1.1 多项式的因式分解教学设计2025-2026学年 湘教版八年级数学 上册

第一章 因式分解 1.1 多项式的因式分解 教学目标 1.了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的区别和联系，会判断一个变形是否是因式分解； 2.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归能力，了解因式分解的意义； 3.让学生通过参与探索的过程，逐步形成独立思考的习惯，培养学生类比思维和逆向思维的能力. 教学重点 了解因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的区别和联系. 教学难点 知道因式分解与整式乘法的区别和联系. 教 学 过 程 教学环节 二次备课 一、创设情境，导入新知 问题1 6等于2乘哪个整数？ 问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？ 二、合作交流，探究新知 探究一 因式分解的定义 做一做 (1) 因为(x+1)²= ， 所以x²+2x+1=(x+1)( )； (2) 因为x(x－)= ， 所以x²－x=x( ). 观察“所以”后面的式子，有什么共同点？ [抽象]一般地，对于多项式f与g，如果有多项式h使得f = gh，那么把g叫作f的一个因式，此时，h也是f的一个因式. 由于x²+2x+1=(x+1)²， 则x+1是多项式x²+2x+1的因式. 类似地，由于x²－x=x(x－)， 则x和x－都是x²－x的因式. [归纳]多项式因式分解的定义： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 例如：x²+2x+1=(x+1)² x²－x=x(x－) 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 多项式的乘法运算与因式分解是互逆的变形过程，即 因式分解 x2－y2 (x+y)(x－y)多项式的乘法 因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个多项式的乘积. 辨一辨：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的有 ，请说明为什么. ①am+bm+c=m(a+b)+c ②24x2y=3x·8xy ③x2－1=(x+1)(x－1) ④(2x+1)2=4x2+4x+1 ⑤x2+x=x2(1+) ⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 判一判：判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx B. x2﹣1+y2= (x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣2=(y+1)(y﹣1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c E. 2a3b=a2•2ab F. x+3 =x(1+) 提示：判定一个变形是因式分解的条件： (1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；(3) 右边是整式的乘积的形式. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把因式分解后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可. 三、典例分析，运用新知 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ，所以 = (x－2)(x－3)是多项式 的因式分解. 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1) x(x－2y)=x2－2xy； (2) x2－2x+1=x(x－2)+1； (3) 3x2－x=x(3x－)； (4) xy－x－y+1=(x－1)(y－1). 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 四、巩固练习，拓展提升 （一）巩固练习 1.下列式子从左边到右边的变形是因式分解的是( ) A.(1−x)(2−x)=(x−1)(x−2) B.(x−y)(x+y)=x2−y2 C.1−2a+a2=(a−1)2 D.x2−2x+6=x(x−2)+6 2.填空： 因为(x-4)(x+5)= , 所以 =(x-4)(x+5)是多项式 的因式分解. 3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1)x2+xy=x(x+y) (2)4x2-8x-1=4x(x-2)-1 (3)ax2-bx2-x=x(ac-bx-1) (4)2xy+2x-y-1=(2x-1)(y+1) （二）拓展提升 1.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和 (x﹣1)，求mn的值. 2.甲、乙两个同学分解因式 x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，求a+b的值. 五、总结反思，升华认知 本节课你有哪些收获？请分享一下！ 六、课后作业，深化理解 习题1.1 第1题和第2题 教 学 反 思 1 学科网（北京）股份有限公司 $$