第一章 特殊平行四边形 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择 下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是 A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有 个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形 D．一组对边平行且相等，且两条对角线相等 如图，菱形 中，，则 A． B． C． D． 如图，在平行四边形 中，点 为边 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点 落在边 上，，，则边 的长是 A． B． C． D． 如图，在矩形 中，点 的坐标是 ，则 的长是 A． B． C． D． 如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处．若 ，则 等于 A． B． C． D． 如图，在正方形 中，，，那么 等于 A． B． C． D． 如图，在菱形纸片 中，对角线 ， 长分别为 ，，折叠纸片使点 落在 上，折痕交 于点 ，则 的长为 A． B． C． D． 如图，延长正方形 的 边至点 ，使 ，则 度． A． B． C． D． 如图，菱形 中，，，点 ，， 分别在 ，， 上，，，当 为直角三角形时， 的长为 A． 或 B． C． 或 D． 或 如图，菱形 中，点 ， 分别是 ， 上的动点，，， 与 相交于点 ，则下列结论中，正确的个数有 ① ；② 是等边三角形；③ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题 如图，在菱形 中，， 是对角线，如果 ，那么 等于 ． 如图，在 中，，点 是 的中点，，则 ． 如图，以 为边在正方形内部 内部作等边 ，连接 ，，则 ． 如图，矩形 中，，，对角线 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，连接 ，则 的长为 ． 如图，矩形 面积为 ，点 在边 上，，，垂足分别为 ，．若 ，则 ． 已知：如图， 为坐标原点，四边形 为矩形，，，点 是 的中点，点 在边 上运动，当 是腰长为 的等腰三角形时，则 点的坐标为 ． 如图，将正方形 沿 折叠，点 恰好落在 上的点 处，若 ，，则折痕 的长度为 ． 如图，矩形 中，，，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处．当 为直角三角形时， 的长为 ． 三、解答题 如图，在菱形 中，点 是对角线 的中点，过点 的直线 与边 、 交于点 ，，，连接 、 ． (1) 求证：四边形 是矩形． (2) 若 ，，直接写出四边形 的面积． 如图，将矩形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ． (1) 求证：； (2) 若 ，，求图中阴影部分的面积． 在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ． 过点 且与 分别相交于点 ，． (1) 如图①，求证：； (2) 如图②，若 ，垂足为 ，求证：四边形 是菱形． 如图，在 中，点 是 的中点，点 是线段 的延长线上的一动点，连接 ，过点 作 的平行线 ，与线段 的延长线交于点 ，连接 ，． (1) 求证：四边形 是平行四边形． (2) 若 ，，则在点 的运动过程中： ①当 时，四边形 是矩形，试说明理由； ②当 时，四边形 是菱形． 如图，四边形 是正方形，点 是 边上的点，，且 交正方形外角的平分线 于点 ． (1) 如图①，当点 是 边上任一点（不与点 ， 重合）时，求证：． (2) 如图②，当点 是 边的延长线上一点时，（）中的结论还成立吗？ （填成立或者不成立）． (3) 当点 是 边上任一点（不与点 ， 重合）时，若已知 ，那么 的度数是否发生变化？证明你的结论． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】C 2. 【答案】D 【解析】 四边形 是菱形， ，， ， ， ， ． 故选D． 3. 【答案】A 【解析】如图，设 与 的交点为 ． 四边形 是平行四边形， ，． 将 沿 翻折， ，，． ， ， ， ， ， 四边形 是菱形， 则 ，，， ， ． 故选A． 4. 【答案】C 【解析】连接 ． 四边形 是矩形， ， 点 的坐标是 ， ， ． 5. 【答案】C 【解析】 四边形 是矩形， ， 由折叠的性质得 ，， ， ． 6. 【答案】C 【解析】过 作 交 于 ， 则 ， 四边形 是正方形， ，，， ，， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 7. 【答案】A 【解析】设 点的对应点为 ，连接 ， 由折叠的性质可得：，， 四边形 是菱形． ，，， ， 设 ，则 ，，， 在 中，， 即 ，解得：，即 ， ． 8. 【答案】C 【解析】连接 ， 四边形 为正方形，， ， 平分 ， ， 在等腰三角形 中， ， 故选：C． 9. 【答案】A 10. 【答案】D 【解析】（）因为 ，四边形 是菱形， 所以 ， 所以 ； （）因为 ， 所以 ，， 所以 ， 所以 ， 所以 是等边三角形； （）由②知 ， 所以 ， 所以 ． 二、填空题（共8题） 11. 【答案】 【解析】 四边形 是菱形， ， ， ， ． 12. 【答案】 【解析】 ， 为 中点， （直角三角形中，斜边中线等于斜边一半）． 13. 【答案】 【解析】 在正方形 中 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 14. 【答案】 【解析】连接 ， ， 互相垂直平分， 四边形 是菱形， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， ． 15. 【答案】 【解析】 ， 交于 点， ． ， ， ． ． 16. 【答案】 或 或 【解析】（） 是等腰三角形的底边时， 就是 的垂直平分线与 的交点，此时 ； （） 是等腰三角形的一条腰时： ①若点 是顶角顶点时， 点就是以点 为圆心，以 为半径的弧与 的交点， 在直角 中，，则 的坐标是 ． ②若 是顶角顶点时， 点就是以点 为圆心，以 为半径的弧与 的交点， 过 作 于点 ， 在直角 中，， 当 在 的左边时，，则 的坐标是 ； 当 在 的右侧时，，则 的坐标是 ． 故 的坐标为： 或 或 ． 17. 【答案】 【解析】过 作 于 ，连接 ， 则 ， 将正方形 的一角折向边 ，使点 与 上一点 重合， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ． 18. 【答案】 或 【解析】当 为直角三角形时，有两种情况： ①当点 落在矩形内部时，如答图 所示．连接 ， 在 中，，， ， 沿 折叠，使点 落在点 处， ， 当 为直角三角形时，只能得到 ， 点 ，， 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处， ，， ， 设 ，则 ，， 在 中， ， ，解得 ， ； ②当点 落在 边上时，如答图 所示． 此时 为正方形， ． 综上所述， 的长为 或 ． 三、解答题（共5题） 19. 【答案】 (1) 四边形 是菱形， ， ， ，． 是 中点， ． 在 和 中 ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ，． ， ， ，， ， 四边形 是矩形． (2) 【解析】 (2) 四边形 是矩形， ， ， ，， ． 四边形 是菱形， ， 设 ，则 ， ，解得 ， ， ， ． 20. 【答案】 (1) 由翻折性质知：，， 四边形 为矩形， ，， ，， 在 和 中， ． (2) ， ， 设 ，则 ， 在 中，， 即 ，解得 ， ， 阴影部分的面积为 ． 21. 【答案】 (1) 四边形 是平行四边形， ，， ， 在 与 中， ， ； (2) ，， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形． 22. 【答案】 (1) ， ，， 点 是 的中点， ， 在 和 中， ， ， 四边形 是平行四边形． (2) ① 当四边形 是矩形时，， ， ， ， ． ② 【解析】 (2) 四边形 是菱形时，， ， ， 是等边三角形， ． 23. 【答案】 (1) 在 边取一点 ，使 ，连接 ， 四边形 是正方形， ，，， ，即 ， ，， ，， ， ， 平分 ， ， ， ， ． (2) 成立 (3) 不发生变化． 在 边取一点 ，使 ，连接 ，分别过点 ， 作 ，，垂足分别为点 ，， ， 由（）中知，，， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ． 【解析】 (2) 在 的延长线上取点 ，使得：，连接 ， 四边形 为正方形，， ，， 为等腰直角三角形， ， 又 为正方形的外角平分线， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在 和 中， ， ． 故答案为：成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$