精品解析：广东北江中学教育共同体2024-2025学年上学期期末考试九年级数学科试卷

广东北江中学教育共同体2024-2025学年度第一学期期末考试九年级数学科试卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分． 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离或相交 C. 相离或相切 D. 相交或相切 4. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图：，下列哪个补充条件不能使（ ） A. B. C. D. 8. 如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A. B. C. D. 9. 函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（　　） A. B. C. D. 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5题，每题3分，共15分． 11. 点关于原点对称点的坐标是 ___________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为_______． 13. 已知二次函数，当时，函数值y取值范围______． 14. 如图，为直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为_________． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______．（结果保留） 三、解答题一：本大题共3小题，16题10分，17-18题7分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于x轴对称，并写出点的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）的面积等于_________． 18. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由． 四、解答题二：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 20. 某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． （1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 21. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 五、解答题三：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系． （1）将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系； （2）当时，将绕A点旋转到图3位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明； ②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________． 23. 已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，直线经过点B和点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接． ①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值． ②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东北江中学教育共同体2024-2025学年度第一学期期末考试九年级数学科试卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分． 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 在下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是关于的反比例函数，不符合题意； B、是关于的反比例函数，不符合题意； C、是关于的反比例函数，不符合题意； D、是关于的反比例函数，符合题意； 故选D． 3. 已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离或相交 C. 相离或相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 4. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据旋旋转角的定义即可判断； 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到， 旋转角是或， 故选：A． 6. 已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将点代入据此及可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的函数表达式为； 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 故选：D 7. 如图：，下列哪个补充条件不能使（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理进行判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，故A不符合要求； ∵， ∴，即， 又∵， ∴，故B不符合要求； ，，不能使，故C符合要求； ∵，， ∴，故D不符合要求； 故选：C． 8. 如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 9. 函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；两者相矛盾，错误； B．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＜0，两者相矛盾，错误； C．由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，由抛物线图象可知a＞0，两者相矛盾，错误； D．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；正确． 故选D． 【点睛】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求． 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．先求得旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同，如图，旋转第二次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，据此求解，即可得到的坐标． 【详解】解：∵， ∴旋转周期为6个， ， ∴旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同， 如图，旋转第二次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 点的坐标是． 故选：C． 二、填空题：本大题共5题，每题3分，共15分． 11. 点关于原点对称点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入，即可求解， 解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 14. 如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键；根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 三、解答题一：本大题共3小题，16题10分，17-18题7分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）的面积等于_________． 【答案】（1）作图见解析，的坐标为 （2）作图见解析 （3）3.5 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换以及旋转变换，解题的关键是掌握轴对称和旋转的定义和性质，并据此得出对称和旋转后的对应点． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出的顶点A和C绕点B逆时针旋转后所得的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）用所在的正方形减去周围三个小三角形的面积即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，的坐标为； 【小问2详解】 如图，即为所求; 【小问3详解】 ． 18. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由． 【答案】（1） （2）这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大 （3）点不在这个函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题； （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数中， 即， 解得， y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 在反比例函数中，， 这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 将代入中， 可得， 点不在这个函数的图象上． 四、解答题二：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是切线； （2）由勾股定理得，而，所以，解得，则，如图，过点E作于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是切线； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 解得， ， 如图，过点E作于点F，连接， 在中，， ， 解得， 在中，， ， （负值舍去）， ， 在中，， ， （负值舍去）， 的长是． 20. 某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． （1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】（1）； （2）m． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得：， 解得：， ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 在中， 当时，（）， 答：这个装饰物的设计高度（）． 21. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】（1）， （2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为 （3）若小球不能撞上小车， n的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）令，求得小球停下来的时间，再将代入y与x的函数关系解答即可； （3）假定经过t秒小球追上电动小车，得到关于t的一元二次方程，令，得到关于n的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系， 设v与x的函数关系为，y与x的函数关系为， 将代入，得 ， 解得， v与x的函数关系为， 将代入，得 ， y与x的函数关系为； （2）当时，则， 解得， 将代入，得 ， 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为； （3）假定经过t秒小球追上电动小车， ， ， 由题意得， ， 若小球不能撞上小车， n的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 五、解答题三：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系． （1）将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系； （2）当时，将绕A点旋转到图3位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明； ②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________． 【答案】（1） （2）①，，证明见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）证明，即可作答； （2）①同理先证明，即有，在和中，根据，即有，则有，问题的解； ②分两种情况：第一种，当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合等腰中，，以及，即可作答． 【小问1详解】 解：， 即， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ①，， 证明：， ， 即， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 因此，； ②当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，如图所示， 在等腰中，， ， ， ； 当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，如图所示， 在等腰中，， ， ， ， 故的度数为或． 23. 已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，直线经过点B和点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接． ①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值． ②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或， 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式，确定，然后利用待定系数法代入求解计算即可； （2）①设，的周长为，则，，证明，得到，再利用勾股定理，求得，得到的周长为，进而得出，然后利用二次函数的性质，即可得到答案； ②根据菱形的性质可知，，且，即点落在轴上．过点作轴于点，设，则、，得到，，再利用勾股定理得到，然后利用列等式求解的值，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点B， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 令，则， 、，， ①设，的周长为， 则，， 轴， ， ， ， ， ， 由题意可知，，， ， 的周长为， ， ， 当时，， 即的周长的最大值为； ②将沿直线翻折后，以、、、为顶点的四边形能成为菱形， ，且， 点落在轴上， 如图2，过点作轴于点， 设，则、， ，， 在中，， ， 或， 解方程①得：或（不符合题意，舍去）， 解方程②得：或（不符合题意，舍去）． 当时，， 当时，． 故以、、、为顶点四边形能成为菱形的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握利用解析式表示出线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程式解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $