精品解析：江苏省徐州市第三中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

2026届高三8月学情调研 数学试题 2025.8 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的定义与单调性求解集合,然后求解交集. 【详解】由,则, 所以. 故选：C. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求实数的值. 【详解】因为， 故，故， 故选：D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可判断作答. 【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，排除CD； 当时，，即当时，函数的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足. 故选：B 4. 将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先分组后分配，利用排列组合数计算即可. 【详解】由题意，4本不同的书可以分成2,1,1三组，有种分组方法，再分给3名学生，有种分配方法， 所以，不同的分配方法数为. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式即可求解. 【详解】∵，∴，， 又，则，所以， 故选：A 6. 已知函数，直线与曲线相切，则实数（ ） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点横坐标为，根据导数的几何意义及两函数在切点处的函数值相等，列式即可求解. 【详解】， 设直线与曲线的切点横坐标为， 所以，且， 解得，. 故选：. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 8. 已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，利用周期性即可求解. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以 . 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件可得，即可判断出选项A的正误，对于B，直接求出的对称中心，即可求解；对于C，根据条件，求得，利用图象与性质，即可求解；对于，利用三角函数图象的平移变换，直接求出结果，即可求解. 【详解】因为， 又的最小正周期为，所以，得到，所以选项A正确， 对于选项B，因为，由，得到， 所以的对称中心为，当时，对称中心为，所以选项B正确， 对于选项C，当时，，且 所以由图象与性质知，在上不单调，故选项C错误， 对于选项D，将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，所以选项D正确， 故选：ABD. 11. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 存在，，使 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 在中，“”是“”的充要条件 D. 在中，若，则的值为或 【答案】AC 【解析】 【分析】赋值法可以判断A选项；在中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根据正弦定理可判断选项C；先由，求得，再由，结合大角对大边求得，最后根据求值即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，正确； 对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误； 对于C，(其中是外接圆的半径)，正确； 对于D，因为，，所以. 因为，所以由正弦定理得，从而. 又因为，所以， 从而，错误； 故选：AC. 【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的周长为_______． 【答案】##31.5 【解析】 【分析】先设边长应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出即可求解． 【详解】在中，， 又，则， 设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即， 又，解得，则，所以的周长为， 故答案为：． 13. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”， 则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”， B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，， 故，， 故 ， 故答案为： 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题设化简可得，设，则，利用导数分析函数的单调性，进而将问题转化为恒成立，设，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，，， 则，则， 则，则， 设，则， 因为， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，， 则时，，即恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知（为常数）． （1）当时，求的二项展开式中各项系数的和； （2）若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 【答案】（1）256． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令即可得解； （2）利用二项展开式通项公式求解. 【小问1详解】 当时， 因为，令时， 则的二项展开式中各项系数的和为． 【小问2详解】 因为的二项展开式的第项， ， 因为的二项展开式中常数项为24， 所以，即， 又因为，所以，即． 16. 在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， 所以，， ； 【小问2详解】 ， ， ， 由，得，，则， 所以. 17. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. （1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； （2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 【答案】（1）的分布列为： . （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1 ，3由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解； （2）利用对立事件的概率计算方法，求出总分小于3分的概率，计算即可得出结果. 【小问1详解】 的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. 【小问2详解】 至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. 【小问2详解】 解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. 【小问3详解】 因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 19. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2）存在； （3） 【解析】 【分析】（1）由导数小于零恒成立结合二次函数的性质可得； （2）由偶函数的性质比较系数可得； （3）换元令，求导后转化为在有且仅有一个变号零点，结合端点效应分析. 【小问1详解】 ，则， 因为在其定义域内单调递减，所以恒成立， 结合二次函数的性质，开口向下，令可得. 【小问2详解】 设存在， 则，即， 代入展开可得， 比较的系数可得，即， 验证其它项也满足，故. 【小问3详解】 ， 令，因为，所以， 则原函数可变为，则， 因为函数在区间上有且仅有一个极值点， 所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点， ，， 所以， 所以正数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三8月学情调研 数学试题 2025.8 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，直线与曲线相切，则实数（ ） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 8. 已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 11. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 存在，，使 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 在中，“”是“”的充要条件 D. 在中，若，则的值为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的周长为_______． 13. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知（为常数）． （1）当时，求的二项展开式中各项系数的和； （2）若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 16. 在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求； （2）求的值. 17. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. （1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； （2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 19. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $