吉林省白城市实验高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

白城实验高中高三年级开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合．若，且中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9，则中的两位数的个数为（ ） A. 72 B. 78 C. 81 D. 90 2.Sn＝＋＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 3.三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 4.已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为(　　) A. B. 1 C. D. 5.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　) A. 3 B. C. 2 D. 6.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a<b<c B. c<b<a C. b<a<c D. b<c<a 7.若sin x=，则在区间上解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.如图，AC=2R为圆O的直径，∠PCA=45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是(　　) A. 平面ANS⊥平面PBC B. 平面ANS⊥平面PAB C. 平面PAB⊥平面PBC D. 平面ABC⊥平面PAC 10.设函数f(x)＝x，下列四个命题正确的是(　　) A. 函数f(x)为偶函数 B. 若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1 C. 函数f(－x2＋2x)在(1，2)上为单调递增函数 D. 若0<a<1，则|f(1＋a)|>|f(1－a)| 11.已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ） A. 圆上恰有一个点到的距离为 B. 直线恒过点 C. 的最小值是 D. 四边形面积的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则的最小值为___________. 13.的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 14.设为数列的前n项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列是首项为2，公差不为0的等差数列，且数列是“和等比数列”，则 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知等比数列的首项为，公比为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由. 16.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. （1）求再打2球该局比赛结束的概率； （2）两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； （3）若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 17.如图，已知为抛物线的焦点，过的弦交曲线于点（与不重合）． （1）求证：点为弦的中点； （2）连并延长交抛物线于点，求面积的最小值． 18.甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3，p4(用p表示)； (2)若=4，求p； (3)证明：对任意正整数m，p2m+1－q2m+1<p2m－q2m<p2m+2－q2m+2. 19.设函数. （1）当时，求在处切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白城实验高中高三年级开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合．若，且中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9，则中的两位数的个数为（ ） A. 72 B. 78 C. 81 D. 90 【答案】A 【解析】行表示个位，列表示十位，集合中的两位数如下表所示 由，对于集合中的两位数元素， 任意一个元素的各数位的数字互不相同，排除； 任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9，排除； 共有90个两位数，排除其中18个，所以中的两位数的个数为72个. 故选：A 2.Sn＝＋＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由Sn＝＋＋＋…＋，① 得Sn＝＋＋…＋＋，② ①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－， 所以Sn＝. 3.三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 【答案】B 【解析】第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法； 第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法. 故选：B. 4.已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为(　　) A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面圆半径为r，如图． 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则解得r2＝1，l2＝4， 则圆锥的高h＝＝. 5.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】设椭圆＋＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)， 则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝， 所以dmax＝＝. 6.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a<b<c B. c<b<a C. b<a<c D. b<c<a 【答案】C 【解析】易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)， ∴g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)，则c>a>b. 7.若sin x=，则在区间上解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】因为sin x=，所以x=，或x=，. 又因为，所以x=或x=. sin x=，则在区间上解的个数为2. 故选：B. 8.下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，高为， 依题意，，解得，， 而圆台的母线长， 因此圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.如图，AC=2R为圆O的直径，∠PCA=45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是(　　) A. 平面ANS⊥平面PBC B. 平面ANS⊥平面PAB C. 平面PAB⊥平面PBC D. 平面ABC⊥平面PAC 【答案】ACD 【解析】AC为圆O的直径，∠PCA=45°，PA垂直于圆O所在的平面， B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N， 在A中，PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A， ∴BC⊥平面PAB，∵AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN， ∵AN⊥PB于N，PB∩BC=B，∴AN⊥平面PBC， ∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，故A正确； 在B中，∵AS⊥PC，AN⊥PC，AS∩AN=A，∴PC⊥平面ANS， ∵PB∩PC=P，∴PB与平面ASN相交但不垂直， ∵PA∩PC=P，∴PA与平面ASN相交但不垂直， ∴平面ASN⊥平面PAB不成立，故B错误． 在C中，∵PA∩BC，AB⊥BC，PA∩AB=A， ∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确； 在D中，∵PA垂直于圆O所在的平面，PA⊂平面PAC， ∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确. 10.设函数f(x)＝x，下列四个命题正确的是(　　) A. 函数f(x)为偶函数 B. 若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1 C. 函数f(－x2＋2x)在(1，2)上为单调递增函数 D. 若0<a<1，则|f(1＋a)|>|f(1－a)| 【答案】BC 【解析】A选项，f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)是非奇非偶函数，A错误． B选项，由于f(a)＝|f(b)|，a≠b，a>0，b>0， 所以a＝－b，a＋b＝0，ab＝0，ab＝1，B正确． C选项，f(－x2＋2x)＝(－x2＋2x)， 由－x2＋2x>0，解得0<x<2，又y＝－x2＋2x的开口向下，对称轴为x＝1， 根据复合函数单调性同增异减可知函数f(－x2＋2x)在(1，2)上为单调递增函数，C正确． D选项，由于0<a<1，所以1＋a>1>1－a， 所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|，则－(1＋a)>(1－a)， 即(1－a)(1＋a)＝(1－a2)<0， 由于1－a2∈(0，1)，所以(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错误． 11.已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ） A. 圆上恰有一个点到的距离为 B. 直线恒过点 C. 的最小值是 D. 四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】易知圆心，半径，如下图所示： 对于A，圆心到直线的距离为， 可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为， 所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误； 对于B，设，可得； 易知，由， 整理可得， 同理可得，即可知两点在直线上， 所以直线的方程为，即， 令，解得， 所以直线恒过定点，即B正确； 对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，的值最小， 点与圆心之间的距离为，所以，故C正确； 对于D，四边形的面积为， 根据切线长公式可知，当最小值，最小， ，所以，故四边形的面积为，即D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】由题意， ， ， 因为E在线段BC上，所以2λ-1+μ=1，2λ+μ=2，μ>0, λ>， 所以=，当且仅当，即λ=μ=时等号成立． 故答案为：． 13.的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【解析】对有， 则， 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 14.设为数列的前n项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列是首项为2，公差不为0的等差数列，且数列是“和等比数列”，则 ． 【答案】78 【解析】由题意可知，数列是等差数列，所以前项和为， 前项和为， 所以 . 因为数列是“和等比数列”，即为非零常数，所以. 故. 故答案为：78. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知等比数列的首项为，公比为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】解　(1)由已知可得， 因为，所以， 即，则，解得或（舍去）， 所以，. (2)由(1)得 ， 令，设前项和为，则， 所以，两式相减得 ， 所以， 令，则， 设前项和为，则， 所以. 16.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. （1）求再打2球该局比赛结束的概率； （2）两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； （3）若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 【答案】解：（1）平后，设事件“第个球甲得分”，则“第个球乙得分”， 设“再打两球该局比赛结束”，则， 所以. （2）的可能取值为所有正偶数， 考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分， 则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1分的概率为， 所以 ， ， …… ， …… 所以， 记， 则， 以上两式相减得 ， 所以， 当趋于时，趋于4，所以. （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为， 则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以该局比赛甲获胜的概率 当趋于时，趋于， 所以该局比赛甲获胜的概率为. 17.如图，已知为抛物线的焦点，过的弦交曲线于点（与不重合）． （1）求证：点为弦的中点； （2）连并延长交抛物线于点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明：设直线，的中点为且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得， 所以中点的坐标为， 又由方程组，解得，即， 所以点与重合，即为中点. （2）解：由（1）知直线， 联立方程组，解得， 又由，所以， 所以， 令，则，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，面积取得最小值． 18.甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3，p4(用p表示)； (2)若=4，求p； (3)证明：对任意正整数m，p2m+1－q2m+1<p2m－q2m<p2m+2－q2m+2. 【答案】(1)解　p3为打完3个球后甲比乙至少多得2分的概率，故只能甲胜三场， 故所求概率p3=(1－p)0p3=p3， p4为打完4个球后甲比乙至少多得2分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求概率p4=(1－p)1p3+(1－p)0p4=4p3(1－p)+p4=p3(4－3p). (2)解　由(1)得p3=p3，p4=p3(4－3p)，同理q3=q3，q4=q3(4－3q)， 若=4，p+q=1， 则=====4， 由于<p<1，0<q<，所以p=2q=2(1－p)，解得p=. (3)证明　一方面，由于 p2m－p2m+1=p2m－kqk－p2m+1－kqk=p2m－kqk－p2m+1－kqk－p2m+1－kqk =(1－p)p2m－kqk－p2m+1－kqk =p2m－kqk+1－p2m+1－kqk =p2m－kqk+1－p2m－kqk+1 =pm+1qm. p2m+2－p2m+1=p2m+2－kqk－p2m+1－kqk=p2m+2－kqk+p2m+2－kqk－p2m+1－kqk =p2m+2－kqk+pm+2qm+(p－1)p2m+1－kqk =p2m+2－kqk+pm+2qm－p2m+1－kqk+1 =p2m+1－kqk+1+pm+2qm－p2m+1－kqk+1=pm+2qm. 则p2m－p2m+1=pm+1qm，p2m+2－p2m+1=pm+2qm，同理有q2m－q2m+1=qm+1pm，q2m+2－q2m+1=qm+2pm. 故p2m－p2m+1=pm+1qm=p·(pmqm)>q·(pmqm)=qm+1pm=q2m－q2m+1，即p2m+1－q2m+1<p2m－q2m. 另一方面，由于 p2m+2－p2m=(p2m+2－p2m+1)－(p2m－p2m+1)=pm+2qm－pm+1qm =pmqm·p(p·) =pmqm·p =pmqm·p， 同理有q2m+2－q2m =pmqm·q. 又p－q =(p－q)(p+q)－(p－q) =(p－q)－(p－q)=(p－q)>0， 故p2m+2－p2m>q2m+2－q2m， 即p2m－q2m<p2m+2－q2m+2. 综上，原不等式得证. 19.设函数. （1）当时，求在处切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】解：（1）当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为. （2）因为，则， 若，即时，恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时， . 则在和上为增函数； 在上为减函数. 综上所述，当时，在R上单调递增； 当或时，在和上为增函数； 在上为减函数. （3）因为时，，即， 当时，上式成立， 而当时，即恒成立，记， 则. 记，则， 则在为减函数，则，即恒成立， 则当时，则在上递减， 当时，，则在上递增， ，则，所以的取值范围为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$