第13章 勾股定理 同步训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第13章 勾股定理 一、单选题 1．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 2．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，那么点表示的无理数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图是屋架设计图的一部分，如果斜梁、横梁，那么从横梁上的任意一点D支一根木头顶往屋顶A处，这根木头的长度可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 7．直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 10．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为 ． 11．如图，在中，．若E，F是中线上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 12．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 13．如图，在中，，，为边上一点，过作，交于，连接并延长，交于点，已知，则的长为 ． 三、解答题 14．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 15．如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，若，求的长． 16．如图，在四边形中，，，，已知四边形的周长为30． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 17．在中，，为内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图①，当，时，求的度数． (2)如图②，当时，求的度数． 18．如图，在中，，，，垂足分别为、，为中点，与、分别交于点，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)试探索，，之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理，无理数，解题的关键是正确理解作图过程． 根据勾股定理可得的长度，结合作图过程可知，从而可得点表示的无理数． 【详解】解：根据题意可知， ∵，， ∴， 由作图过程可知，， ∴， ∴点表示的无理数是， 故选：． 4．C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于点E，由等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，然后由，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，，即， 故这根木头需要长度可能是， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是三角形三边关系的应用． 根据勾股定理求出，然后由三角形三边关系进行计算． 【详解】解：由，，， 得：， 旋转得到，是的中点，是的中点， 得：，， ∴． 故选：B ． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、整式的混合运算，根据、都为正整数，可得：，根据勾股定理可得：，整理可得：，从而可得：三角形三边长分别为、、，三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数，根据三角形三边长的特征判断即可． 【详解】解：、都为正整数， ， 是直角三角形的斜边， 整理得：， 移项、合并同类项得：， 两边同时除以得：， ，， 三角形三边长分别为、、， 三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数， A选项：当时，， 此时， 三边长分别为、、， 故A选项符合条件； B选项： 不是、、的倍数， 故B选项不符合题意； C选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意； D选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的内角和，全等三角形的判定，勾股定理．逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：，， ， 又， ，， ，，， 故A错误． ∴，， ∴，即， ∴， 故C 错误． 由，而中，，， 与不全等，故B错误． 过点A作于点M，如图 有， ∴， 即 ，， ． ． ，故D正确． 故选D． 9． 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 10．/ 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．先由勾股定理得到，由三角形外角的性质得到，结合得到，从而，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 11．6 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，通过观察可以发现该图形是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键． 由图形知，本图是轴对称图形，对称轴是所在的直线．所以阴影部分的面积为全面积的一半，由轴对称图形的性质知，，是三角形的高，，，从而得到阴影部分的面积为6． 【详解】解： ∴是等腰三角形 ∵为等腰三角形的中线 ，， 、关于对称，与关于对称 ，，， ， ． 故答案为：6． 12． 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．首先证明，，易得，可知；作，垂足分别为L，H，连接，证明，由全等三角形的性质可得，进而求得、、的值，再结合三角形面积公式求得的长度，进一步计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，垂足分别为，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 15． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质等知识．先证明，可得，，进而得出是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即． 16．(1)8 (2) 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型． （1）连接，先求出，设，则，利用勾股定理可求出的长度，从而可求出答案． （2）过点D作于点E，根据等边三角形的性质可求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接, ∵，， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴， ∵四边形的周长为30， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得 ∴； （2）解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型-旋转型全等，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，根据旋转的性质可得，从而证明，可得，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）连接，仿照（1）的解题思路，即可解答． 【详解】（1）解：连接， 由旋转得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：连接， 由旋转得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）由于点，得，则，所以； （2）由于点，于点，得，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （3）连接，先证明，得，由，为中点，得，则，由勾股定理得，所以． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ， ； （2）证明：于点，于点， ， ， 在和中， ， ； （3）解：， 理由：如图，连接， 在和中， ， ， ， ，为中点， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$