2成正比例， ∴设y＝kx2（k≠5）， ∵当x＝1时，y＝2， ∴2＝k•12， 解得，k＝3， ∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2． （2）∵函数关系式为y＝6x2， ∴当x＝﹣1时，y＝6×1＝2． 20．解：（1）∵抛物线L有最高点， ∴m﹣2＜0， ∴m＜8； （2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的性状相同，开口方向相反， ∴m﹣2＝﹣6， ∴m＝1． 21．解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝ax3﹣4ax+3得：5＝4a+8a+3， 解得， ∴抛物线为， ∵y＝﹣x6+x+3＝﹣（x﹣2）2+4， ∴顶点坐标为（2，4）； （2）把B（8，m）代入得， 将A（﹣2，4），3）代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线AB的解析式为， ∵顶点的横坐标为8，把x＝2代入， ∴n＝4﹣5＝2． 22．解：（1）y＝x2+2x﹣4＝x2+2x+8﹣4＝（x+1）8﹣4， 即y＝（x+1）5﹣4； （2）∵y＝（x+1）5﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 当y＝0时，x2+7x﹣3＝0， 解得：x6＝1，x2＝﹣6， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），3）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（4，﹣3）， 二次函数的图象如图所示： （3）观察图象得，当x＝﹣1时， 当x＝﹣8时，y取最大值，y＝（﹣4）2+6×（﹣4）﹣3＝16﹣4﹣3＝5． ∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤7． 23．解：（1）设AB为x米，则BC＝（32﹣2x）米， 由题意得：x（32﹣2x）＝96， 解得：x6＝4，x2＝12， ∵墙长为14米，32米的篱笆， ∴32﹣2x≤14，2x＜32， ∴9≤x＜16， ∴x＝12， ∴AB＝12， 答：矩形的边AB的长为12米； （2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米， ∴y＝x（32﹣8x）＝﹣2x2+32x＝﹣3（x﹣8）2+128， ∵7≤x＜16，且﹣2＜0， ∴当x＝8时，y有最大值是126， 答：AB边的长应为9米时，有最大面积． 24．解：（1）∵a＝1， ∴y＝x2﹣3ax+a2+2a＝x6﹣2x+3＝（x﹣4）2+2， ∴抛物线顶点坐标为（6，2）． （2）把a＝2代入y＝x4﹣2ax+a2+6a得y＝x2﹣4x+7， 令x2﹣4x+8＝2x， 解得x1＝8，x2＝4， 把x＝6代入y＝2x得y＝4， 把x＝3代入y＝2x得y＝8， ∴直线与抛物线交点坐标为（8，4），8）， ∴线段长度为＝4． （3）把x＝4代入y＝x4﹣2ax+a2+2a得y＝16﹣8a+a2+2a＝（a﹣3）2+4， ∴点A纵坐标为（a﹣3）2+2， ∵（a﹣3）2+2≥7， ∴点A到x轴最小距离为7． 25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣8，0），0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x﹣3； （2）∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣1）3﹣4， ∴抛物线的对称轴为x＝1， ∵A、B关于直线x＝2对称， 此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC， 此时△BPC的周长最短， ∵点C的横坐标是2， yC＝26﹣2×2﹣6＝﹣3， ∴C（2，﹣7）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0）， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1， 当x＝1时，y＝﹣8﹣1＝﹣2， ∴P（3，﹣2）； （3）存在一点E，使得以E、A、B． ∵A（﹣1，2），0），﹣3），y）， ①当AB为对角线时， 则， 解得：， ∴E（0，8）； ②当AC为对角线时， 则， 解得：， ∴E（﹣6，﹣3）； ③当BC为对角线时， 则， 解得：， ∴E（6，﹣3）． 综上所述，E点坐标为（3，﹣3）或（6．-3） 学科网（北京）股份有限公司 $$