2.2.3 直线的一般式方程课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.2.3 直线的一般式方程 第2章 作者编号：32200 1. 掌握直线方程的一般式，并会用它求直线的方程. 2. 掌握五种直线方程之间的关系，并会选择合适的形式求解直线方程. 3.理解并掌握含参数的直线的一般式方程. 学习目标 作者编号：32200 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程. 2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线. 新课导入 … … … 作者编号：32200 观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，截距式＋＝1，你能发现它们都是什么类型的方程？ 都是关于x，y的二元一次方程 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 新知探究 … … … 作者编号：32200 可以；x − x0 = 0 可化为 x + 0·y − x0 = 0； 讨论1:当直线 l 过点 P0 (x0，y0) 且斜率不存在，即倾斜角 α = 90°时，直线 l 的方程为 x − x0 = 0，此时直线方程可以看成关于 x，y 的二元一次方程吗？ 结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示； 形式： Ax + By + C = 0 ( A、B 不同时为 0 ). 新知探究 … … … 作者编号：32200 讨论2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不同时为0) 都表示一条直线吗？ 结论2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0) 都表示一条直线． ① 当B ≠ 0 时： ② 当B = 0，A ≠ 0 时： 方程变形为 ，表示过点 (0， )，斜率为 的直线； 方程变形为 ，表示过点 ( ，0)，且垂直于 x 轴的直线. 新知探究 … … … 作者编号：32200 把关于的二元一次方程 (其中，不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式. 注：直线的一般式适用于所有直线. 直线的一般式方程 知识梳理 作者编号：32200 二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线 ． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线 ． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线 ． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线 ． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线 ． 与x轴平行 与x轴垂直 与x轴重合 与y轴重合 过原点 新知探究 … … … 作者编号：32200 例1 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式： 新知探究 … … … 作者编号：32200 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种形式之一求方程，然后转化为一般式. 归纳总结 作者编号：32200 例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是－3； (2)直线l的斜率是－1. 解：(1)当直线在x轴上的截距为-3时，有，且m2－2m－3≠0， 解得m＝. (2)当斜率为-1时有，且2m2＋m－1≠0， 解得m＝-2. 新知探究 … … … 作者编号：32200 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤: 归纳总结 作者编号：32200 例3 在△ABC中，A(4，2)，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求： (1)直线AB，AC的方程； (2)△ABC的面积S. 解：(1)∵直线AB在y轴上的截距为1，∴其过点D(0，1)， ∴直线AB的方程为，即x－4y＋4＝0， 由题意知直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1， ∴直线AC的方程为y－2＝x－4，化简得x－y－2＝0. 新知探究 … … … 作者编号：32200 (2)由(1)知，直线AB的方程为x－4y＋4＝0， 令y＝0，得x＝－4，故B(－4，0)， 直线AC的方程为x－y－2＝0， 令x＝0，得y＝－2，故C(0，－2). ∴S＝S△ACD＋S△BCD＝＝4|CD|＝12. 例3 在△ABC中，A(4，2)，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求： (2)△ABC的面积S. 新知探究 … … … 作者编号：32200 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 课堂总结 … … … 作者编号：32200 ABC 当堂检测 … … … 作者编号：32200 2.在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( ) A.30° B.60° C.150° D.120° 3.过点(2，1)，斜率k＝－2的直线方程为( ) A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0 C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0 C D 当堂检测 … … … 作者编号：32200 4.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是( ) C 当堂检测 … … … 作者编号：32200 (2)由截距式方程，得直线方程为eq \f(x,\f(3,2))＋eq \f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0. (3)由两点式方程，得直线方程为eq \f(y－（－2）,－4－（－2）)＝eq \f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0. (1)斜率是－eq \f(1,2)，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)和－3； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4). 解：(1)由点斜式方程，得直线方程为y＋6＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y＋4＝0. 1.(多选)下列说法错误的是( ) A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B.经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 C.不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示 D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 $$