2.2.4 直线的方向向量与法向量课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.2.4 直线的 方向向量与法向量 第2章 作者编号：32200 1. 了解直线的方向向量与法向量. 2. 会利用直线的方向向量与法向量求直线的方程. 学习目标 作者编号：32200 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 知识回顾 … … … 作者编号：32200 问题：一开始就用直线的斜率(倾斜程度)来表示直线的方向，那么什么叫作直线PQ的方向？ 直线上两个不同点PQ之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量来表示． 注意：直线PQ与QP是同一条直线，两个相反向量，的方向都代表直线 l 的方向，此时这两个方向平行． 新知探究 … … … 作者编号：32200 1.直线的方向向量 把与直线l平行的非零向量都称为l的方向向量. 直线l的方向向量并不唯一， 的所有非零实数倍λ都是方向向量. 反过来，所有的方向向量都与平行. A 因此，直线的所有方向向量相互平行，互为实数倍. 知识梳理 作者编号：32200 2.直线的法向量 与直线垂直的非零向量称为直线的法向量. 直线l的法向量并不唯一， 的所有非零实数倍λ都是方向向量. 反过来，所有的法向量都与l垂直. 因此，直线的所有法向量相互平行，互为实数倍. 直线的方向向量与法向量相垂直，=0. 知识梳理 作者编号：32200 探究1：求直线的方向向量和法向量. 解：直线上任意两点 的坐标满足：. 即. 方向向量 ，可以取任何非零实数. 斜率为的直线的一个方向向量为，法向量为. 新知探究 … … … 作者编号：32200 探究2：求倾斜角为的方向向量和法向量. 倾斜角为的直线的一个方向向量为 斜率为的直线的一个法向量为. 新知探究 … … … 作者编号：32200 探究3：求直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)的方向向量和法向量. 直线上任意两点 的坐标均满足方程，得： ， ① . ② ②-①得， 可变形为： ③ 该式可向量与向量的数量积. 即： ，用几何语言描述就是. ∵ ∴向量为直线一个法向量， 此时直线的一个法向量为，方向向量为. 作者编号：32200 例1 求直线4x－y＋5＝0的全体方向向量. 解：(方法一)直线的全体法向量为λ(4，-1)，全体方向向量为λ(-1，-4)，其中λ为任意非零实数. (方法二)将直线4x－y＋5＝0化为斜截式为y＝4x＋5， 其斜率k＝4， 因此，该直线的全体方向向量为λ(1，4)，其中λ为任意非零实数. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2求下列直线的方程： (1)经过点(2，1)，且垂直于n＝(2，－3)； (2)经过点(2，－3)，且平行于v＝(2，4). 解：(1)由题意知直线的一个法向量为n＝(2，－3)， ∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0， 代入点(2，1)得4－3＋C＝0， 解得C＝－1， ∴直线的方程为2x－3y－1＝0. 新知探究 … … … 作者编号：32200 (2)经过点(2，－3)，且平行于v＝(2，4). (2)(方法一)由题意知，直线的一个方向向量为v＝(2，4)，∴k＝＝2， 故所求直线的方程为y＋3＝2(x－2)， 即2x－y－7＝0. (方法二)由题意知，直线的一个方向向量为v＝(2，4)， ∴直线的一个法向量为n＝(4，－2)， 故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0， 代入点(2，－3)，得8＋6＋C＝0， 解得C＝－14， ∴所求直线的方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0. 作者编号：32200 (1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C. (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量. 归纳总结 已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路： 作者编号：32200 回顾本节课，回答下列问题： (1)直线y＝kx＋b的一个方向向量和法向量； 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)的一个方向向量和法向量. (2)已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为什么？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.已知直线l的倾斜角为80°，则直线l的一个方向向量的坐标为( ) A.(1，tan 80°) B.(1，sin 80°) C.(cos 80°，1) D.(cos 80°，0) 2. 已知直线l的方向向量为(1，5)，则直线l的法向量为( ) A.(5，1) B.(-1，5) C.(5，-1) D.(-5，-1) A C 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝________. 4.已知直线l过点A(3，5)，且a＝(1，6)是直线l的一个法向量，则直线l的一般式方程为 . 3 x＋6y－33＝0 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $$